Soient A, A' deux points pris respectivement sur deux

Fig. Fl.

droites fixes et parallèles AB, A'B'; soit en outre nn' une transversale quelconque assujettie h la condition d’intercepter des segments An, AV dont le produit demeure invariable.

-X Plaçons l’origine en O, milieu de AA', et prenons pour axes coordonnés, d’une part, la droite AA', d’autre part, une parallèle aux droites AB, A'B'.

Si nous désignons par a le segment Au , par 6 * le produit An. AV, supposé constant, et par a' la distunce OA , il est aisé de voir que la transversale nn a, pour équation générale,

Cherchons l’enveloppe îles ilroiles représentées par l’équation (I). En égalant à zéro la dérivée du second membre, prise pur rapport au paramètre a, l’on trouve

De là résulte

et , substituant,

u nj = b'*(u’ — a-).

Élevons au carré et remplaçons ** par sa valeur. Il vient

On toit, par là, que l’enveloppe ehcrehée est une ellipse rapportée à son centre et ayant pour diamètres conjugués les segments 2a', 26' dirigés respectivement l’un suivant AA', l’autre parallèlcmeut aux droites AB, A B'.

Pour passer du cas de la figure à celui où le segment AV serait porté en sens contraire, il suffit de changer le signe de la quantité Z)'’. L’ellipse trouvée pour enveloppe, dans le premier cas, est remplacée, dans le second, par une hyperbole.

Soit > l’angle des axes OX, OY, et ç celui que la transversale nu' fait avec l’axe des x. On a, généralement,

siu 6 a* — b'* sin (à — 6) 2*«'

Différenciant ci posant a = 6' dons le résultat de la différenciation , on trouve

. sin J .

En opérant de mémo sur la valeur

qui sc déduit de l'équation (2), on a

rfjr = — da.

Désignons par a le rayon de courbure qui correspond au point de l’ellipse situé à l’extrémité du diamètre lt'. On a, d’après ee qui précède, et comme il est aisé de le voir,

(fi).

dx a'*

‘ de. b' sin *

De là résulte

o sin >

Or p sin i est la projection du rayon « sur l’axe OY. On a donc l’énoncé suivant , lequel s’applique en même temps à l’ellipse et à l'hj perbole :

Étant donnés deux demi-axes quelconques a’, b', conjugués entre eux , le rayon de courbure , qui correspond à l'extrémité de l’axe b', a pour projection sur cet axe le segment ~ .

Reprenons ee problème en le traitant par voie géométrique. Lorsque la transversale nn’ sort du lieu qu’elle occupe, le produit des segments Au, AV demeure constant. Il s’ensuit que les vitesses des points n , n sur les droites AB, A'B' sont de signe contraire et qu’elles conservent entre elles le même rapport que les segments An, A V. Prenons le segment nA pour vitesse actuelle du point n sur la droite BA. La vitesse simultanée du point n' sur la droite A'B' sera représentée par le segment n'B' AV.

Les vitesses «A, «'B' résultant de la rotation de la droite- nn' autour de son centre instantané de circulation, la conséquence est ([uc ce centre se trouve actuellement en m à la rencontre des droites nn', AB'. On sait d'ailleurs que le lieu des points m est l’enveloppe des positions successives de la droite nn'.

Soient y = mp, x = O p les coordonnées du point m. Si l’on tire la droite n'p et qu'on la prolonge jusqu’en s, h sa rencontre avec la droite BA , il est visible que le segment As est égal au segment An , ce qui détermine la droite ris et par suite le point p où cette droite vient couper la droite AA'. On a, d’une part,

et, d'autre part,

A'B' , , v ri -x , ,

CM

. An.

Multiplions, membre à membre, les équations (8), (9) et remplaçons par b * le produit constant An.A'n'. On trouve ainsi, pour équation de l’enveloppe,

S'agit-il ensuite de la courbure en m? Cherchons d’abord la vitesse v du point m sur la tangente «»’, en observant qu’elle résulte de celle du point p situé à la rencontre de la droite mobile ris avec la droite fixe AA'.

La vitesse du point ri sur A'B' est n'B'. Celle du point s sur «B est «A. Il s'ensuit que celle de l’intersection de la droite ris avec la droite mp, supposée fixe est pm, et qu’en conséquence la vitesse du point p sur AA' est représentée par pg, la droite nig étnnt parallèle à ris'.

’ Concevons la perpendiculaire élevée en p sur ris et déslguons-la par P. La projection de la vitesse pm sur la droite P est la vitesse de circulation du |ioint p de la droite >»’». Si la vitesse py était connue; sa projection sur la

Par If point ij menons la droite ijli p;irulièle à put. Si la droite un' finit fixe, In vitesse p<j du point p sur AA' donncruil mit pour vitesse du point ni sur un. Ce résultat n'est pas changé par la rotation de In droite un autour du point tn. On a done, en premier lieu ,

v = mit.

Soit, en second lieu, te In vitesse angulaire avec laquelle la droite un' tourne autour du point ni. Si par les points n , IV on mène deux droites, l’une B't parallèle à un', l’autre n't normale à la première, il vient

De là résulte, en désignant par p le rayon de courbure cherché pour le point m,

v mit . mn'

Appliquons cette formule nu ras où les segments A» , A V étant tous deux égaux à b', le point ni est le milieu de la droite un. Les droites ««', AA' sont alors parallèles, et il en est de même des droites AB', su’. Il suit de là que les segments mh, mn' sont tous deux égaux à «' et que le segment n't est la projection du demiaxe 1/ sur la normale en ni à la droite nn'. On a donc

mil = mn' — a', n't = b' sin / , et l’on en déduit par substitution

Ce résultat est la reproduction de In formule (7). Il comporte le même énoncé.

limite P donnerait celte même vitesse rie circulation. Il suit évidemment de là (|ue les extrémités ries vitesses pm . p< 7 sont situées sur mie même droite mij, menee par le point w parallèlement à la droite «'*.

Le parallélisme existant, par hypothèse, entre les droites m»i', AA', on a , en désignant par p la distance de ces droites,

p = b' sin à ,

et, par suite,

La propriété exprimée par l’équation (10), n’est qu’une autre forme de celle que nous avons formulée ci-dessus comme interprétation de l’équation (7). On peut l’énoncer comme il suit :

Le produit du rayon de courbure par la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente est égal au carré du demi-diamètre parallèle à celte même tangente *.

* Re|irenons la formule générale

mh . mn’

cl prolongeons la d roi le n'n jusqu’à sa rencontre en u avec la droite OX. Le parallélisme établi d’une part entre les droites n’p , nig , d'autre part entre les droites mp , gh donne

• mn' mli

n’u ~ mu

On a, d’ailleurs, ainsi qu’on le voit aisément sur la figure,

n'u AV mn’ mrè ^ tin' AV — A « tin' — mn îmi

La combinaison des équations (2) et (3) donne

mu' AV AV

(4) m/i.mii' = 2.mi.mu. — - = 2.mi.mu — — = mi. mu. ■

' ni» A il' + An Oi

Soit Oc la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la droite un'. Les triangles n'U't, Oie sont semblables et l’on a , pu conséquence,

n't ti'B’ A'»'

109. Soient deux droites fixes A u, Ah' et une transversale un' Fiy. Ai. assujettie à détacher un triangle A nu de surface constante. On demande l’enveloppe des positions successives de la droite nn\

Plaçons l’origine en A, et prenons pour axes coordonnés les droites AwX, Ah'Y. Eu désignant par «

le segment An' et par r1 le produit constant des srg- # <**

ments Ah, An , on a An = — . L’équation generale de la droite mi est, en conséquence,

a* / ax\

Prenons la dérivée du second membre par rapport à a et égalons celle dérivée à zéro. Il vient ainsi

2*Jr — r*.

Delà résulte en substituant dans les équations (4) et (1)

mi . mu

L'équation (5) exprime la propriété suivante que l’ellipse et l'hyperltole présentent en chacun de leurs points : .

Le produit du rayon de courbure par la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente est égal au produit des segments interceptés sur la tangente entre le point de contact et deux axes quelconques conjugués.

Si I*oi» rapproche l’équation (5) de l'équation (10) établie dans le texte (la grandeur représentée par p n’étant autre que la perpendiculaire Oc ), on a

mi . mu . = a’*.

On est ainsi ramené à cette propriété connue de l’ellipse et de l'hyperbole:

Le produit des segments interceptés sur une même tangente entre le point de contact et deux axes quelconques conjugués est constant. Il a pour expression le catTé du <lemi-axe parallèle à la tangente.

Au lieu de procéder, comme nous venons de le faire, par voie de déductions successives, on peut établir « priori celle dernière propriété, et remonter à la précédente en se fondant -111 l'équation (lit).

L'élimination de la quantité x entre les équations ( 1 ) et (2) lionne, pour équation de l’enveloppe cherchée ,

xy

c’est-à-dire une hyperbole rapportée à «on rentre et à ses asymptotes.

Soieni O le centre d'une ellipse; m un point de la courbe; imu la tangente en ce point; OX une parallèle à cette tangente; b' le demi-axe flm; a' son conjugué.

L'équation de l’ellipse, rapportée aux axes 2a', 26', est

Soit m' un point (|uelconque pris sur la courbe. La droite 0 m' a , pour équation ,

t', y' étant les coordonnées du point m'.

La droite Om' coupe en i la tangente im . et il suflll de |»oser y = b', pour avoir immédiatement

Soit Ou l'axe conjugué avec Oi. Cet axe est parallèle 6 la droite qui touche l’ellipse en m'. Son équation est , en conséquence ,

xx ' yy'

De là résulte , en posant comme tout à l’heure y = b',

Les valeurs trouvées pour mi et mu donnent, ainsi qu'il s'agissait de le démontrer,

mi. mu « a'*.

Soit A l'iinglc des axes AX, A Y el 6 celui <|iic In tangente nn fait nvee l’axe des x. On a

sin <>

sin(i — 6)

Le reste s'achève de lui-même.

Considérons la circonférence de cercle circonscrite an triangle l'On et prolongeons la droite Om jusqu’à sa rencontre en O’ avec cette circonférence. On a

O m . m()' = mi . mu = a'*.

et, par conséquent aussi,

= cons1'.

De la, cette autre propriété, commune à l'ellipse et il l'hyperbole et s'appliquant à une tangente quelconque déterminée:

Si t on prolonge taxe qui va du centre au point de contact jusqu'à sa rencontre arec la circonférence de cercle menée par le centre et par les points on la tangente rient couper deux axes quelconques conjugués, ce prolongement a potir longueur constante la projection du rayon de courbure sur r axe dont il s'agit.

Soient , a, b les axes principaux, a étant celui qui coïncide en direction avec la ligne des foyers. Lu égard à la relation connue, a.b= p a', l’équation (10) devient

Soit N la partie de la normale interceptée entre le point m et l'axe principal a. En désignant par N' la projection constante de cette normale sur le rayon vecteur focal et par 6 l'angle que ce rayon fait avec la normale, on a , comme on l’a vu précédemment,

cos’f

La combinaison des deux dernières équations conduit à la relation

n' cos C — \ a .b .S' arçons1'.

cl l’nn en déduit

fi

2 xtl* sin*(» — C.) e* sin à

L’équation (2) donne de même

d.r = do,

■ iX

et, par stiite, en désignant par d» la différenlielle île l’are de l'enveloppe ,

sin l

sin (A — ?)

De là résulte, pour le rayon de eourburc qui correspond nu point de l’enveloppe situé sur la tangente nu,

ds r*x sin*/

’6 dt 2** sins(A — Ç)

Soit m le point dont il s’agit : l’équation (2) montre qu’il est le

Il suffit, d’ailleurs, de transporter le point m à l'extrémité du demi-axe a pour reconnaître que l'on peut écrire plus simplement

a' cos C = consl' = b.

Celte dernière propriété comporte l'énoncé suivant :

Si l'on porte sur In normale une longueur égale au demi-axe qui lui est perpendiculaire et qu'on projette cette longueur sur le rayon vecteur mené par l'undes foyers , la projection est constamment égalé au demi-axe principal li.

On parvient au même résultat en faisant usage de la relation

milieu du segment mi. Kcmplaçons x par--, - par Am et a pur A n. Il vient,

Am* sin* A

’ 4An'sin3(A — 6)

On a d'ailleurs, ainsi qu'on le voit aisément,

sm (A — t) sin 6

Am = — mm . ; i Am — mm

sm A sin a

Ou peut doue écrire aussi

mi . sin A 4 sin ç sin (a — 6^

Par les points m, li, m menons trois droites respectivement perpendiculaires, lune ne à AX, l'autre ne à A ij, la troisième ni ce' à mi. On a

mm , MM

nie = — ept 6, me — — eol (A — ê),

cl, désignant par o le milieu de l'intervalle ee',

HH

(7) nio — — . [eot 6 x- eol (A. — ê)]

MM Slll A

4 sin 6 sin (A — ê)

La comparaison des équations (ii) et (7) montre que le rentre de courbure cherché pour le point m est en o, au milieu de l’intervalle intercepté sur la normale me par les deux perpendiculaires ne, lie’.

Reprenons ce problème en le traitant par voie géométrique.

La surface du triangle \mi demeurant constante, le produit des longueurs An, Am' reste invariable. Il s’ensuit, comme dans le cas du n\108, page 277, que les vitesses actuelles des points m, ii sur les droites Am, Am' peuvent être représentées simultanément, l’une par mA , I autre par m'A' = ii A.

( 28fi )

Par les points n, »' menons les droites np , n'p perpendiculaires à nn', et par les points A, A' les droites Ap, A'p' parallèles à nn'. Les vitesses,des points n,n ont, pour composantes normales à nn, les longueurs évidemment épies np, n'p'. Les composantes de ces mêmes vitesses parallèles à nn sont, d'ailleurs, représentées par les segments pA, p A' et l’on a visiblement

pA ■+■ p A' — nn'.

U suit de là que le point m, déterminé par l'intersection des droites nn', pp, est en même temps le milieu de la droite un cl le point de contact de cette droite avec son enveloppe.

Cette détermination du point m étant générale, on en déduit, pour équation de l’enveloppe ,

An . Am' e*

On en conclut, ensuite, que la vitesse de ce point sur la droite nn' est égale à la demi-somme des vitesses pA et p' A'. Ou a donc, en désignant par v cette vitesse,

nn'

e = — = nui.

On a, d'ailleurs, pour la vitesse angulaire de la droite nn autour du point m ,

nui

Désignons par o le point situé à la rencontre des droites >no, n'o, menées perpendiculairement, l’une sur nn', l’autre sur pp'. Les angles n'mp’, n'mn étant égaux, on a

mn' n'p'

mo mn

Soit p le rayon de courbure qui correspond au poiut m de l’enveloppe. On déduit immédiatement de ee qui précède

Le point o est donc le centre de courbure cherché pour le point m.

Les triangles men , np\ ayant leurs trois côtés respectivement perpendiculaires, donnent

me An

mn np

On a de meme, en comparant entre eux les triangles m'e’n, p'\'n'.

me' A';/ m»' n'p'

Or mn = mn, np — n'p et A p A'// = 2nin', il vient donc,

en ajoutant, membre à membre, les équations (9) et (10),

me -+- me' „ mn

mn' n p

De là résulte, eu égard à l’équation (8),

me ■+■ me' mn’

Ce qui montre que le centre de courbure o divise en deux parties égales le segment ee'.

Cette solution très-simple s’étend d’elle-méme au cas général où la ligne considérée est l’enveloppe des positions d’une corde assujettie à détacher d’une courbe quelconque un segment d’aire constante. La seule modification consiste en ce que les tangentes menées à la courbe aux extrémités de la corde se substituent aux droites An, An'.

En effet, puisque la vitesse avec laquelle s’engendre l’aire décrite par un segment de droite est égale au produit de ee segment par la vitesse de circulation de son point milieu, il s’ensuit que ectlc vitesse doit être nulle. Or cette condition implique comme conséquences toutes les déductions qui précèdent. L'enveloppe est donc le lieu géométrique des positions que prend successivement le milieu de la corde mobile. La courbure en chaque point se détermine ensuite, comme on l’a vu tout à l’heure.