Soient AX, AY deux axes coordonnés rectangulaires, et

Fig. 43.

mi un segment de droite intercepté par ces axes. Le segment un' étant supposé mobile et de grandeur constante, on demande de déterminer l'enveloppe de scs positions successives.

En désignant par c la longueur constante mi et par a le paramètre variable A on a pour équation générale de la droite mi

Prenons la dérivée, par rapport à a, de la fonction g, et égalons cette dérivée à zéro. Un trouve ainsi

cl, par suite,

La combinaison des équations (1) et (2) donne d abord

et, eu égard à 1 équation (5), ■ ■ ■ ■

■Celle dernière équation est eellc de i'cnveJoppe elicrclicc.

Soit m le point de l’cuvcloppc situé sur la droite mm'. Les coordonnées de ce point sont, respectivement,

a’ Am’3

r nn 1

(<:> — **)* An5

nn *

Désignons par 6 l’angle A mm', et par m’ le pied de la perpendiculaire abaissée du point A sur le segment mm'. On a, d’anrès la figure, 4

sm € = - > ta h’ = « «in 6, ma . sin g — y.

De là résulte, en substituant,

mn = — - = wt'ji'.

U différentiation des valeurs trouvées pour sin g et pour x donne *

dx ■

c . eos g ( i

On en déduit, pour la différentielle de l’are de l’enveloppe,

rfx

eos g c*. cos 6 et , pour le rayon de rourbure qui correspond au point m , th 3a V e* — a* Am . Am'

*>• , =3. Ami'.

un

Méprenons ce problème en le traitant par voie géométrique.

Le rectangle nAn'a étant achevé, il «nsi visible que le point « est le centre instantané «le rotation de la droite un.

Soit m le pied de la perpendiculaire abaissée du point a sur la droite un'. Le point mêlant le centre instantané de circulation de celle droite, il s’ensuit que le lieu des points «t est l’enveloppe cherchée. On a, d’ailleurs,

De là résulte, d’après la figure et les notations précédentes,

An'3

(8). . // = mn . sin G = m'n' sin 6 == An sin’6 — — —

On trouve de même.

An5

Il vient donc pour équation de l’enveloppe

An'1 ■+- An* c*

Prenons «A pour vitesse du point n sur la droite AX, et représentons par n'Ii la vitesse simultanée du point n sur la droite AY *. La longueur nu' étant constante, les points u, n' peuvent être considérés comme fixes sur la droite un'. Il s’ensuit que leurs vitesses de glissement sont égales.

Par le point A menons une parallèle à nu , et désignons par «• le pied de la perpendiculaire abaissée du point n sur cette parallèle. Les vitesses de glissement et de circulation du point n sont représentées respectivement l une par eA, l’autre par ne.

Tirons la droite etn et prolongeons-ia jusqu'à sa rencontre en /

On verra plus loin coainicut le point li se trouve déterminé par les constructions ultérieures.