UI
avec lu perpendiculaire élevée en n‘ sur nn. Il rsl visible que la v i les se <le eirctilalion du |M>iut n' est représentée par ni, et sa vitesse de glissement par le segment lli qui joint le |H>int l au point h. Or, nous savons déjà que ec segment doit être égal el parallèle à eA. Il l'n ut. doue que lu droite eml soit parallèle a l'axe AY, ee qui fournit un second moyen de déterminer le point ni, el implique les conséquences suivantes :
Le point a se déplaçant avec les points n , n, les composantes de sa vitesse actuelle sont respectivement, l une an', l'autre n'h. Il s'ensuit que celte vitesse est représentée par ah.
Soit aq la projection de la vitesse ali sur une droite menée par le point a parallèlement à nn'. Cette projection est la composante parallèle à nn de la vitesse du centre instantané a. On n, d’ailleurs, en désignant par i le point d’intersection des droites ni
et aq,'
uq = ai -+- iq = mn' a- ht —
La vitesse que le point ni emprunte ù la rotation établie autour du centre instantané u est la vitesse de glissement des différents points de la droite nn', c'est-à-dire eA ou mn'.
Soit v la vitesse actuelle qui anime le point m dans la description de l'enveloppe. On a, d’après ee qui précède,
e =. nui' •+• aq^= 5»l/i'.
La partie de la vitesse v qui s'emprunte à la rotation établie autour du centre instantané » est, ainsi qu'on le voit, le tiers de eeltc même vitesse. La conséquence est que le centre de courbure cherché pour le point m se trouve en o sur lu normale inu, à la distance tno = ôam. On a donc
(10) p = 3« mi ,
et ce résultat concorde évidemment avec celui de la formule (7).
( in )
Tirons la diagonale A a et désignons par b son point milieu. Si Fig 44 nous traçons les deux circonférences de cercle, dont r l'une a bu pour diamètre, et l’autre Aa pour rayon,
il est visible que le point m est situé sur la première 0 ' — f ', V de ces circonférences. D'un autre côté, l’angle ubm
\ est double de l’angle aA ». On voit donc aussi que 4**- * „ A
I arc
ain — ub . abm = iab . uAn = Aa . a Au a même développement que l'are
„ «X — Au . uAn.
Il suit de là que l’enveloppe déterminée ci-dessus est l’épicycloïde engendrée par le point ni dans le roulement de la première circonférence sur la seconde. 11 suffit, d’ailleurs, de se reporter à l'équation de cette courbe pour se rendrAomplc du motif qui l’a fait désigner sous le nom ù'épicgclo'ide elliptique.
Keportous-nous à la formule (10) du n° 86, page 223 ,
On a ici, m — i, cl r — ma. De là résulte, en substituant,
p — ÙUIU.
111. Soient pe, nb deux droites rectangulaires se coupant en n et liées invariablement l’une à l'autre. Le point n étant assujetti à décrire la spirale d’ Archimède dont le pôle est en p, et la droite pe à passer par ce pôle , on demande de déterminer l’enveloppe des positions successives de la droite nb *.
Procédons simplement par voie géométrique.
’ (ielle enveloppe est la spirale employée pour enrouler la dialnc des ponts levis dans le système du capitaine Dcrcbé.
Assujettie à pnsser pur le point fixe jj, la droite pe tourne autour de ce point et glisse en même temps sur elle-même. Soient u sa vitesse angulaire et u la vitesse de glissement correspondante. On n , par hypothèse ,
— =• eons1' == r.
Désignons par o la position qu'occupe, à un instant quelconque déterminé, le centre instantané de rotation de la droite pe. On sait que la rotation « est établie autour de ce centre et qu’clle communique au point p de In droite pe la vitesse actuelle u. Il s'ensuit que le point o est situé sur la droite menée par le pôle perpendiculairement à pe, et que l’on n
Mais, d'un autre coté, les droites pe, nli sont liées invariablement l'une à l’autre. Elles ont doue, à chaque instant, même centre instantané de rotation.
Soit m le pied de la perpendiculaire abaissée du centre o sur la droite nh. Le point m est le centre instantané de circulation de cette droite et l’on n
h'iij. iS.
mn — po c.
ce qui montre que le point m est fixe sur la droite nh.
L’enveloppe cherchée étant le lieu des points ni , on voit aisément qu'elle a pour développée le lieu des points o. Il est clair, en effet, que, dans la description de l’enveloppe, le point m a pour vitesse totale celle qu’il emprunte à la rotation établie autour du centre instantané o. Ce résultat peut s’énoncer comme il suit:
L'enveloppe cherchée est lu développante du cercle décrit du
point p comme rentre avec un rayon égal au rapport cuti niant - •
Caustiques.
1 12. Considérons les murins désignées sous le nom général de caustiques et occu|>ons-nous, d'abord, des caustiques pur réflexion.
Soient p un point et AB une courbe situés dans un même plan. Du point p partent dans toutes les directions des droites pn. Ces droites viennent rencontrer la courbe AB et sont renvoyées par elle suivant des directions np' supposées telles qu’en représentant par tir la normale au point d’incidence h, les angles pne, p'nc soient égaux entre eux. Cela posé, on demande de déterminer l'enveloppe des rayons réfléchis np', et c’est à cette enveloppe qu’on donne le noin de caustique par réflexion.
Soient c le centre de courbure qui correspond au point n de la courbe AB; q,q' les pieds des perpendiculaires abaissées du point c sur les droites np, np'. On a, généralement,'
(I) nq—nq', cq — cq'.
Prenons le segment qc pour vitesse de circulation du point q l'ig Ui. dans la rotation de la droite pn autour du point p.
Lu vitesse du point q' dans la rotation de la droite np' autour de son centre instantané de circulation sera représentée par q'r.
Tirons la droite pc et prolongeons-la jusqu à sa rencontre en e avec la perpendiculaire élevée en n sur le rayon pn. Le segment ne sera la vitesse de \/ circulation du point n de la droite pn.
r' Soient tib la tangente en » à la courbe AB, et b le
point de cette tangente qui se projette en e sur ne. Le segment nb est la vitesse actuelle du point n sur la courbe AB.
Projetons le point b en e' sur la droite ne menée par le point n
perpendiculairement nu rayon réfléchi np'. Le segment ne' est la vitesse de circulation du point n de la droite np'.
Cela posé, il est visible qu’il suflit de tirer la droite re' pour
avoir en m', à la rencontre de celle droite avec le rayon réfléchi np', le centre instantané de circulation de ce même rayon. .Concluons que l'enveloppe cherchée est le lieu îles points m'. On observera que l'égalité des angles cnp , cnp' implique celle des angles Une, line' et, par suite aussi, celle des segments ne , ne'.
Prolongeons la droite cq d’une longueur égale qc' et tirons la droite c'e, qui vient couper en m le rayon incident pn. Il est aisé de voir que le point m divise le segment nq de la même manière que le point ni divise le segment nq': On a donc
(2) run — uni',
et, en même temps ,
mu ne pn pn
mq cq pq pn — nq
De là résulte
mn pn
nq : ipn — nq
Nommons R le rayon de courbure en , o l’angle pne, et i le rayon vecteur np. Il vient, en substituant,
;R cos a
nm — nm
2/ — R cos H
1 13. Supposons, pour cas particulier, que la ligne AB soit une circonférence de cercle et que le point p soit situé sur cette circonférence.
II est aisé de voir que le point e, devenu fixe, se trouve à l’extrémité du diamètre pc, que le segment qc' est la moitié de la corde ne, et qu'en conséquence le point m tombe aux deux tiers de nq, ou, ce qui revient au même, au tiers de np. Soit np' le rayon réfléchi : on a
np
nm' — uni — — ~ •
( 29fi )
La formule (o) du n" H 2, où l'on doit remplacer R cos 0 par - , conduit au même résultat
, * nm = nm — — •
Soit / le point ou la perpendiculaire élevée. en ni' sur np' vient couper la droite en : on a évidemment
ni = 2 . et.
Décrivons avec le rayon ci deux circonférences de cercle ayant res- Flg. 47. pcctivemcnt pour centres, l'une le pointe, l’autre le point o, milieu de ni. Il est visible que les angles au centre ich, nom' sont égaux entre eux * et que leur égalité implique celle des arcs Iti, nm'. Cela posé, voici la conséquence :
Le lien t les positions tlv point m' est f epicycloïdc engendrée pur ce point dons le roulement du cercle au rayon oi sur le cercle égal au rayon ci.
* Au lieu d’une circonférence de cercle, prenons, pour ligne AB,
Fig. 48. une spirale logarithmique , et plaçons le point p au
t » J> pôle. On sait que, dans cette courbe, le rayon vecteur
! pn coupe la tangente en n sous un angle constant.
