I . p< Il s’ensuit que l’angle pnp' reste toujours le même
F et qu’on peut, en conséquence, considérer le rayon
réfléchi comme lié invariablement en n au rayon incident. Cela posé, rappelons-nous, conformément aux déductions du n° I0U, page 25(>, que le centre de courbure r se trouve à la rencontre de la normale ne avec la perpendiculaire élevée en p sur le rayon vecteur pn, et que, d’ailleurs, il sc confond avec le centre inslan-
Les-cordes np, np' étant égales et le point m' situé au tiers de la corde np' comme le point o l’est un tiers du rayon en . on voit aisément que Ips angles nom', nrp. sont nécessairement égaux.
Inné de rotation du système invariable formé par les deux droites np, np'. Il suit de là que le rentre instantané de eireulation de la droite np' est en p', à la rencontre de celle droite avec la perpendiculaire alwisséc sur elle du point c, ou, ce qui revient au même, avec la perpendiculaire abaissée du point p sur en.
L’enveloppe cherchée étant ici le lieu des points p', * il est \isible que la droite np' qui la louche en p' fait avec le rayon vecteur pp' un angle constant, égal à l’angle pnb. La conséquence est que celle enveloppe coïncide avec la spirale donnée , lorsqu'on a fait tourner celle-ci d’un certain angle autour du pôle p.
114. Plaçons-nous dans l'hypothèse où les rajons incidents pn sont tons parallèles entre eux. Les vitesses de circulation représentées ci-dessus par qc,ne étant égales, le point »«' se trouve au milieu du segment nq’. Cela revient à l’énonce suivant :
Dans le ras du parallélisme des rayons incidents, le point ni' s'obtient en projetant orthogonalement sur le rayon réfléchi le milieu du rayon de courbure qui correspond au point d'incidence.*
La formule (K) du n” 112 se réduit ici à la forme très simple
R eos o
uni =r
De là résulte , en général ,
, do n/R . î
' ’ 2 L de J
Soit cl la direction des rayons incidents. (Voir fig. 411, page suivante.) Les angles ncl, en m' sont égaux entre eux et à 9. Il s’ensuit qu’en désignant pur te la vitesse angulaire de la droite nm', on a
(I) ’ . tr = 2 . do.
* Les deux points , que nous avons désignés généralement , l’un par m', faut re par tf , se confondent ici avec le |>oiiit p'.
La vitesse du point n sur la ligne AB étant représentée par nA = R ,dt, sa composante suivant tir/' est Fig. 49.
t. e'b — nb . sin 0 . = R . dt . sin 6.
I \»v* Lu soustrayant de ectle vitesse, supposée eom- X , mnnc. à tous les points de la droite nq', la vitesse exprimée parla différentielle </(»»»') on a la vitesse absolue v, qui anime le point m' dans la description de l’enveloppe cherchée *. On trouve ainsi
de r dR T
Désignons par p le rayon de courbure de cette enveloppe au point m', et par R' = celui qui correspond au point c de la développée de la ligne AB. La combinaison des équations (i) et (2) donne, généralement.
[3R sin 0 — R' cos »],
et, pour le cas particulier où la ligne AB est une circonférence de cercle,
(4) p = — R sm 0 = — rq .
Soit o le centre de courbure qui correspond au point c de la développée de la ligne AB. Tirons la droite co, prenons en n le tiers de ro et projetons le point o en f sur cq'. Il vient
co R'cos0
f/ = CO. COS 0 — — COS 0 = - ,
* Il cal aisé de voir que la partie de la vitesse qui correspond à
R =cons,r, est de même sens que la vitesse r’h.
et, |>nr suite,
Considérons on particulier le cas où In ligne AB est une eirconp. rt0 fércnce «le cercle. Soit pn In direction du
rayon incident, et np celle du rayon réfléchi. Le point m'est In projection sur np' du milieu i de cm.
Décrivons deux circonférences de cercle, l’une sur ni pris pour diamètre, l’autre ayant son centre en c et ci pour rayon.
L’égalité des angles pne, cnp' implique celle des angles mm’, nc(/ dans les triangles qui sont désignés respectivement par ces mêmes lettres et «pii sont rectangles, l’un en ni', l’autre en q.
Cela posé, si l’on observe que le rayon du cercle nm'i est moitié de ci , il est. aisé de voir que les arcs nm' et lii sont égaux entre eux. De In résidtc la déduction suivante :
Le lieu îles points m' fst l'épicycloïile engendrée par ce point dans le roulement, du cercle au diamètre ni, sur le cercle au rayon ci.
On sait, d’ailleurs, que le diamètre ni et le rayon ci sont tous deux égaux à In moitié du rayon en ou K.
En appliquant ici la formule (!)) du n" 8<i, page ±25,
Il faut poser m = 2 et r — m i = - sin $. On trouve ainsi, conformément h ce qui précède,
» = - r^-Rsin».
1 l.'i. Los caustiques par réfraction diffèrent «les caustiques par réflexion en ce que le rayon renvoyé par la courbe est situé, par rapport a la normale, du même côté que le rayon incident, et que, au lieu d'être égaux, les sinus des angles rnp\ cnp conservent entre eux un rapport constant, moindre ou plus grand que l’unité.
Cela posé, si l’on procède comme au n" 1 12, page 21) t-, sans rien changer d'ailleurs aux notations, ou a, d’abord,
en'
— - — rons "■ = /.
S'agit-il, ensuite, de la détermination géométrique du point de /•»/. SI. l’enveloppe situé sur le rayon np' ? Elle, s’effectue de la même manière, et en employant littéralement la même rédaction qu'au n" H 2. De là résulte, en conséquence,
m'n ne' ne nq' ne . V I — /* sin* 8 m'q' cr/' cq' nq l . R . sin « cos 8
ou , ee qui revient nu même,
m'n / V \ — P sin* o
m'n — R V/|~/^o ~ /«»».[> — « cos o]
On en déduit, d’ailleurs, pour le cas général,
R*fl — /* sin* ii]
) \ — / 1 sin* e — l eos s [i — R cose]
et, pour le cas où les rayons incidents conservent tous une seule et même direction ,
R(f — P sin* 8)
ni n — — - — -
V' 1 — P sin* 8 — / eos 8
11(1. Cherchons, pour dernière application, l’enveloppe d’un
cercle variable rapporte u des axes coordonnés rectangulaires et déterminé par l'équation
(*)• • • • jy* + (* — «)* — «»* — f(x, y, *) — o.
En égalant à zéro la dérivée ['* (x , ij, #), ou trouve
Éliminons a entre les équations (I) et (2). 11 vient ainsi
(3) <f — mx ■+■ — •
et cette équation, qui représente une parabole, est celle de l’enveloppe cherchée.
On observera que les valeurs de l’ordonnée y deviennent imaginaires pour des valeurs négatives de l’abscisse x supérieures en grandeur absolue à la quantité ~ , ou, ce qui revient au même, pour des valeurs du paramètre a inférieures à celte même quantité. Cela tient à ce que les cercles successifs représentés par l'équation (1) deviennent intérieurs l’un à l’autre pour toute valeur du paramètre a inférieure à , et qu'ils cessent ainsi d'avoir aueuu point où la direction tangenliellc soit indépendant® de 1a \ a Habilité de ce paramètre.
Reprenons ce problème en le traitant par voie géométrique.
Soient c le centre du cercle variable et lt son rayon. (Voir fig.S2, page suivante.) Le centre c glissant sur la droite OX nvcc la vitesse f/a, on a, généralement,
R* = tua ,
et, par suite,
2ÏÏ
Prenons la vitesse (/«égale à R. La vitesse f/R sera constante et égale à .
Suit uuiu' une- poMiioii queli»n«|uc déterminée du cercle variable. Sur le rayon ru pris pour diamètre traçons une circonférence de cercle uer; prenons la corde re égale à cl prolongeons - la jusqu'à sa rencontre en »»» avec la circonférence amu'.
Considéré comme restant à la fois sur la droite re et sur la circonférence amu', le point m a pour composantes «le sa vitesse actuelle :
1° I ne vitesse ih représentée en direction, sens et grandeur
par ac «= H ;
2” Une vitesse il H représentée en' direction, sens et grandeur
Fi ij 3i.
Ut
par ce ---- - ;
3* Une vitesse perpendiculaire à cm et due tout entière à la rotation de la droite ce autour du point c.
La droite ae représente en direction, sens et graudeur la résultante des vitesses ilx et il R: elle est d’ailleurs perpendiculaire
h ce.
tics diverses données conduisent à la déduction suivante :
Le point m est tel qu'eu le supposant fixe sur le cercle variable, su vitesse actuelle est dirigée tangentiellemcnl au lieu occupé par ee cercle.
Il suit «le ly «pie l'enveloppe cherchée est. le lieu îles points ni. Soit «/ = mp l'ordonnée du point m, et x — Op son abscisse. On a évidemment
cp ■=- ce = a — X.
On a, de même,
y* (a — xf = H* = ma.
Il vient donc, en éliminant a,
y* = mx *- —— ,
et telle est l’équation de I cnvcloppc cherchée.
[/exemple que nous venons de imiter est un de ceux dans lesquels on peut procéder, tout d'abord, en distinguant le changement de forme du changement de position. Pour isoler le premier cri le séparant du second, il suffit de considérer le centre c comme lixe, tondis que le rayon R varie avec la vitesse r/R. Pour isoler le second en le séparant du premier, il suffit de considérer le rayon R comme constant, tandis que le centre e glisse sur la droite OX avec la vitesse r/a.
Parlant de là, cl opérant, comme nous l’avons fait ci-dessus, il est aisé de déterminer les vitesses actuelles de chacun des points du cercle varia Me, et par conséquent aussi de reconnaître que, parmi ces points, les seuls dont la vitesse soit dirigée tangcnticllemcnt au lieu occupé par ee cercle sont, d'une pari le point m, d’autre part le point situé symétriquement au-dessous «le l’axe OX.
