CHAPITRE VI

tMlliXTS SI iNGULI EUS.

117. Poi.nts multiples. — On désigne sous le nom de points multiples les points où passent en même temps plusieurs branches d’une courbe et où, par conséquent, plusieurs tangentes distinctes correspondent, en général, à une seule et même détermination des coordonnées courantes.

Imaginons qu'on puisse distinguer les différentes branches d’une même courbe et les représenter chacune isolément par une équation particulière; les solutions communes à deux quelconques de ces équations correspondent à des points multiples et réciproquement.

Veut-on préciser davantage, et échapper aux cas d’exception que comportent les indications précédentes? On peut s’en tenir à l’cnoncé suivant :

Les points multiples se distinguent de leurs voisins en ce que

parmi les valeurs tic l'ordonnée qui correspondent à uue même abscisse et qui sont généralement différentes, il en est plusieurs qui deviennent égales.

11 est un cas général où la détermination des points multiples se ramène à des règles trcs-simplcs; c’est eelui des courbes représentées par des équations algébriques et rationnelles. Soit

une équation de celle espèce. On en déduit

f/x rfy f/x

Cela posé, s’il s’agit d’un point multiple, il faut que les valeurs affectées pour ce point par les dérivées ~ » -- cessent de four-

• “x du

mr une valeur unique pour le coeflicicnt différentiel Celte condition ne peut être remplie que dans le cas où ces deux déri- \écs s’annulent. 11 faut donc que l’on ait en même temps

f/F rfF

*. ix~0’ 77j=0’

Supposons que 1 ensemble de ces-lrois équations comporte des solutions réelles. La différentiation de l’équation (2) donne poulies valeurs correspondantes du coefficient différentiel — .

f/*F , f/T du

f/xs f/x . f/y rfx

f/T (dij V __ f/y’ \dxl

Si le point multiple correspondait à la rencontre en un même point de trois branches distinctes, on devrait avoir, comme on l’a vu tout à l’heure,

f/x’~°’ dxdy °’

Il faudrait donc que les valeurs déduites des équations (5) satisfissent,en même temps, aux équations (5), et c’est à In différentielle de l’équation (4) qu’il faudrait recourir pour déterminer les valeurs correspondantes du coefficient . Le même procédé , constamment poursuivi, s’applique à 1a rencontre en un même point d'un nombre quelconque de branches.

1 18. Soient m un point d’une courbe; ml la tangente en ec point; OX, OY deuv droites quelconques situées dans le plan de la courbe et prises pour axes coordonnés. Il arrive, en général , que 1a courbe s’étend des deux côtés du point m, et que, de part et d'autre, elle se détache de 1a tangente en restant d'abord d’un seul et meme côté. Cela posé, deux cas sont possibles, selon qu’à partir du point m, vu de ai comme au delà, les coordonnées de la courbe commencent par être moindres que celles de la tangente ml, ou qu’au contraire, les premières remportent sur les secondes. Dans le premier cas, ou dit de la courbe qu elle est concave en m par rapport a la droite OX. Dans le second, on dit qu'elle est convexe en m par rapport à celte même droite.

Soit n un point mobile, assujetti à décrire la courbe donnée et Fig. 5ï. sortant du lieu m à l’instant que l’on considère. r, Représentons, par ml , la vitesse actuelle de ce

/ ^ ■' point, et, par mm’, tn’l, ses composantes paral-

4» lèlcs aux droites OX, OY.

o — A L équation de lu courbe étant, par li\ polhè&c,

On a

dy = f(x) . dx ,

et l’on peut supposer constante la vitesse dx—mm’.

Il est visible que la courbe est convexe ou concave en m, par 'rapport à la droite OX, selon que la rotation de la directrice du point n. autour du lieu ih est dirigée de manière à faire croitre ou à faire décroître la \ itessc dij — m'l, et réciproquement. Or, cette vitesse est croissante ou décroissante, selon que I on a

(Fi/ ^ f"(x) . dx- > o,

ou bien

iPy — l "(x) ilx* < o.

Concluons que la courbe est convexe ou concave, par rapport à lu droite OX, selon que la dérivée seconde f"(x) est positive ou négative.

Supposons que cette dérivée soit nulle. La première des dérivées suivantes, qui ne s’annule pas, peut être de rang pair ou de rang impair.

Est-elle de rang pair? Elle se substitue à la dérivée seconde /"(x), et rien n’est changé, d’ailleurs, puisque celle-ci prend le signe de l'autre.

Est-elle de rang impair et positive? La dérivée f"(x) est négative en deçà du point w et positive au delà. Il y a donc concavité d’un côté et convexité de l’autre.

Est-elle de rang impair et négative? La dérivée f"(x) est positive en deçà du point m et négative au delà. C’est donc, en sens inverse, la même conséquence que dans le cas précédent.

Points d’inflexion.— On désigne sous le nom de points d’inflexion les points où la tangente coupe la courbe. Ils se distinguent en ce cpie la courbe, supposée convexe en deçà de ces points, devient concave au delà, ou inversement. La condition analytique qui les caractérise est le changement de signe qui leur correspond dans la dérivée seconde /'"(x). On détermine les points d’inllcxion en posant

ou bien encore (*)• • • '

Dans tous les cas, il faut s’assurer que les valeurs déduites pour la variable x de l'une ou l outre des équations (I) et (2) ne peuvent être franchies sans qu’il en résulte un changement de signe de la dérivée seconde f'\x).

I lit. Points ue rebroussement. — Lorsque deux brandies d'une courbe s'arrêtent en un même point et y ont même tangente, ec point est dit point de rebroussement. Il est du premier genre ou du second, selon (pic les deux branches se détachent de la tangente commune en la laissant entre elles, ou en s’en écartant toutes d eux d’un même cùté.

On rcconnuil qu'une branche de courbe s’arrête en un point, lorsque les ordonnées sont réelles, d’un côté de ce point, et que, de l’autre, elles sont imaginaires. Dans le cas où la tangente en ee point est parallèle à l’axe des y, il faut substituer l'abscisse à l’ordonnée.

Le point de rebroussement comporte, pour chacune des deux

branches qui s'y arrêtent, une seule et même valeur du coefficient

différentiel ^ . Il est du premier genre ou du second, selon que

les valeurs correspondantes de la dérivée seconde f"(x) — —

dx*

sont de signe contraire ou de même signe.

120. Points conjugués. — Points d’arrêt. — Points saillants ou anguleux. — On désigne sous le nom de points conjugués des points isolés qui satisfont à l’équation de la courbe.

On nomme point fl’itrrét tout point où se termine isolément une branche de courbe.

Les points dits saillants ou anguleux sont ceux où plusieurs branches s’arrêtent en conservant chacune une direction distincte.

II est aisé de voir à quels signes un peut reconnaître et distinguer ces points de ceux que nous avons définis précédemment et avec lesquels ils présentent certaines analogies.

Exemples de points singuliers «y ~ o’x* -+- x* :

' Ces exemples sont empruntés aux éléments de calcul infinitésimal de M. Duhamel. Palis, 1856. Tome Pr page. 3oo.

Point multiple, inflexion.

2' y — sin x, y — cos x, y — Ig x, xy = Ig x, y = xtyx: Inflexions.

• , "ÎP I

llckrousseuicnl (lu premier genre, lorsque l'exposant — — — reste compris entre 1 et 2.

Rebroussement du deuxième genre, lorsque cet exposant est supérieur à 2, et que lu dérivée seconde s"(x) n'est pas nulle.

Cas particuliers :

: yi = x\ y == x Je. x V x, y = X- ± X- V X,

I f-taïl1 l-****--

Point d'arrêt à I origine.

Point saillant ou anguleux à l’origine.

l’oint conjugué ou point multiple, pourx — «, et selon que a est moindre ou plus grand que h.

Hfmauqi e. — Il est des points qu’on peut désigner sous le nom de points limites et ranger dans la classe des points singuliers. Ils se distinguent des points d’arrêt et des points saillants en ce que la courbe s’en rapproche indéfiniment sans les atteindre. Cette double condition suffit, en général, pour déterminer les points limites, comme on le (oit dan.- les exemples suivants :

( ÔO!» )

I.e point pris pour pôle est un point limite dans la spirale hyperbolique

et dans la spirale logarithmique

r = inc"

I.e point pris pour origine des coordonnées est un point limite dans la courbe représentée par l’équation

g — x sin — •

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