CHAPITRE VII

THÉORIE GÉNÉRALE ItES CONTACTS DE TOCS LES OItDRKS.

Voie géométrique.

121 . Soient deux courbes situées dans un même plan et avant un point commun.

Si ces (ourbes ont, en ce point, même tangente, elles se louchent et leur contact est dit du premier ordre.

Si, en outre, elles ont même centre de courbure, leur contact, devenu plus intime, est dit du deuxième ordre.

Soit o le centre de courbure commun à deux courbes qui ont

• Si la courbe atteignait runtime des coordonnées , elle comporterait nu li ace continu ajanUreltc même origine (tour poinl de départ. Or, il est évident qu'un pareil tiacé est impossible, puisque rien ne détermine si c’est en s'élevant au-dessus de l'axe des.r. on au contraire en s’a baissa ni au-dessous qu'il devrait commencer.

entre elles un contact du deuxième ordre; les développées de ces courbes se touchent au pninl o cl leur contact est, en général, du premier ordre.

Supposons que ces développées aient en o un contact du deuxième ordre, le contact des développantes devient plus intime et il est dit du troisième ordre.

Pour abréger, disons immédiatement qu’un contact de l’ordre n — 1 entre les développées implique un contact de l’ordre « entre les développantes et réciproquement. Il suit de là que le contact du quatrième ordre se définit au moyen du contact du troisième ordre, celui du cinquième au moyen du quatrième, et ainsi de suite indéfiniment.

122. Considérons deux courbes Iml, l'ml' passant par le point m

Fiy. 54.

\br~*

où elles ont même courbure, et dont les développées respectives os, os' sont situées toutes deux d’un même côté par rapport à la normale mo.

Occupons-nous , d’abord , des arcs ml, ml' pris à droite du point m et supposons la développée os' intérieure à la développée os.

Du pdhit e pris sur l’arc ml, à proximité du point m, menons deux droites, l une eli tangente en h à os, l’autre e» tangente en » à os . Cette construction, toujours possible pour une certaine étendue de l’arc ml comptée à partir du point m, donne évidemment *

. on -t- ne < oh -+- he.

On n d’ailleurs, conformément au principe du n" 7’i, ** oh -t- he — om.

• L'enveloppe ohe est nécessairement plus longue que l'enveloppée one.

" Toute tangente à la dévelop|téc est normale à la développante et réciproquement. I-'arc de développée compris entre deux ratons de courbure de la développante a pour longueur rectifiée la différence de ecs mêmes rayons. (Voir au Iwsnin le n° 75, page 20:2.)

Il vient donc aussi

on -t- ne < om.

Celte dernière inégalité montre que le point de la développante ml', qui correspond au centre de courbure n, se trouve au delà du point e sur la tangente ne, et, conséquemment, que la développante ml' est extérieure à la développante ml.

De là résulte, en premier lieu, la déduction suivante :

La position relative affectée par les développantes , à partir du point m et d droite de ce point, est l'inverse de celle qui lui correspond dans les développées.

Occupons-nous maintenant des arcs ml', ml situés à gauche du point ni et supposons, comme tout à l’heure, la développée os' intérieure à In développée os.

Du point e' pris sur l’arc ml' à proximité du point m, menons deux droites, l’une e'h tangente en h à os, l’autre en e'n’ tangente en n' à os. La tangente en rencontre en q la développée os, et l’on a

n'e =n'q -e- qe' = no ■+■ om. ^

De là résulte, en remplaçant l’enveloppée n'o par l’enveloppe n'q -*-qo, et supprimant, dans chacun des deux membres de l’inégalité résultante, la partie commune n'q,

qe' < qo -+- om.

Ajoutons, de part et d’autre, hq; il vient hq -s- qe' < hqom,

et, à fortiori ,

he' < hqom.

Cette dernière inégalité montre que le point de la développante ml, qui correspond au centre de courbure II, se trouve au delà du point e sur la tangente lie', et, conséquemment «pie la développante ml est extérieure à la développante ml".

De In résulte , ni second lien, la déduction suivante :

Lu position relative affectée par les développantes, à partir du point ni et à yauelte de ce point, est la même que relie qui lui correspond dans les développées.

Les déductions formulées ci-dessus peuvent se résumer comme il suit :

Lorsque deux courbes ont entre elles un contact d'un ordre quelconque supérieur au premier, selon que leurs courbures sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes à partir du point de contact et d'un même côté de ce point , la position relative des développées est l'inverse ou la même que relie des développantes.

I2Ô. Le principe que nous venons d’établir implique comme conséquences plusieurs propositions applicables aux contacts des ordres supérieurs et déjà démontrées pour le cas de l’osculation simple.

Observons d’abord que, dans le cas où le contact établi entre deux combes est d'un ordre quelconque supérieur au second, les développées de ces courbes ont même courbure et se détachent, par conséquent, d’un même côté de la normale. Il suit de là que les courbures des développantes, supposées variables à partir du point de contact, sont généralement , toutes deux croissantes d’un côté de ce point et toutes deux décroissantes de l’autre côté \

Cela posé, puisque d’un côté du point de contact les positions relatives des développantes et des développées sont les mêmes, tandis qu’elles sont inverses de l’autre côté, il s’ensuit que si les unes se coupent, les autres ne se coupent pas, et réciproquement.

S’agit-il maintenant d’un contact d’un ordre quelconque « entre les développantes? Le contact des développées est de l’ordre n — 1.

Soit n t= 3. Les développées ont enjre elles un contact du second ordre et, par suite, elles se coupent. Concluons que les dévelop-

* On ne perdra pas de vue qu'il s'agit du cas général et non des cas particuliers qui correspondent soil à des maxima <»u des minima de courbure, soit il des points d'inflexion , de rebroussement , elc.

pontes no so coupent pas et qu'il on est généralement ainsi pmir tout oontacl du troisième ordre.

Soit n = 4. Les développées ont entre elles un eontaet du troisième ordre et, par suite, elles ne se coupent pas. Concluons que les développantes se coupent et qu’il en est généralement ainsi pour tout contact du quatrième ordre.

I.e même raisonnement constamment poursuivi conduit évidemment nu\ déductions suivantes :

1° En qénérul, lorsque (leux courbes nul entre elles un contact d’ordre puir, elles se coupent nu point de contact ;

2“ lin général , lorsque deux courbes ont entre elles un contact d'ordre impair , elles ne se coupent pas un point de contact.

Considérons une troisième courbe ayant , avec chacune des deux autres et pour le même point, un contact quelconque d’ordre inférieur il celui que ees courbes ont entre elles. Si cette troisième courbe pouvait, à partir du point de contact rester comprise entre les deux autres, il est aisé de voir que sa développée remplirait lu même condition par rapport à celles des deux premières courbes. Soient, en effet. A, U, C les trois courbes que l’on considère; in leur point de contact; A,, B,, C, leurs développées respective?. Le contact des courbes A, B, étant au moins du troisième ordre, il s’ensuit qu’elles ont même courbure eu m, cl, conformément aux déductions du n° 80“’, page 210, qu’aucune courbe de courbure différente ne peut passer entre elles. Par hypothèse la courbe C part du point m et reste d’abord comprise entre les courbes A, B. Il faut donc qu'elle ait en ni même courbure que ces courbes et, par conséquent aussi, même centre de courbure. Soit o ce centre: les développées A,, B,, C, se louchent au point o, et elles sont situées à partir de ce point d’un même cûté de 1a normale nio "

’ Celte [imposition est évidente ea ce qui concerne les courbes A, , B, dont le contact en o est au moins du second ordre. Il est d'ailleurs aisé de voir que si la développée C, était située par rapport à la normale rno du côté opfiosé à celui des développées A,, B, , la courbure de la courbe C serait croissante à partir du point m du côté où les courbures des courbes A , H sont toutes deux décroissantes, et Inversement. Il serait doue impossible que la courbe C. restât d'abord compri-e entre les courbes A, lî.

Rangeons les trois premières courbes dans l’ordre où elles se succèdent, à partir du point m'. Si, comme on le suppose, In courbe C reste, d'abord, comprise entre les courbes A, B, l’ordre correspondant est A , C, B. Mais, d’un autre côte , la position relative des développées est la même ou l’inverse qué celle des développantes. 11 faut donc que l’ordre affecté par les développées, à partir du point O soit A,, C,, B, ou B,, C, A,. De là résulte évidemment la conséquence formulée ci-dessus.

Étendons cette conséquence aux développées successives des courbes A, B, C. Soient A,, B,, C, les développées des courbes A,, B,, C, : A,, Bj, Cs celles des courbes A*, B*, C, et ainsi de suite. Il est visible que si la courbe C ne peut rester comprise entre les courbes A, B sans qu'il en soit de même de la courbe C,, par rapport aux courbes A,, B,, la mcinc conséquence s’étend de proche en proche à toutes les développées successives; la courbe C* devant rester comprise entre les courbes A», B,, la courbe Cs entre les courbes As, B, et ainsi de suite jusqu'à ec que l’on parvienne à une développée C„ dont le contact avec les développées correspondantes A., B. ne soit plus que du premier ordre. Observons ici que le contact des développées A., B, est nécessairement d'un ordre égal ou supérieur nu second. Elles ont donc même courbure, et dès lors il devient impossible que la courbe C. dont la courbure est moindre ou plus grande puisse passer entre elles. On voit ainsi que l’hypothèse d’où l’on est parti implique contradiction. De là résulte^ en conséquence, la conclusion suivante :

Entre deux courbes dont te contact est d’un certain ordre, on n’en peut mener aucune ayant arec elles un contact d’ordre inférieur.

Cette conclusion justifie ce que nous avons avancé au n" 121, en disant du contact de deux courbes, qu’il devenait de plus en plus intime à mesure que son ordre s'élevait.

124. Considérons une courbe plane A et représentons par A,, A, , etc., A. ses développées successives.

Soit p le rayon de courbure de la courbe A;», celui de la courbe A,; p , celui de la courbe A„ et, ainsi de suite, p, étant le rayon de