SIS

«Mirbuir d« In eourl»e A.. Il est entendu quê tons ces mvnns correspondent à un seul et même point de la eonrhe A.

Si nous désignons, par s , la longueur d’un arc pris i\ partir d'un point'ipielronque m sur In courbe A, et, par <u, l’angle que la tangente en ee point fait avec une droite li\e située dans le plan de la courbe, ou a , généralement , pour le point m ,

ils

du

Imaginons, pour plus de simplicité, que la vitesse angulaire du soit assujettie à demeurer constante. Il suffit de se reporter aux considérations du n" 7">, page 202, pour reconnaître que l’on peut écrire immédiatement,

dp iPs

P> “ ffo “ du' ’

et, en général,

iPa

du 5

dp. , d*Ha

du ~ du ■+' ‘

Mais, d'un autre cété, si l’on rapporte la courbe A à des axes coordonnés rectilignes, et qu'on représente son équation par

il est aisé de voir que les différentielles du et dm+,s dépendent exclusivement : la première, de l’abscisse x et des dérivées f'(x), f"[x) ; la seconde , de ces mêmes cléments et, en outre , des dérivées suivantes f"'( x), /'"(x), etc., jusques et y compris celle de l’ordre n 2, f* + *(x).

Cela posé, s’agit-il d’une outre courbe, ayant pour équation

et susceptible de contracter avec la première un rontaet de l’ordre h -+- 2? Les développées successives, qui se correspondent de part

ri «l'an Ire. devront avoir meme rayon tic courbure jusque* rl v compris celles de l’ordre h. Lh conséquence es! que, pour une même valeur attribuée à la variable x et correspondante an point de contact des «leux courbes, on devra satisfaire, en même temps, à toute la série des équations simultanées,

La réciproque est d’ailleurs évidente.

Les équations qui précèdent étant au nombre de « -»- ô, il s’ensuit «pie, pour établir un contact de l'ordre n -r 2, entre une courbe quelconque A et une courbe 11 d’un genre déterminé, il faut, en général, «pie réipialion la plus complète de la courbe II comporte au moins » + 3 constantes arbitraires. Lors«pie la courbe 11 est une section conique, les constantes arbitraires sont tout au plus au nombre de cinq. On voit, par là, que le contact de l'ordre le plus élevé, qu’on puisse établir, généralement , entre une courbe quelconque et une section conique, est un contact du quatrième ordref Suivant les différents cas, cette section est une ellipse, une hyperbole ou une parabole. La note A placée plus loin, à la suite du nu liti, montre comment ce curieux problème peut-se résoudre par voie purement géométrique.

Procédé mixte.

MU. Soient A cl A' deux courbes avant entre elles un contact «le l'ordre « -t - 2 ; m Te point où ce contact a lieu : y, <■/ les rav ons de courbure qui se correspondent pour des points déterminés, de part et d’autre, par une meme direction langcntiellc.

E» désignant par p„ p„ etc., p„ les rayons de eourburc qui correspondent au rayon p, pour les développées successives de la courbe A, et par c\, p'„ etc., p'„ ceux qui correspondent au rayon />' pour les développées successives de la courbe A', ou a, généralement,

dp,- 1 , dp, ,

l)c là résulte

d(pH-i — p«- 1)

dû ~

et, s’il s’agit en particulier du point m, où les courbes A, A' ont entre elles un contact de l’ordre « -+-'2, (la vitesse angulaire du étant supposée constante comme au n" 124)

= rf(.6 ~~ .0 = ,, fl iL

c/(,0| — pi) d*(p — p')

pl — Pi -

du

du1

d(pi — pi) d\p — ;/j ■'5 ,,'3~ </« dar

d(p.-i — P.-,) dH,-'(p~p)

du da" * 1 —t>'

La différence p — p' étant nulle en tu , on sait qu’elle change de signe en passant par ce point lorsque la première de ses différentielles successives qui ne s’annule pas est de rang impair, et qu’elle n’en change pas lorsque cette même différentielle est de rang pair. Cela revient à dire que le passage par le point m s’effectue avec ou snns changement de signe, selon que l’indice n est pair ou impair. Mais, d’un autre côté, il est aisé de voir que les courbes A, A' se coupent au point iii, ou qu’au contraire elles ne

s’y coupent pus, selon que lu différence o — p' change ou non de signe en passant par ce point. Ou peut donc poser immédiatement la eonclusion suivante :

En générul, lorsque deux courbes oui entre elles un contact de l'ordre n, selon que l'indice n est pair ou impair, elles se coupent ou ne se coupent pus au point où le contact a lieu.

Considérons une troisième courbe A" ayant, avec chacune des deux courbes A, A', et pour le même, point m, un contact quelconque d'ordre p -h '2 inférieur à celui que ces courbes ont entre elles. Si l’on désigne par p", p"„ pi, etc., pour la courbe A ', les rayons de courbure correspondants à ceux qu'on a désignés cidessus par p, o,, pt, etc., pour la courbe A, et par a', p\, pt, etc., pour la courbe A', il est visible que la position de la courbe A”, par rapport à chacune des deux autres, est relativement la même, puisqu'elle est déterminée , pour l’une . par le signe de la différentielle ,

(i) d^\?-p")=cr+'p-d'+,p",

pour l'autre, par le signe de la différentielle,

(*>■ /^(p-z^ry-rV',

et que l’équation •

implique l’égalité des différentielles (I) et (2).

De là résulte la proposition déjà formulée ri --dessus dans les termes suivants :

Luire deux courbes dont le contact est il un certain ordre, ou n en peut mener aucune ayant avec elles un contact d'ordre inférieur.

Voie analytique.

I2li. Soient A et B deux eourbes quelconques, situées dans mi même plan et rapportées à un même système de eoordonnécs. On dit de ees eourbes qu'elles ont entre elles un eontael de l’ordre n , en un point déterminé m, lorsque les coordonnées de ee point satisfont en même temps aux équations des courbes et à celles qui s’en déduisent par n différentiations successives.

Supposons les coordonnées rectilignes, et les équations des eourbes ramenées à la forme

Si nous développons chacune de ees fonctions, d’après lu série de Tajlor, cl que nous attribuions à la variable x la valeur qui correspond au point m , les courbes ayant en ce point un contact de l’ordre «,on a d’abord, selon la définition ,

et, par suite, conformément à la formule (I) du n° If», *

(I) li) = — - Ml(l— tm+,(x-t-h»)].

Observons ici que, par hypothèse, la différence f"+ 1 (x) — •r"+l (x) n’est pas nulle et qu’en conséquence, elle donne son signe à l’expression symbolique

M[(i - «)- [f*\x + lut) - f-+\x + /'«')].

non pas seulement pour h — o, mais, en outre, pour toute valeur de h qui ne dépasse pas, en grandeur absolue, une certaine limite.

Cela posé , il est visible que la différence ({x h) — *(x h)

* Voir au besoin le n" 1 H, page 4 t.

change un 11011 de signe avec h, selon que l'indice n est pair ou impair. Voici d’ailleurs la conséquence :

Les courbes A, B, qui ont en ni un contact de l’ordre n, se. coupent en ce point ou ne s'y coupent pas, selon que l imlice n est pair ou impair.

Soi! C une troisième courbe passant parle point m cl ayant en ce point avec chacune des deux autres un contact d’un ordre p, inférieur à celui qu’elles ont entre elles. Si l’on représente par

l’équation de celle courbe on a, comme tout h l'heure,

hr

(2) F(x -t- h)-~ f(x-+- h)— Sli (1— »')*■[ t',' t '(x + lui)— fl>+,(x ■+• lui)],

et , en même temps,