Etant données les équations de la droite D

( I ) x = az -4- h , y = bz -+- i,

on en déduit, par la différentiation ,

(2). . dx ==> ail z ziia dli , il y = lulz zilb -+- (li.

Soit G la \itessc de glissement commune à tous les points de la droite I). En désignant , par « , 6, y, les angles que cette droite fait avec les axes OX, OY, OZ , on a

(ô). G =* dx cos x -+- rfy cos? h- dz eos y

ailx ■+■ bily ■+■ di V' a- + lé -+- I

Les équations (i) et (5) déterminent Ie9 vitesses simultanées des différents points de la droite mobile.

Soit m un point quelconque de la droite D; lT la vitesse actuelle de ce point; mil le segment de droite qui représente la vitesse U. Les coordonnées du point m étant x, y, z, désignons par t, a, v celles du point ». On a

dx — t — x ==• t — az — li, dy = u — y = u — bz — i, dz — r — z. Substituons ces valeurs dans les équations (i) et (ô), et rempla-

cons, par e, le produit Gl/ «4-t- />4-t-l, dont la valeur est indépendante de la position du point ni sur la droite D. On trouve, ainsi,

al lin -4- v — ah — Iii — r

I — «t* — li — a li = — (la;

a1 -t- Ir -t- 1

... ff/ 4- 6m » — ah — lit — c

(•»'. . . u — In i — r/i — ; . r/6.

tr 1- 1

Les équations (4) et (î>) déterminent la droite sur laquelle sont situées les extrémités des vitesses qui animent en même temps les différents points de la droite I). Divisées, membre à membre, elles donnent

t — ar — li — illi du ^ il — hv — i — f/i f lh

L’équation (<i) représente un plan dont la direction demeure invariable, indépendamment de toute valeur attribuée au glissement (r et à la vitesse d'accroissement de la variable indépendante. Il suit de là que ce plan doit avoir même direction que le plan P du n# 131. On vérifie celte déduction en observant que, si l'on désigne, par A, B,C, les coefficients des coordonnées courantes t, u, v, les valeurs qu'ils affectent dans l’équution (ti) sont les mêmes que celles qui résultent des équations de condition

Au -t- B/» ■+■ ('. = o , Af/u -t- Bd h = o.

La droite déterminée par les équations (4) et (b) varie de position avec la grandeur du segment mu , ou , ce qui revient au même , avec la vitesse d’accroissement attribuée à la variable indépendante. Mais, d'un autre côté, elle est comprise dans le plan déterminé par l'équation (ti), et, par conséquent, elle ne cesse pas d’étre parallèle au plan P. La conséquence est que le lieu des positions qu'elle prend, pour toutes les valeurs du segment uni, est un paraboloïde hyperbolique.

Remarque. — Eu egard à l'équation (3), il est aisé de voir qu'en posant

(7) adx 4- bdy 4- dz = o,

on annule la vitesse de glissement (î, el qu'en conséquence, on rend les vitesses des différents points de la droite mobile toutes pcr|>cndiculaires a cette droite.

On peut se donner à priori l'équation (7). Elle exprime , par elle seule, que la vitesse du point m est dirigée perpendiculairement à la droite D. Il s'ensuit qu'il en est nécessairement de même pour les vitesses simultanées de tous les autres points. Celte déduction se vérifie très-simplement par le calcul. Soit en effet m' un second point quelconque de la droite D , et x', y, z les coordonnées de ce point. La distance mm' demeurant invariable, on a, d'abord,

( x — x')"- -t- (y — y'f -i- (c — z'f — cons"., cl, par suite,

(*—*') [dx — dx) 4 -{y—y')(dy — dy) 4- (o - s') [dz — dz') — 0.

Mais, d’un autre côté, les équations (I) donnent

x — x = u(z — z), y — y' =4 b(z — z'), il lient doue, en substituant, et supprimant le facteur commun

(8). . . n(dx — dx')-\-k(dy — > ly') + dz — dz' — o.

La combinaison des équations (7) el (8) montre que l’on ne peut avoir

adx 4- My 4- dz = 0 , sans qu’il n’en résulte

ndx' 4- bd y' 4- dz’ — 0.

La conclusion est d ailleurs évidente.

( 5jO )

Condition* analytiques du mouvement d un plan dans l’espace.