Soit
( I ) Ax ■+• iiy -+- Ci — K , ‘
1’équation d’un plan. P, supposé mobile dans l’espace et considéré ii l'instant précis où il sort d’un des lieux qu’il occupe successive* ment. Les paramètres A, B, C, K dépendent, en général, d’une seule et même variable, et chaque valeur de ectlc variable détermine une position correspondante du plan mobile.
Lorsque le plan P sort du lieu qu’il occupe, c'est, en général, par rotation autour d’une droite située dans ce plan et désignée sous le nom de caractéristique. Dans tous les cas, lors même que cette propriété ne serait pas connue d’avance, on peut toujours faire abstraction du mouvement du plan sur lui-méinc, et considérer ceux de ses points qu’il est permis de regarder comme lixes à l’origine de son déplacement. Ces points se distinguent des autres en ee que leurs vitesses sont nulle» , et qu’ils satisfont, en conséquence, à l'équation différentielle
(2) . . . ... . xdA -t- y dli -+ zi/C = </K.
Il suit de là que les points dont il s’agit sont situés sur la droite représentée par les équations (1) et (2). Concluons que ces équations sont celles de la caractéristique.
On parvient au même résultat, en partant de l’équation différentielle
(3) . . A dx -i- Bd y -+- Cdz •+- xdA -t- yd\\ -\- zdC — dK.
Ln effet , puisque celte équation subsiste, en même. temps, pour tous les |Kiints du plan I1, on peut distinguer, parmi ces points, ceux dont les vitesses actuelles sont compatibles avec un état de mouvement qui résulterait, exclusivement, d’un déplacement du
pian P sur lui-même. Lorsqu'on raisonne dans l'hvpothèsc où lepian P ne sort pas du lieu qu’il occupe, on doit regarder les paramètres A, B, C, K comme constants. Il vient alors
(4) A dx B dij 4- Cilz — 0.
Or, on veut que celle équation subsiste en même temps que l'équation (3). Celle-ci se réduit doue à l'équation (3). Réciproquement, si l'on considère les points du plan P déterminés par l'équation (2), les vitesses actuelles de ccs points satisfont à l’équation (4).
On voit, par là, que, si la caractéristique se meut , c’est dans le plan P, et l’on a l’énoncé suivunt :
L’étal de mouvement d'un plun, qui se meut dans l'espace, résulte, en général, du mouvement d'une droite supposée fixe dans le plan mobile, et d'une rotation de ce plun, la droite ne sortant pas du lieu occupé par le plan mobile à l'instant que l’on considère et le plan tournant autour de cette droite.
La droite, dont il s’agit, prend le nom de caractéristique. Le mouvement qu’elle a dans le plan mobile se communique à ce plan, sans en changer la position dans l’espace ni, par eonséq tient, l'équation. On peut donc la regarder comme fixe, en ce qui concerne, à chaque instant, le mouvement angulaire du plun mobile et les vitesses qui animent les différends points de ce plan perpendiculairement à sa direction actuelle. On voit d'ailleurs, d’après ce qui précède, que la caractéristique est déterminée par les équations (1) et (2).
On observera que les vitesses simultanées des différents points de la caractéristique sont dirigées à chaque instant dans un seul et même plan. Il s’ensuit que cette droite remplit les conditions de la droite mobile du n° 132, et que le lieu de ses positions successives est une surface développable *.
• Il est aise de voir que la condition, nécessaire et sulUsautc |>our qu’une surface réglée soitdé'eliqipatile, consiste en ce qu’elle n'ait qu'un seul et même
Considérons le point de la caractéristique dont la vitesse est nulle, ou peut être supposée nulle, parce qu’elle est dirigée tout entière suivant celle droite. Les équations de ce point ne satisfont pas seulement aux équations (I) et (2), mais, en outre, à celles qui s’en déduisent par la différentiation , soit en égalant à zéro chacune des différentielles dx , thj, dz, soit en annulant, comme on l’a vu (outà l’heure, l’enscinblc des termes qui correspondent à la différentiation effectuée par rapport aux variables x,<j, z. Ou retrouve ainsi l'équation (2), et l’on obtient, en outre, l’équation suivante :
(ü) xd! A •+■ ijdrïï -i- zd'C = (CK.
Le point déterminé par les équations (I), (2), (.’>) est le point cherché. Le lieu de ces points résulte de l’élimination de la variable indépendante entre ces mêmes équations. Il est l’enveloppe des positions successives de la caractéristique. Ce lieu prend le nom d 'arête de rebroussement , par rapport à la surface développable que déterminent les positions successives de la caractéristique.
Hecti/iratiou des courbes ù double courbure.
15b. Considérons une courbe quelconque, située dans l’espace. Désignons-la , par S, et supposons que scs équations soient ramenées à la forme
Soit m un point mobile, assujetti à décrire la ligne S cl sortant du lieu m à l’instant que l’on considère.
plan tangent pour tous les points d une même général ricc quoleiuique rectiligne. Lorsque celle condition est remplie, la surface peut s'appliquer sur un plan, point par point, sans déchirure ni duplicature , sans extension ni contraction d’aucune des lignes qui y sont tracées. On dit alors qu’elle est développable. Telles sont, eu général, les surfaces coniques et cylindriques. .Nous reviendrons sur ce|>oiut, île manière à ne laisser prise à aucune objection, lorsque nous nous occuperons plus loin de lu théorie des surfaces.
Si nous représentons, par x , y, z, les coordonnées du point /x, et par s, la dislance comprise sur la courbe entre un point fixe situé sur celte ligne et le point n, la vitesse du point décrivant a, pour expression générale,
(2) ,1s = V, lx* + dtf + dz\
dx, r/i/,(/;élanlles composantes respectivement parallèles aux axes coordonnés rectangulaires OX, OY,ÜZ. On a, d’ailleurs , comme résultat de la dilTércnlialiou des équations (I) ,
(5). . . . dx — f'(z) . (tz, dy = f'(z) . dz.
De là résulte, en premier lieu,
(4) </* = dz l/l ■+■ f(zy
et, s’il s’agit de la rectification de l’are s,
(5) . . . . a* = â*.M|+4 V ! -+- -r\zf.
Tunyenles elyluns normaux.
156. Sans rien changer aux notations précédentes, désignons, j>ar T, lu tangente en m à la courbe S; part, u, v, les coordonnées courantes de la tangente T; par a, <>, y, les angles de cette droite avec les axes OX OY, OZ. La droite T étant dirigée suivant la vitesse qui anime le point n, au sortir du lieu m, il suffit de poser
(1) . . dx — t — x, dy — u — y, dz — v~-z,
et de substituer ces valeurs dans les équations (5) du n" 135, pour obtenir les équations de la tangente T. Ou trouve ainsi
On a, d’ailleurs,
dx dy dz
(o). . cos a = , eos — eos y = — •
ds ds ils
Supposons, maintenant, que les coordonnées t, u, v soient celles d'un point quelconque situé dans le pian Q mené par le point m perpendiculairement à la tangente T. Le point n étant considéré comme lixe, tirons la droite qui le joint au point p et désignons, par R, la distance comprise entre ces deux points. On a, généralement,
(4). . . . (t — x)’ («/ — ij)' -+-(«— zf = R*.
La vitesse qui anime le point au sortir du lieu m , est perpendiculaire h la droite np. Il suit de lit que la vitesse correspondante dR est nulle, et qu’il vient, en différenciant l'équation (4),
(o). . . (f — x)dx -+- (u — y)dy ■+■ (u — z)dz~o.
* L’équation (5) s'applique à toutes les positions que le point n peut prendre dans le plan Q. Elle est donc l'équation de ce plan. Eu égard aux équations (3) du n° 135, on peut l’écrire sous la forme suivante :
Concluons que les équations (1) cl (2) sont celles de la tangente on m h la ligne S, et que celle du plan normal, mené par ce même point, est indifféremment l’une ou l’autre des équations (5) et (fi).
Plan oscillateur.
137. Soit D la directrice du point n. Lorsque le point p sort du lieu m , In droite D tourne autour du point p, et les vitesses de ses différents points sont toutes dirigées dans un seul et même plan P. Ce plan est, pour le point m , le plan osculateur de la courbe S. C'est dans ce plan que commence la rotation de la tangente, lorsque le point de contact se déplace continûment.
Si l'on désigne, par t, u, t’, les coordonnées courantes et , par x,
y, z, celle» du point de contact, on a, pour équations générales de la directrice I), ou, ce qui revient nu même, de la tangente T,
... dx , du ,
Le plan P passant par le point m, son équation est de la forme
On a, d'ailleurs, conformément aux équations de condition (4) et (5) du n° 131, page 344,
. dx n du A — — h B ~ dz dz
dz dz
Les équations (3) déterminent les valeurs des coefficients - , - • En substituant ces valeurs dans l'équation (2), on trouve, apres réduction ,
(4). . (< — x) (dztPy — dy<f*z) -4- (m — y) (dx(Pz — dzePx)
-4- (v — z) (dyiPx — dxif-y) — o,
et telle est l’équation du plan osculatcur.
On parvient au même résultat en combinant l’équation (2) avec celles qui s’eu déduisent par deux différentiations faites successivement par rapport aux coordonnées x , y, z. La première des équations différentielles que l’on obtient ainsi est
(а) A dx -4- Br/t/ -t- Cdz =■ 0.
La seconde est, de même,
(б) A d*x 4- Bd*i/ + Cd*z = 0.
En écrivant l'équation (îi), on exprime que la vitesse du point p, au sortir du lieu m, ne sort pas du plan P considéré comme fixe. Cela revient à dire que la tangente, en wi, à la ligne S est située dans ce plan.
En écrivant l’équation (fi), comme conséquence d’une différentiation effectuée en même temps sur Ieséquations(2)et(5), on exprime que la directrice du point /x ne sort pas du plan P, à l’origine de son déplacement, ou, ce qui revient au même, que les vitesses actuelles de scs différents points sont toutes dirigées dans le plan P.
11 suit de là que les équations (5) et (fi) déterminent les valeurs
que les coefficients ^ , doivent affecter, pour que le plan P devienne oseulateur.
Nous avons admis, dans ce qui précède, que le déplacement d’une tangente à la courbe S peut être considéré comme ayant lieu par rotation simple autour du point de contact. Les principes sur lesquels nous nous appuyons n’exigent, à cet égard, aucune démonstration particulière. On peut, néanmoins, recourir au calcul comme moyen de vérification.
En comparant les équations de 1a tangente T à celles de la droite mobile du n° 152, page 344, on a, évidemment,
De là résulte
da — d.
dlt =
di — —
et , par suite, (7). . . .
dh di
L’équation (7) implique, comme conséquences, les déductions suivantes, qu’il est, d'ailleurs, permis d'établir directement et à priori :
1“ Le déplacement de la tangente peut être considéré comme résultant d'une simple rotation, établie autour du point de contact ;
2° Pris à sou origine , el continué d'après le mo le gui le régit d’abord, le changement de direction tangentielle s’effectue suivant un plan déterminé;
3“ Le lieu géométrique des tangentes est une surface développable.
Ajoutons, comme conséquences subsidiaires, que, clans le développement de cette surface, la courbe donnée conserve, en chaque point, sa eourbure, et que toute trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes a, pour développée, l’enveloppe de ces mêmes génératrices, c’est-à-dire la courbe que l’on considère.
Normale principale.
I Ô8. La normale située dans le plan oscillateur est dite normale principale. Pour obtenir ses équations, il sitflil de joindre à l’équation du plan oscillateur
( 1 ). ( I — x ) ( dzcPy — dydPz ) -t- ( u — g) ( JxtPz — dzdPx )
-4- ( r — z ) ( dyiPx — dxd*y ) = o ,
celle du plan normal
(2). • (t -x)dx -»-(« — y) dg -4-(« — z)dz = 0.
Veut-on , d’ailleurs , ramener ces équations à la forme ordinaire? On trouve parleur combinaison *,
dx
dsiPx — dxdPs . ds : i-«= — — — (<’---) = —jr (« - «) .
ds/Pz — dziPs
d*<Py — dytPs ilsiPz — dztPs
ds
dz
ds
• On observera que l'on a généralement
r/** = dx* -4- <ty° -4- rfï*,
On fait que c'est en tournant autour de la directrice du point décrivant, que le plan osculateur se déplace sur la courbe. I<a normale principale participe à cette rotation, en même temps qu’elle tourne dans le plan osculateur autour du centre de première courbure. Il suit de là que les vitesses de ses différents points ne sont pas dirigées dans un même plan et qu’en conséquence, le lieu de scs positions successives est, en général, une surface gauche. Pour qu’il en fût autrement, il faudrait que le pian osculateur demeurât invariable. Cette dernière circonstance ne peut
cl que de là résulte
ilstPs — d.rtPs -i- dyd,y -4- dzd’z.
Ost en tenant compte de ces relations que l'on parvient au* équations (3) et au* équations suivantes
se présenter que dans le cas des courbes planes, alors que l’on a , généralement,
dxcPz — dzcPx r
•'•• • d' dsfn-dstfl = °S
dzd *y — dyiPz
r dxiPz — dziPx ducPx — dxtPu "1
3° . dix -t- y. - — - •+■ z -f— — f- — o,
L dzcPy — dyiPz dz(Py — dycPz J
ou, plus simplement,
(6) . . dx [ (PtjiPz — tPzcPy] -t- dy [(PztPx — cPxiPz]
-+- dz [(PxiPy — tPytPx ] = o ,
cette dernière condition n’étant que In transformée commune à chacune des trois autres.
Expression analytique de la vitesse angulaire avec laquelle une droite qui se meut dans l'espace s’écarte, à chaque instant, de la position dont elle sort.
139. Étant donnée une droite D, supposée mobile dans l’espace, proposons-nous de déterminer l’expression analytique de la vitesse angulaire avec laquelle cette droite s’écarte , à chaque instant, de la position dont elle sort.
Soit te cette vitesse : elle est la même, 9 chaque instant, que pour une droite D', menée par un point fixe et assujettie à tourner autour de ce point, en restant parallèle à la droite D.
Prenons l’origine des coordonnées pour point fixe et représentons, par Ont , la droite D' menée, par ce point, parallèlement à la droite D*.
Le point m étant supposé fixe sur la droite IV, et la distance Om
’ Voir la figure 61 , page 538.
( 3tiO )
étant | irise égale à l imité, il est visible que la vitesse du point m , au sortir du lieu qu'il occupe, satisfait aux conditions suivantes : 1“ Elle est dirigée perpendiculairement à O m dans le plan P du n“ 131, page 3i2;
2” Elle est égale en grandeur à la quantité w.
Soient x, 6, y les angles que la droite Obi fait avec les axes OX, OY, OZ. Soient, en même temps, x', 6', y ceux que la vitesse to du point vi fait avec ces mêmes axes.
En désignant par jr, y, z les coordonnées du point wi, on a, évidemment ,
aryens*, y = eos<>, z — cosy.
Il s’ensuit que les projections du point m sur les axes OX, OY, OZ, ont, pour \itesscs respectives,
dx = d cos a , dy = d eos 6, dz — d cos y.
Mais, d’un autre côté , les composantes de la vitesse du point m suivant ces mêmes axes sont, respectivement,
te cos a, te cos 6', te cos y’.
De là résulte
te cos x — d cos x , ic cos t’ — d eos 3 , te eosy' = d eos y. et, par suite,
(I). . . w = I /(d cos a )* -t- (d eos €)’ -+- (d cos y)*.
S’agit-il , en outre , de la direction commune aux vitesses simultanées des différents points de la droite D'? On a,
, d eos a
l eos a = >
i V (d eos a)2 -v- (d cos Ê)1 -t- (d cos y)’
1 d eos 6
(2) . . / eos t' = ■ - — »
|/ ( d eos a )* -t- (d eos6)*-v- (f/eosy)*
d eos y
( cos y'— — •
|/(t/ eos a)’ -v- ( d cos 6 )’ -v- ( d eos y)*
La valeur obtenue pour la vitesse w peut se déduire, par voie analytique, de l’expression générale du cosinus de l'angle de deux droites.
Soient en effet l, u, v les angles qu’une droite fixe F fait avec les axes-OX, OY, OZ. En désignant, par s, l’angle des deux droites I) et F, on a, généralement,
cos f = cos > eos a -v cos u cos fi -t- cos r eos y.
Une première différentiation donne
sin f.d-f — — [eos > .il eos a cosj* .rfcosfi cos v. d cos y].
Il vient ensuite, en différenciant une seconde fois,
(3) . cosç.rfv*-*- sin y-ef*? = — [eos J.r/’cos* cos . rf* cos 6
-4- eos v.rf*cos y]
Supposons qu’au lieu d'étrc quelconque, la droite F coïncide avec la position dont la droite I) sort, à l’instant que l’on considère. Si l’on sc place à ce même instant, on doit poser
o=o, df — w, X — x, (* = «;, v = y.
De là résulte, en vertu de l'équation (3),
(4) . io*= — [ cos x.(P eos « -t- cos 6. ri* cos 6 eos y .(P cos y].
L’équation (4) se ramène à l’équation (1), en observant que la relation générale
cos* a + cos’ fi + cos’ y — 1 .
donne, en premier lieu,
cos a.d cos » -i- eos fi .d cos fi -+- eos y.d eos y — o. et, en second lieu,
cos x . (P cos a cos 6 . rf’ cos fi -4- cos y .d* cos y = — [ (d cos -/)’ -i- (d eos C )* (d cos r)*].
Ii vient donc aussi, par voie de substitution,
te — V (dcosaf •+- (d eos c,)* -t- (d cos y )*.
HO. Sans rien changer à ce qui précède, supposons que la droite D soit déterminée par les deux équations
ou bien, qu’étant assujettie à rester perpendiculaire à un plan mobile, ce plan ait, pour équation,
Les coordonrtées courantes étant représentées, de part et d'outre, par les variables t, u, v, il est visible que Ion a , dans chacun dwees deux cas, '
COS a ms — ■ ■ ■ , cos = - - ,
Va' -t- b1 -t- C* I/o* -+-!>*- 1- c*
cos y —
Cés valeurs, substituées dans l’équation (I) du n“ 139, donnent, d’abord ,
. (r/a)* -t- (<lb)* -t- (de)’ («do -t- M6 -t- ede)*
W = o* + 6* + c* («• + fc* -e c’/ ’
et , après réduction ,
(1). te
Y/(adb — bdaf -+ (6dr — cd/i)1 -t- (eda — ode)’ «’ -t- I-' 4- c*
On trouve, de même,
( 5fiS )
I COS a = — . . . ,
!y/ (adb — bd a)* ■+■ (Iule — rdb)' -+- (n/a — <w/c)f
b . d V' «’ -4- 6* *+• c* — 4^a’-4- 6’-+- c*. rfb ros 6' = ■ ■ ■ ,
K (ad6 — Ma)* -4- (Mc ~ c</b)* -4- ( edu - iule)*
c . d S/l# -4- b* -4- c’ — l^a* 6* -4 c'.dc
t cos y' = — - --
V (adb — Mo)1 -4- (Me — rdb)* -4- (crfa — ùdc)'
Première et deuxième courbure des courbes à double courbure.
144 . La direction tangentielle étant incessamment variable, considérons le changement qu'elle subit à partir du point m. Pris à son origine, ce changement commence par rotation dans le plan P, de la même manière que si la courbe était plane et que son pian coïncidât avec le pian P. De là résulte une première courbure, déterminée, par rapport au plan osculateur, comme la courbure des courbes planes l’est elle-même, par rapport à leur plan.
La courbe S n étant point plane, il y a déplacement continu du plan P, et c’est, par rotation autour de la tangente , que ce plan change incessamment de direction dans l’espace. De là résulte une sorte de torsion , nommée deuxième courbure. Cette deuxième courbure peut, ainsi que la première, demeurer constante ou bien varier incessamment d’un point à un autre. Dans tous les cas, si l’on désigne, par W', la vitesse angulaire qui anime le plan osculateur dans sa rotation autour de la tangente, tandis que la tangente tourne autour du point décrivant avec la vitesse W et que ce point glisse sur la tangente avec la vitesse V, il est visible que la première courbure étant mesurée par le rapport y = - ,
la seconde peut être mesurée de la même manière par le rapport
La quantité p' déterminée par l’équation
a reçu le nom do rayon de deuxième courbure. Le rayon du cercle oscillateur reste détermine par l’équation générale
On le distingue du rayon p\ en le désignant sous le nom de rayon de première courbure.
142. S’agit-il, d'uliord, du rayon de première courbure? La vitesse V étant représentée par ds , les cosinus des angles que la droite D, supposée tarigentf à la courbe S, fait avec les axes OX, OY, 07., sont respectivement
dx di/ dz
eos cos <5 = -— i cosy=— •
ds ds ds
Do là résulte, conformément à la formule ( 1 ) du n" 1 St), page 500, «
ds
ds *
VifCxf (d‘yf + (d‘zf — (tPsf
Au lieu d’opérer, comme nous venons de le faire, on peut partir <les équations de la tangente,
dar , du
et recourir à la formule (1) du n° 140, page 562, en y posant, a =r dx , b — dy, c — dz.
On trouve ainsi
. . W = ^ V ( driPy — dytP.rf -+- (dydlz — dzdiyf -+- (dza:x — dxd*:)\
et, par suite,
V (dxd‘tj — dydxf •+• (dyd1: — dzdtrjf-^-(dzdix — dxiPz?
Soient >, p, v les angles que la normale principale fait avec les axes OX , OY, OZ, et xt , y, , zt les coordonnées du centre de première courbure. L’on a
(5). x, — x = p cos i , y, — y — ? cos n , z, — z = p eos v.
Remplaçons p par la valeur déduite de l’cquation (2); eos A, cos fi, eos y par les valeurs déduites des équations (5) du n° 158, page 558, et posons, pour simplifier,
£ ds
(d*x)1+(d*y)’+(d*z)1- (ds? («■-)*+ (d.-)1 '
Un trouve ainsi
. dx . du
Observons que la tangente sort du lieu qu’elle oceu|)c en tournant autour du point de contact. Il s’ensuit que les vitesses de ses différents points sont dirigées parallèlement à la normale principale et qu’en conséquence, les angles A, p, y sont les mêmes que les angles désignés par x, C , y dans les numéros 1 51) et 1 40. Si l’on substitue pour p la valeur (4) et pour eos > = eos d, eos p = eos 6', eos y = eos y1 j les \alcurs (2) du n° 140, page 505, on retombe sur les équations (0), la quantité E pouvant être écrite indifféremment comme on l a fait ci-dessus, ou sous la forme suivante,
(dxdy — dycPx? -t- (dytf'z - dzdy? + ( dzd'x — dxdz?
145. Les résultats auxquels nous venons de parvenir, en ce qui concerne la première courbure, peuvent être établis dedifféren-
tes manières. On peut se donner les équations générales d'un eerelc quelconque et assujettir ce cercle à contrarier avec la courbe S un contact du second ordre. Soient
ces équations. Les constantes à déterminer sont au nombre de six. Il en est de même des équations de condition exprimant que ce cercle passe par un point de la courbeS, qu’il la touche en ce point» et que, en outre, les dérivées du second ordre y affectent, de part et d’autre, les mêmes valeurs.
On peut aussi se donnet* la normale principale et chercher celui de scs iioints dont la vitesse actuelle est dirigée tout entière perpendiculairement au plan osculateur. Ce point n’est autre chose que le centre de première courbure.
On peut encore considérer la surface enveloppe des plans normaux, en d autres termes, le lieu des caractéristiques de ces plans. Céttc surface est connue sous le nom de surface polaire *. Elle est développable, et sa génératrice rectiligne a pour équations, d’une part, l’équation du plan normal mené par le point x, y, z, savoir,
(I). . . (t — x)dx -4 (« - y)dy ■+■ (v — z)dz = o,
d’autre part, l’équation qu’on obtient en différenciant 1 équation (I) et en annulant les vitesses dl, du, dv, dans le résultat de la différentiation , savoir,
('2). . . (I — x)dix -4- (« y)cPy +■ (t) — z)dtz =* d#1.
L’expression
d'x[dyd*z — dztfrj] d'y [dzd*x — dxd'z] -4- cPt[dxiPy — dyd'x},
étant identiquement nulle, comme on le reconnaît en la développant, il s’ensuit que le plan (2) est perpendiculaire au plan oscu-
* Voir plus loin, ir Uo, pour détails relatifs à la surface polaire.
latcur. Cette condition étant déjà remplie par le plan (I), elle subsiste en même temps pour la droite (I), (2). Or c'est en commençant par tourner autour de celte droite, que le plan normal se déplace le long de la courbe S, Le centre de première courbure se trouve donc au point d'intersection de la droite (I), (2) avec le plan oscillateur.
Si l’on observe que tout plan normal à la courbe S touche la surface polaire le long de la génératrice sur laquelle est situé le centre de courbure correspondant, l’on peut en conclure immédiatement que la tangente au lieu de ces centres est contenue, pour chaque centre, dans le plan normal qui lui correspond. Cette tangente est donc à angle droit sur la courbe S. Elle ne doit pas cire confoudue avec la normale principale. Celle-ci est dans le plan oseulatcur; l’autre s'en écarte généralement. ,
144. Considérons maintenant la deuxième courbure* et reprenons la formule du n° 141 , page 563.
La quantité W' étant la vitesse angulaire qui anime le plan osculatcur dans sa rotation autour de la tangente, elle est aussi la vitesse angulaire a\ec laquelle lu normale à ce plan s'écarte, à chaque instant , de la position dont elle sort. 11 suit de là que, pour déterminer cette vitesse par la formule (I) du n° 140, page 362, il suffit de poser
a — dytPz — dztPy, b^dzcPx — dxiPz, c — dxcPy — dycPx.
En faisant usage de ces valeurs, on trouve
adb — bda = - dz [a«Px bd'y -+- rdlz\ , bdc — cdb — — dx [ad’x -4- bd'y-*-cdrz], eda — ade = — dy [ad'x -t- M'y ■+■ c<Fz].
De la résulte, en substituant,
d'x{dyd*z — dzd1;/) a- dPjf[dz<Px — dxiPz\ -4- d:'z [dxtPy — dydrx] (dydtz — dziPi/f + (dzePx — dxdiz)t + (dxcPy — dyd'x)'
et comme on a, d’ailleurs, V = ds, on jieutécrirc immédiatement
[dyaPz — dzd\i/]‘ -t- [dzd‘x — dxdtz]i [dxiPy — c lycPx]*
^ d'x[dyiPz — dzd‘y] + d'y [dzd'x — dxdPz] a- d'z [dxd'y — dyiPx]
