DÉVELOPPÉES DES COURBES A DOUBLE COURBURE
Surface polaire.
143. Étant donnée une ligne quelconque S à double courbure, supposons-la décrite par un point mobile n, et désignons, par ni, le lieu d’où le point u sort, à l’instant que l’on considère.
Imaginons que le point n entraîne avec lui un plan N , assujetti à rester normal à la ligne S.
Le plan N est animé de deux mouvements simultanés, l’un de translation, l’autre de rotation. Le premier rend commune h tous les points du plan N la vitesse du point y. ; le second est établi autour de lu perpendiculaire élevée en ni sur le plan oscillateur P; la vitesse angulaire qui lui correspond est celle de la directrice du point j*.
Cela posé, il est visible que l’état de mouvement du plan N se résout en une rotation simple autour de la droite menée dans ce
* La condition nécessaire et suffisante pour qu'une courlie soit plane s'obtient en égalant à zéro le numérateur de cette expression. Il est aisé de voir que l'équation à laquelle on parvient de cette manière ne diffère pas de l'équation (ff) du n" 138, page 330.
plan, par le cculi-e de première courbure, perpendiculairement au plan oscillateur. Cette droite a reçu le nom de polaire. Désignons-la par L. Elle est la caractéristique du plan N. Le lieu de scs positions successives est la surface dont nous nous occupons ici, et à laquelle on a donne le nom de surface polaire.
Considérée comme génératrice de la surface polaire , la droite L sort du lieu qu’elle occupe , sans sortir du plan K. De là résultent, conformément aux déductions du n° 154, page 550, et comme on peut, d'ailleurs, le voir directement, les conséquences suivantes :
1” Lorsque la droite L sort du lieu qu’elle occupe pour décrire lu surface polaire, elle tourne, en général, autour d’un de ses points;
2“ Les vitesses simultanées des différents points de la droite L, étant toutes dirigées dans le plan N, il s’ensuit que ce plan touche la surface polaire en tous les points de la droite L, et que celle surface est développable;
5° Soient n le point central de la droite L, cl S’ le lieu des positions qu’il prend successivement. La vitesse du point n étant dirigée tout entière suivant la droite L, le lieu S’ est l’enveloppe des positions successives de cette droite, autrement dit, l’arèlc de rebroussement de la surface polaire ;
4” La droite L louchant la ligne S' au point n , et étant perpendiculaire au plan P, il s'ensuit que la vitesse angulaire de la directrice du point « , dans la description de l'arcte S', n’est autre chose que la vitesse angulaire du plan osculalcur de la ligue S, dans la description de celte ligne par le point «;
5* Les vitesses simultanées des différents points de la droite L étant toutes dirigées dans le plan N, ce plan est, pour le point «, le plan osculalcur de l’arèlc S'. Il s'ensuit que la vitesse angulaire qui anime le plan osculalcur de l'arête S', dans la description de cette ligne pnr le point n, n’est autre chose que la vitesse angulaire de la directrice du point p dans la description de la ligne S
• Cette proposition et la piécéileule ont été données par Fourier. Elles éta-
blissent entre les courbes 5 , S' une réciprocité curieuse.
Menons par le point n un plan P', parallèle au plan P. Le plan P' est normal, en n, à l’aréte S'. Mais, d’un autre côté, le plan X normal, en m , a la ligne S est oseulatcur, en » , à l’aréle S', Il suit de là qtie In normale principale au point n de la ligne S' résulte de l'intersection des plans N et P', en même temps que la normale principale au point m de la ligne S résulte de l’intersection du plan X avec le plan P, parallèle au plan P'. De là se déduit l’énoncé suivant:
Les normales principales qui se correspondent, de part et d’autre , l’une pour le point m de la ligne S, l’autre pour le point n de l’arête S', sont toujours parallèles.
On constate l’accord existant entre celte déduction et les deux propositions précédentes, en observant que s’il y a parallélisme pour deux positions quelconques correspondantes des normales principales, ce parallélisme sc maintient nécessairement pour toutes les positions qui se correspondent de part et d’autre. Le mouvement angulaire d’une uormaic principale résulte, en effet, de deux rotations simultanées, respectivement établies autour d’axes rectangulaires. L’une est la rotation de la directrice du point décrivant : clic a , pour axe , la perpendiculaire élevée en ce point sur le plan oseulatcur. L’autre est la rotation de ee plan; elle a , pour axe, lu directrice. Or, lorsqu’on passe de lu ligne S à la ligne S', ces axes se substituent l’un à l’autre, en même temps que les vitesses angulaires correspondantes. L’identité résulte de ce double renversement, et le parallélisme établi, par hypothèse, sc maintient comme conséquence d'un même mouvement angulaire.
Hti. Soit fi' un point quelconque du plan N. Tirons la droite indéfinie fifi’ , et désignons, pari, le point d'intersection de cette droite avec la droite L, suivant laquelle le plan N louche la surface polaire.
Lorsque le point n décrit la courbe S, il entraîne avec lui le plan normal X et le fait tourner autour de la droite L. Le plan X s’enroule, ainsi , sur la surface polaire, en y appliquant successive-
ment tous scs points, et, en particulier, ceux de lu droite pn désignés ci-dessus par » *.
Il suit de là que le lieu des points », sur la surface polaire, est une développée de la courbe S, la droite nn' louchant celle développée au point », et lu quantité, dont le rayon vecteur ni croit ou décroît , dans le passage d’une position à une autre, étant précisément égaie à l’arc de développée compris entre ces deux positions.
On voit, par ce simple aperçu , fondé tout entier sur des considérations géométriques, qu'il existe , en général, pour une courbe quelconque, une infinité de développées différentes, toutes situées sur la surface polaire cl caractérisées, par la condition qu’elles remplissent, de se transformer en lignes droites dans le développement de cette surface. On voit, en même temps, que le lieu des points n est, comme celui des points n, une développante du lieu des points i.
On observera que, abstraction faite du cas des courbes plaucs , le lieu des centres de première courbure n’est jamais une développée de la courbe que l’on considère.
En effet, soit o le centre de courbure qui correspond au point ut de la courbe S. Pour que le lieu des points o soit une développée du lieu des points »n, il faut que la droite oui touche, en o, le premier de ces lieux et qu’elle soit normale, en ni , au second. Cette dernière condition est toujours satisfaite, puisque la droite om est la normale principale, menée, par le point ni, h la ligue S. I.a première condition exige que, dans le passage d’une position aux suivantes, la vitesse du centre o soit dirigée tout entière suivant la droite ont. Or, s’il en est ainsi dans le cas des courbes planes, il en est autrement dans celui des courbes a double courbure, le centre « restant sur la droite om , et celle-ci tournant , autour du point ni , dans le plan normal. De là résulte évidemment la proposition énoncée ci-dessus.
Nous avons vu que le plan N peut être considéré indifférem-
* La vitesse du point n est dirigée tout entière perpendiculairement au plan normal. Cela revient à dire que ee (winl reste fixe dans le plan normal en même temps qu'il décrit la courbe S et qu'il fait tourner la droite /xju' autour du point i.
meut, soit comme entraîne par le point u, soit comme roulant, sans glisser, sur la surface polaire. Ce ne sont là que deux façons différentes d’envisager une seule et même chose, le mouvement qui anime le plan N dans sa rotation continue autour de scs caractéristiques successives. Lorsqu’on considère le plan N comme entraîné par le point p , ce point décrit la courbe S et reste fixe dans le plan N. Lorsqu’on considère le plan N comme roulant, sans glisser, sur la surface polaire, rien n'est changé, ni dans le mouvement du point fi sur la courbe S, ni dans la fixité de ce point sur le plan N. Il suit de là que la trace de la courbe S, sur le plan mobile N, se réduit à un point.
Imaginons que le plan N emporte avec lui la trace de chacune de ses caractéristiques successives, et celle d’une développée quelconque de la courbe S. Si l'on conçoit une droite , supposée mobile dans le plan N, et assujettie à coïncider constamment avec la caractéristique correspondante, il est visible que l’état de mouvement de cette droite sera identiquement le même que celui de la caractéristique sur la surface polaire. De là et de ce qui précède, résultent évidemment les conséquences suivantes :
La trace que l’arête de rebroussement de lu surface poluire laisse sur le plan mobile a, pour courbure en chaque point, la première courbure de cette arête.
Les traces laissées sur le plan mobile par les génératrices rectilignes de la surface polaire ont, pour enveloppe, la trace de l’arête de rebroussement.
Les traces laissées sur le plan moljile par les développées de la courbe S sont des droites toutes issues d’un seul et même point, le point où se concentre la trace de la développante.
L'ensemble des traces laissées sur le plan mobile par la surface polaire constitue le développement de cette surface. 11 est visible que les lignes tracées sur la surface polaire conservent, dans le développement de celte surface, leurs longueurs respectives et les inclinaisons relatives sous lesquelles ont lieu leurs intersections *.
Ou verra plus loin, n" JO 7 cl sunauls, la théorie géométrique des surfaces
1 i7. Proposons-nous de déterminer l’équation de la surfaec polaire et celles de l'aréte de rebroussement.
La génératrice rectiligne de la surface polaire est située dans le plan normal
(1) . . (t — x)dx+(u — y) dy ■+• (r — z)rfz=o. *
Elle est le lieu des points de ce plan dont la vitesse est nulle, ou peut être considérée comme nulle, au sortir du lieu qu’il occupe. Il suit de là que les coordonnées de cette droite doivent satisfaire à l’équation qu’on obtient en différenciant l’équation (I), et en annulant les vitesses dt , du, dr, dans le résultat de la différentiation. On trouve, ainsi,
(2) . (t — x)rPx -+- ( tt — y) (Py + (v — z) rfz = dx* rfy* -t- rfz* — r/s’.
Les équations (1 ) et (2) sont les équations générales de la génératrice rectiligne de la surface polaire. Pour avoir l’équation de cette surface, il su dit d’éliminer les variables x, y, z entre ces équations et celles de la courbe donnée,
Le point de l’aréte de rebroussement situé sur la droite fl), (2), se distingue des autres points de cette droite en ce que sa vitesse est nulle, ou peut être considérée comme nulle, à l’origine du déplacement de la génératrice. Il suit de là que les coordonnées de ce point satisfont aux équations qu'on obtient en différenciant les équations (1), (2), et en annulant les vitesses dt, du, dv, dans les résultats de la différentiation **. Lorsqu’on opère, ainsi, on rc-
développables, et, plus généralement, celle des surfaces qui peuvent s'appliquer l’une sur l’autre, point par point , sans déchirure ni duplicature.
* Dans cette équation t , u, v, sont les coordonnées courantes; X, y, ; sont celles du point de la courbe par lequel passe le plan normal.
” On observera que cela revient à différencier les équations (t), (î), en y considérant, comme constantes, les quantités t, u, v. Cette remarque s'applique à tous les cas du même genre. Elle permet d’opérer directement avec la plus grande simplicité possible.
lomlie sur l’équation (2), pomme conséquence de la différentiation effectuée sur l'équation (I), et l’on trouve, en outre, l’équation de condition
(*). . (t - x) iPx 4- (m — y) (P y 4- (v — z) iPz = ôdsiPs. *
Les équations (1), (2), (*), déterminent, pour une position quelconque de la génératrice (1), (2), le point de l’arétc de rrbrousscmenl situé sur cette génératrice. Les équations (5), (4) permettent d’exprimer les variables x, y, z, en fonction des coordonnées courantes t, u , r, et de reporter leurs Valeurs dans les équations (I), (2). En opérant ainsi, on élimine les variables x, y, z, et l'on obtient les équations finales de l'arête de rebroussement. On peut d’ailleurs considérer les équations (1), (2), comme étant celles de celte arête. 11 suffit, pour cela, d'y traiter les variables x, y, z, comme des fonctions des variables!, u, v, ces fonctions étant déterminées par les équations (3) et (4). Lorsqu’on procède de celte façon et qu’on différencie, en conséquence, les équations (1) et i2), on doit observer que les résultats des différentiations effectuées, par rapport aux variables x, y, z, sont identiquement nuis en vertu des équations (2) et (3). On trouve, ainsi, très simplement,
(5) dtdx ■+■ dudy 4- drdz — o,
(fi) dt<Px ■+• diuPy 4- dvdPz =■ o.
De là résulte, en différenciant l'équation (5) et tenant compte de l’équation (fi),
(7) <Ptdx 4- (Pudy 4- (Pi'dz = o.
La différentiation des équations (6) et (7) donne, ensuite,
(8) . t PhPx 4- (P a (P y 4- (PviPz 4- dhPx 4- dutPy 4- dnPz — 0,
(0). (PliPx 4- rPurPy 4- (PréPz 4- (Ptdx 4- rPitdy 4- dhdz « 0 ,
’ Il esl aisé de voir que la relation
rf.r* 4- rfy* 4- rfï* = ils' ,
donne la suivante
il rrl' r 4- 1I1/1P1/ 4- dziPz = du . tPs.
et l'on en déduit
(10). dltPx -4- ducPy -4- dvdPz = (Pt . dx -+- tPudy + rfV . dz.
L’équation (5) exprime que les tangentes, en deux points conjugués de la courbe S et de l’nréle S' de rebroussement, sont rectangulaires.
Soient m le premier «le ces points , et m' le second. On déduit des éipiations (b) et (G),
dt dzcPy — dytf-î du dxdiz — dztPx
dv dydPx — dxcPy ' dr dyd*x — dxcPy
Les équations (I I) expriment que la tangente, en m', à l'arétc S', est perpendiculaire au plan oscillateur mené par le point m de la courbe S.
La réciprocité qui subsiste, en vertu des équations (5), (6) , (7), s’étend à la proposition précédente. On peut donc dire , aussi , que la tangente, en m, a la courbe S est perpendiculaire au plan osculateur mené par le point m' de l’arétc S’.
En combinant les équations (b) et (7), comme on a combiné les équations (b) et (6), on doit trouver évidemment
dx drdPu — dutPv dy dl<Pv — dï(Pt
dz diuPt — dtdPti dz ducPt — dtdPu
Ces valeurs, substituées dans l’équation ({), donnent
(13). (f — a:) [ded*» — dud*e] ■+• (u — y)[dfd’u — drd*f]
( v — z) [ du<Pt — dtd*u] — o.
L’équation (13) étant celle du plan osculateur mené par le point m' à la courbe S', il en résulte que ce plan n’est autre chose que le plan normal, en m, à la courbe S.
La combinaison des équations (fi) et (7) donne
d:dv<Pzd'v =• [dx(Fl -4- dy<Pu ] [dhPx -4- dti(Py],
et, eu égard aux équations (;>) cl (8),
dzdv [dld'x 4- dud'y -+- d V(f'z) — [ dldx -+■ dndy] [dJ UVx 4- d>ttd,y] — [dxd*t 4- dyePu] [dhPx + dinPy],
De là résulte, toute réduction faite,
dy d*x — dxcPy dz [dtd?x -+- du<Py -+- drcPz]
dv dudrl — dt(Pu
Cela posé, si l’on transporte dans la formule (3) du n° K2, page 304 , et dans la formule (1) du n° 1 44, page 308, les valeurs fournies par les équations (1 1), on trouve, d’abord , pour la vitesse angulaire de la tangente en m,
(lu).
da dycPx — dx<Py dv dsi
la quantité de étant la vitesse du point ni sur l’arête S' et rcmpla çant, par conséquent, le radical
V ' di 4- du2 4- dr2.
On trouve, ensuite, pour la vitesse angulaire qui anime le plan oseulateur de la courbe S, autour de la tangente en tu ,
ds.dv dhPx 4- diicPu 4- dvd3z v ' de dy(Px — dxcPy
Pour passer dej cette dernière formule à celle qui exprime la vitesse angulaire du plan oseulateur en ni à l’arête S', il suffit de remplacer a par s, les coordonnées x , y, z par les coordonnées t, u, v, et réciproquement. Cela résulte, évidemment, de la symétrie des équations (?»), (0), (7), (8) et (!)). On peut, d’ailleurs, se dispenser d'effectuer aucun changement dans le faeteur trinôme dttPx 4- du (P y 4- dvcPz, vu qu'en vertu de l’équation (10), la permutation à effectuer n’altère en rien la valeur de ce terme. Dési-
gnons par W' celte vitesse nngnlnire, et opérons , comme nous venons de l'indiquer.
On trouve, ainsi,
„„ dv.dz dtds'x -+- diitPii ■+- dvd1:
du i huit — <11(1*11
et, eu égard à l'équnlion (14) ,
. dï dtiePjc — dxiPu
La réciproque qui subsiste, de part et d’autre, en vertu des équations (ïi) , (<i), (7), (8) et (!)), sullit pour que légalité des vitesses W, W implique celles des vitesses angulaires qui animent simultanément, l’une la tangente en ni' à l’arête S', l’autre le plan oscillateur en »i à la courbe S.
On voit, ainsi, comment se vérifient, par le calcul, les déductions
géométriques du n° 145, pages 5ti8 et suivantes. On aurait pu se
borner à constater que le produit
. dt<Px dud’t/ -t- drd?z
du . dn
reste le même, lorsqu’on passe du point m de la courbe R au point »i' de l’arête S'. 11 est clair, en effet, que les équations (il) impliquent toutes les conséquences développées, à leur suite.
Conditions générales des contacts de tous les ordres.
t48. Soient deux courbes ayant un point commun mi.
Si ces courbes ont, en ce point, même tangente, elles se touchent, et leur contact est du premier ordre.
Si, en outre, elles ont même plan oseulnleur et même centre de première courbure, leur contact, devenu plus intime, est dit du deuxième ordre.
Soient o le centre de courbure commun à deux courbes qui ont
entre elles un contact du deuxième ordre; L la polaire correspondante, autrement dit la perpendiculaire élevée en o sur le plan osculateur; t un point quelconque pris sur cette polaire, il existe, pour chacune des courbes, une développée passant parle point i. Considérons ces deux développées. Hiles se touchent en », suivant la droite im, et leur contact est, en général, du premier ordre.
Supposons que les développées aient en t un contact du second ordre; le contact des développantes devient plus intime encore, et il est dit du troisième ordre.
Pour abréger, disons immédiatement qu’un contact de l’ordre (n — \ ) , entre les développées , implique un contact de l’ordre n entre les développantes, et réciproquement; Il suit de là que le contact du quatrième ordre se définit au moyen du contact du troisième ordre, celui du cinquième nu moyen du quatrième, et ainsi de suite, indéfiniment.
Soient
(1) * = A*)> Jf— *(*)
les équations d’une courbe quelconque S. Celles de la polaire, qui correspond au point (x, y, z), sont, ainsi qu’on l'a vu tout à l'heure,
1 (t — x)dx -+- (« — y)dy t- (t) — z)dz = o,
( (< — x)d*x + (u — y)d*y ■+ (e — z)d*z = da*.
Considérons les coordonnées t, u, t' comme étant celles du point d'intersection de la polaire avec l’une des développées de la courbe S. Elles seront les coordonnées courantes de celte développée, et celle-ci aura , pour tangente, la droite menée pnr le point (x, y, z) au point (t, u, v). De là résultent les deux équations de condition ,
t — x dt r — z~ dv ’
u — y du
r — z dv
Imaginons qu’au moyen des équations (1) et (3), on détermine les coordonnées x, y, z en fonctions des variables I, ti, r, dt, du, dv, et qu’on transporte les valeurs ainsi obtenues dans les équa-
lions (2). Ces équations deviendront celles d'une développée quelconque de la courbe S. Cela revient à dire que les équations (2) peuvent être considérées conftnc étant les équations générales des développées de la courbe donnée. Il suffit, pour cela, qu’on les traite en regardant les variables, x, y, z comme des fonctions des coordonnées courantes I, u, r, ces fonctions étant déterminées par les équations (1) et (ô). Il suit de là qu'on peut substituer aux équations (2) celles qui s’en déduisent au moyen des équations (ô). On trouve ainsi
, , dt , du dx — rfy — tlz — o,
\ dv J dv
j dt du „ ds*
[ (Px . h (Ptf . h (P Z —
dv dv v — z
Supposons, pour plus de simplicité, qu’on prenne la variable v pour variable indépendante. II est visible que les équations (4)
déterminent les dérivées premières^-, , en fonction des quantités r, x, y, z, f'(z), f'(z), f"(z), y'\z): les dérivées secondes
Jrt » ,77, > en fonction de ees mêmes quantités et des dérivées troisièmes f"’(z), y"'(z); et ainsi de suite indéfiniment *, les dérivées de l’ordre (n- f), se trouvant déterminées en fonc-
tion des quantitésr,x,y, z,f'(z), y'(z),f"(z), y"(z),etc.,jusqucsct y compris les dérivées de l’ordre », f'(z), La réciproque subsiste évidemment, c’est-à-dire que si l’on se donne les quantités
dt du fPt d'n
V> dv dv ’ dv * ’ dv*
etc.
d—'t dv-1 ’
d’ ~^u dv — • ’
il en résulte une détermination complète des quantités correspondantes, x,y, z, /■(*), y'(z), /"(z), ?"(z), etc., f’{z), y"(z).
Admettons, pour un instant, qu'un contact de l’ordre n établi
rf*| d*n
* Pour obtenir les dérivées secondes — , y , il suffit de différencier les
dv ,n ,pu
équations (-4). line deuxième différentiation donne les dérivées — . , — et ainsi de suite, ihdéflniment.
entre deux courbes S, S', implique l’égalité des valeurs que prennent, de part et d’autre, toutes les dérivées successives jusqties et y compris celles de l’ordre n. D’après notre définition, les développantes de res courbes auront entre elles un contact de l’ordre « -+- 1. D’après les déductions précédentes, elles fourniront des dérivées successives qui prendront, de pnrt et d’autre, mêmes valeurs, jusques et y compris celles de l’ordre h -s- 1. On voit par là que si le contact d'un ordre quelconque » implique la condition que nous avons admise, celle condition s’étend d’ellc-même au contact de l’ordre » ■+■ 1, et, de proche en proche, à tous les contacts d’ordre supérieur.
S’agit-il du contact du premier ordre? La condition énoncée ci-dessus subsiste évidemment. Concluons qu’elle a lieu pour le contact du second ordre et, généralement, pour les contacts de tous les ordres.
On observera que l’égalité des valeurs que prennent, en un même point, les dérivées qui se correspondent, de part et d’autre, pour deux courbes S, S', jusques et y compris les dérivées de l’ordre n, implique un contact de cet ordre entre les projections de ces courbes. Il s’ensuit que, pour établir entre deux courbes à double courbure, un contact d’un ordre quelconque, il est nécessaire et suffisant d’élablir un contact de ce même ordre entre leurs projections sur deux des plans coordonnés. La théorie du contact des courbes dans l’espace sc trouve ainsi ramenée tout entière à celle du contact des courbes planes.
141). Nous avons dit du contact de deux courbes qu’il devient plus intime à mesure que son ordre s’élève. Nous entendons, par là , que l’écart qui s’établit entre deux courbes, à partir d’un point commun, commence par être d’autant plus petit que le contact, en ce point, est d’un ordre plus élevé. Cherchons à justifier cette proposition, et, d’abord, établissons les deux lemmes sur lesquels on peut s’appuyer ici, et, en général, pour tous les cas analogues.
Soit x une grandeur quelconque continûment variable; dx, (Px, d’x, etc., ses différentielles successives.
La différentielle dx n’étant autre chose que la vitesse d’accrois-
sentent de la variable x, il est évident que ectte variable croit d’autant plus vile que sa différentielle dx est plus grande.
Supposons que l’on ait dx = o. Partant de zéro, la quantité (Ix commence par être d’autant plus grande qu’elle croit plus vite. Or, elle croit d'autant plus vite que sa différentielle <Px est plus grande. Concluons que, dons l’hypothèse où la première différentielle s’annule, la variable x croit d’autant plus vile que la différentielle est plus grande.
Le même raisonnement, constamment poursuivi, conduit au lcnimc suivant :
Lorsqu’une grandeur continûment variable sort d'un élut quelconque déterminé, elle croit, d'abord, d’autant plus vite que lu première de ses différentielles successives qui ne s'annule pas est plus grande.
Supposons que les différentielles successives dx, dix, etc., <i"* x s'annulent toutes à la fois , et considérons les deux cas qui peuvent se présenter, selon que la différentielle d‘x s’annule en même temps que les précédentes , ou qu’au contraire , elle ne s’annule point. Dans Je premier cas, les valeurs qu’elle commence par prendre, au sortir de zéro , sont moindres, en grandeur absolue, que celles qui leur correspondent dans le second cas. Cette déduction s’étend, d'abord , à la différentielle d"~'x, et, de proche en proche, à la différentielle dx. Cela posé, voici la conséquence définitive :
Lorsqu'une grandeur continûment variable sort d'un élut quelconque déterminé, c’est en croissant ou en décroissant. Dans tous les cas elle change , d'abord, d'autant plus rite que la première de ses différentielles successives qui ne s'annule pas est d’un ordi e moins élevé.
150. Soient deux courbes S, S' ayant un point commun m, et décrites simultanément par deux points mobiles /u, u'. On suppose que les points ;a, u' sortent du lieu m , à l’instant que l’on considère, et que leur vitesse est lu même en grandeur. Cela posé, on
peut admettre, comme évident, que l’écart qui s’établit entre les courbes S, S', à partir du poiut m, commence pur être plus ou moins grand, scion que 1 écart angulaire des directrices des points et u' remplit cette même condition. Désignons par D, D' ees directrices et par y l’angle qu’elles font entre elles.
Les courbes S, S' étant tangentes en m, la valeur initiale de l’angle y est zéro. II s’ensuit que l’écart angulaire des droites D, D', et, par conséquent aussi, l’écart des courbes S, S' commence par être d’autant plus grand que la première des différentielles successives dy , d'y, iPy, etc., qui ne s'annule pas, est d’un ordre moins élevé.
Admettons, comme vérité de définition, que l’ordre du contact établi, en m, entre deux courbes quelconques S, S', soit marqué par l’indice de la première des différentielles successives d? , iFy, <P'r, etc., qui ne s’annule pas pour y = o; la proposition qu’il s'agissait d’établir se trouve immédiatement démontrée. En effet , le contact étant de l’ordre n, la première des différentielles successives qui nes’annulc pas est celle de l’indice n. Or, si l’on substituait à la courbe S' une courbe S", ayant avec la courbe S un contacld’un ordre quelconque p, inférieur « n, la première des différentielles successives dy, d'y , </>, etc., qui ne s’évanouirait pas, pour y — o, serait celle de l’indice p. L’écart des cou rites S, S" commencerait donc par cire plus grand que celui des courbes S, S’.
Soient x, ij, z les coordonnées courantes de la courbe S, et a ', i/, celles de la courbe S'. On a généralement
dxdx -t- di/dij dzd:’
Les vitesses île, de’ étant supposées constantes et prises égales à l’unité, on peut écrire, identiquement,
,,, .... , (dx — dx'f -t- (dy — dy')* •+■ (dz — dz'f
V 1 ;• COS y — 1 — •
En différenciant deux fois de suite, ou trouve, eu premier lieu ,
siu ; . dy — (<7x — dx ) (tfx — d'x) + etc.
en second lieu ,
(2). . . cos y.dy* -t- siu y. d’y — [d*x — dV]‘ -t- etc.
-t- (dx — ils') tPx — d*x') t- etc,
Posons y — o. En vertu de l'équation (1), il faut que l’on ait, en même temps,
(5). . . .dx — dx', dy — dy’, dz = dz'.
De là résulte, en vertu de l'équation (2),
(4) . . df =* [*ftr - d*x']* + [dry — <Py‘ ]* + [d*s - d'z ]*.
On voit ainsi que les équations de condition
(5) , ...... f = o, dr — o.
impliquent les suivantes :
(li )dx — dx’, dy—dy, dz—dz', iPx—tPx, (P y — dPy', (Pz — dPz. et réciproquement.
Reprenons réquntion (2), et diflcrcnrions-la deux fois de suite. Il vient, en premier lieu,
— sin rdf •+• 5 eus rdfd!-r + siu yd!y • — 5 (i Px.d'x') [d’x dV ] -4- etc.
■+■ [dx — dx' ] [d‘x - d‘x’] -4- etc.
et, en second lieu,
(7) . — eos ydj,4 — fi sin piyiff + 5 cos y[rf*ç,]* ■+ 4 eos ydyd*y -4 sin -..(Pf — 5 [ dPx — dPx'Y -+ etc. -4- 4 [d*x — d*x' ] [d*x — d*x'] -t- etc.
-4- [dx — dx'] [d*x — dsx'] -4- etc.
De là résulte, pour le cas où l’existence des équations (5) implique celle des équations (fi), ou inversement,
(8) . [d’y]1 «. [dsx — d x' ]» + [d5y - d'y']’ + [(fi - d'z' ]».
On vuil, ainsi, que les équations de condition
(!)). ... j» = o, df— o, d'i — o, impliquent les suivantes :
/ dx — de, d'x — il* x', ( (Px — d'x',
dy — dy, dz — dz', d‘y — d:y ', (P z — d1:',
tPy=(Py', Pz — tPz'.
cl réciproquement.
On trouverait, de même, pour le cas où l'existence des équations (9) implique celle des équations (10), ou inversement,
[if, j1 = [d‘x - d'x' f + [d'y - d'y' ]s -+- [d‘z — dlz ]*
et, ainsi de suite indéfiniment, l'annulation simultanée de l’angle y cl des différentielles successives rfy, rf* y, etc., rf*,y impliquant les équations suivantes,
[dx — rfx']1 ■+- [dy — dy'Y -+- [dz — rfz']*= »,
[ rfx — d3x' fs -[iPy — d*y'f [ diz — dV]*= o ,
[rf"x — d"x']* + [d"y — d" »/']*-*- [d"z — d"z'f — o,
et réciproquement. Ou a d’ailleurs, en même temps,
[d"y]*ass [d“^'x — d“ Mx']a ■+■ [d"+,y — d“+ly']î -t- [d“'Hz — d^'z']1.
On voit, par ce qui précède, qu'il est indifférent de luire dépendre l’ordre du contact établi entre les courbes S, S’ de l’une ou l'autre des conditions énoncées ci-dessus. On peut admettre, relativement à cet ordre, qu’il est marqué par l'indice de la pre inière des différentielles successives rfy, rf*y, etc., qui ne s’évanouit point, ou qu’il est moindre d’une unité que l’indice de la première des différentielles successives rfx, dy, dz, (Px, (Fy, (dz, etc., qui cesse d’ètre égale à celle qui lui correspond dans la suite rfx', dy, dz, rf-’x', (P y, d‘z\ etc., ou bien, encore, qu’il est le même que celui
du contact qui .s 'établît, de part el d’autre, entre les projections des courbes S, S' sur deux des plans coordonnés, ou bien, enfin, qu'il l’emporte d'une unité sur l’ordre du contact établi entre deux quelconques des développées correspondantes de ces courbes. Chacune de ces conditions implique nécessairement les autres, et il est démontré que l’écart entre deux courbes, à partir d’un point commun, commence par être d'autant plus petit, que le contact contracté par ces courbes, en ce point, est d’un ordre plus élevé.
loi. Au lieu de procéder, comme nous l’avons fait tout à l’heure, on peut partir de l’équation générale
(1). = — dnx']i -+- [d“y — d"y']1 ■¥ [dnz — d"z'Y,
supposée démontrée pour le cas où les différentielles successives dy,.d*y, etc., d*1 j> s’annulent en même temps que l’angle ?. Il vient alors
/Oi 1 TJ = A
K h ' [d"x-dnxr],-*-[d"y-dny']t-A-[dnz—dnz']i ’
et cette équation ne cesse pas de subsister, alors même qu’on se place dans l’hypothèse où la différentielle dn~\ s’annule en même temps que les précédentes. L’expression (2) se présente alors sous la forme , et l’on sait que, pour en avoir la vraie valeur, il sullit de substituer, à chacun de ses termes, sa différentielle respective. Delà résulte, en premier lieu,
[d"x — d"x'] [d"+lx — d"+,x'] -+- etc.
Or, ici encore, l’expression fractionnaire affecte la forme On peut donc écrire, suivant la même règle **,
[d"+,x — d“+,x']* -+- etc.
* ('«la résulte évidemment de l'équation (I).
" Il est visible que la différentielle du numérateur se réduit à [d"f J*, et
Du la résulte, eu conséquence,
(4). . [d»f ]*=:[(*■+'* — (f+'x’]1 + [rf’+'y — tf+y]*
-+- [tf+'z— ir+,2']*.
On voit, par ce résultat, que l’équation (1), supposée vraie pour une certaine Valeur de l’indice », l’est également pour cette même valeur augmentée d’une unité. Démontrée vraie pour « = 2, elle l’est pour»— 5, puis pour » = 4,et ainsi de suite, indéfiniment. Lille est donc générale.
DU COJiTACT DES COURBES ET DES SURFACES.
Sphère osculatriee.
1 52. Étant données une courbe et une surface qui ont un point commun m , on dit qu’elles ont entre elles un contact de l’ordre », lorsque, parmi les lignes susceptibles d’étre tracées sur la surface, celle qui s'écarte le moins de la courbe donnée, à partir du point m, contracte avec Cette courbe un contact de l’ordre ».
Soit
l'équation de la surface donnée A, et
(2). . . y — y(x) = a + bx ex1 •+■ etc. px' ,
celle d’une ligne S', située dans le plan des xy et contractant, avec la projection, sur ce pian, de la courbe donnée S, un contact de l’ordre ». 11 est entendu que le point, pour lequel ce contact sub-
cdledu dénominateur, à
[d»+'* -d'+'x']* -b [d-+'ÿ - tl-+y J1 -b [d’+'i — daus l'hypothèse où l'un a U f = o.
sistc, est la projection , sur le plan des xy, du point supposé commun à la courbe S et à la surface A.
Le cylindre (v2) coupe la surface (I) suivant une ligne dont la projection sur le plan des zjc a, pour équation ,
Cela posé, puisque l’on a, d’une part, les équations de la courlte S, d’autre part, celles de la courbe S' % il est visible que tout se réduit à vérifier si la ligne représentée par l’équation (5) dans le plan des zx contracte, avec la projection , sur ce plan, de la courbe S, un contact de l’ordre n, et à déterminer la plus grande valeur du nombre n compatible avec cette condition. On ne perdra pas de vue que le point où ce contact doit avoir lieu est la projection , sur le plan des xz, du point supposé commun à la courbe S cl à la surface A. On sait, d’ailleurs, que l’ordre du contact est marqué par le nombre des dérivées successives qui prennent même valeur au point rendu commun aux lignes que l’on considère.
Au lieu de s’en tenir à la définition qui précède, on peut dire plus simplement que l’ordre du contact établi entre une surface et une courbe est marqué par l’indice le plus élevé des différentielles successives qui satisfont à la fois aux équations de la courbe et de la surface.
Supposons qu’on ail déterminé, par les équations de la courbe, les valeurs des différentielles successives (dx, dy, dz), (iPx, </*»/,' (Pz) , etc., ce qui ne présente aucune difficulté, puisqu’on dispose arbitrairement de l’une des vitesses dx, dy, ilz, et qu’on peut l’assujettir soit à demeurer constante, soit à varier comme on veut. On substitue ces valeurs dans les équations différentielles de la surface, en opérant d’abord sur l'équation différentielle du premier ordre, puis sur celle du second , et ainsi de suite, aussi longtemps que lu substitution reste possible sans incompatibilité.
* Nous avons fait voir au ir 1 20 , page 321 , comment on détermine les coefficients a, à, c, . . . p de manière à établir un contact de l'ordre n . entre une courbe donnée dans le plan des xij et celle que l'équation (2) représente dans ce même plan.
L’ordre de la dernière des équations différentielles, qui peut être ainsi satisfaite, est celui du contact établi entre la courbe et la surface données.
On observera qu'en suivant ce procédé , il est permis de remplacer par l'équation (2) celle de la projection de la courbe S sur le plan des xy, et de prendre, au lieu de l’équation (I), l’équation (5) qui résulte de la combinaison des équations (1) et (2). Cette simple remarque suffit pour faire voir que la première définition implique la seconde, et réciproquement. On peut donc admettre indifféremment l’une ou l’autre. Si les conditions qu elles expriment diffèrent, c’est par la forme et non point par le fond.
153. Reportons-nous aux considérations développées ci-dessus, en ce qui concerne le cercle osculateur d’une courbe à double courbure et la droite menée par le centre de ce cercle perpendiculairement à son plan. Toute sphère ayant son centre sur cette droite et passant par le point correspondant de la courbe contient le cercle osculateur. Elle a donc, avec celte courbe, un contact du second ordre. On comprend dès lors que, parmi ces sphères, il doit, en général , s’en trouver une dont le contact avec la courbe donnée soit plus intime que pour les autres et devienne du troisième ordre. La sphère, ainsi déterminée , est connue sous le nom de sphère oseulatrice. Elle est caractérisée parla condition quelle remplit d’avoir, pour centre, le point de la polaire dont la vitesse est nulle à l’origine du déplacement de celte droite. Soit
(I). . . . (l-xY + (u-yy + (v-zy=:R\
l'équation de cette shpèrc ;t,u,v étant les coordonnées du centre; R le rayon; x, y, z les coordonnées courantes. I)c là résulte, pour les équations^iffércnliellcs des trois premiers ordres,
I(( — x)dx + (u — y)dy -+ (v— z)dz = o,
(f — x)(Px + (u — y)diy + (v — z)<t‘z — dsi,
(t — x)d?x + (u — y )(Py -+- (e — z)dlz — 3 ds.tPs.
Observons que ccs équations reproduisent identiquement les équations ( 1 ), (2), (4) du n" 147, page 373. La seule différence con-
sisie en ce que les quantités x, y, z sont ici les coordonnées courantes de la sphère, tandis qu’au n° 147 elles sont les coordonnées courantes de la courbe. S'agit-il du point commun a la courbe et à la sphère? Les valeurs qu’affectent, en ce point, pour la courbe, les différentielles successives (dx, dy, <lz), (tPx, d'y, d*z), (iTx, ' iPy, (Pz), satisfont, ainsi qu’on le voit, aux équations différentielles de la surface sphérique. Il est donc vérifié que In sphère dite osculatrice contracte, avec la courbe, un contact du troisième ordre. On sait, d’ailleurs, que les coordonnées du centre de cette sphère sont déterminées par les équations (2).
Application des théories précédentes à l’hélice.
lût. Proposons-nous d’appliquer h l’hélice les théories précédentes, et procédons, d’abord, par voie géométrique. L’uniformité que présentent ici la première et la deuxième courbure facilite, singulièrement toutes les solutions. Elle suffit, d’ailleurs, pour faire voir à priori que l’hélice peut, en contractant, avec une courbe quelconque à double courbure, un contact du deuxième ordre et, en partie, du troisième, remplir, par rapport à cette courbe, pour chacune de ses deux courbures, le rôle assigné au cercle oscillateur en ce qui concerne les courbes planes.
Soient une hélice H tracée sur un cylindre droit, à base circulaire; r le rayon du cylindre; h le pas de l'hélice ; * l’angle que la tangente à la courbe fait avec le plan de la section droite.
Prenons sur cette hélice un point quelconque m , et représen-
Fig. 62.
tons, par ma, la tangente en ce point; par mp, la génératrice correspondante ; par on, l’axe du cylindre; par abop, le plan de la section droité opq.
Le plan map touche le cylindre suivant la génératrice mp. Considérée comme située dans ce plan et comme entraînée par lui dans son enroulement sur la surface cylindrique, la droite «ta vient appliquer successivement tous ses points sur 1 hélice H.
Représentons-nous le plan map !i l'instant précis où il sort du
lieu qu'il occupe en s'enroulant sur le cylindre. L étal de mouvement qui I nnimc consistant en une rotation simple autour de la génératrice mp, il s’ensuit que les vitesses actuelles de la tangente ma sont toutes dirigées parallèlement à la normale mn. De là résultent, en premier lieu , les conséquences suivantes :
Le plan oscillateur de l'hélice H est, pour le point m , le plan amn mené pur la tangente ma et la normale mn.
La normale mn étant située « la fois dans le plan oscillateur et dans le plan mené, par le point m, perpendiculairement à la lunijente ma, est, pour ce point, la normale principale de l'hélice II.
Soit da la vitesse angulaire du plan tangent amp, dans sa rotation autour de la génératrice mp. Celte vitesse est, en même temps, celle du rayon op autour du centre o, et celle de la droite pa autour du point p.
Soit W la vitesse anguluire avec laquelle la tangente ma s’écarte de la position dont elle sort en tournant autour du point m. La vitesse actuelle du point a pouvant s’exprimer indifféremment par chacun des deux produits pa.da, ma.Vf, on a nécessairement
pa
( 1 ) W = da — COS a . da.
ma
Soit V ou ds la vitesse du point m sur l'hélice II. Il existe, entre cette v itessc et celle de sa projection p, le meme rapport qu’entre les deux longueurs ma, pa. Or, la vitesse du point p a, pour expression, r.da. Il vient donc
IHfl V
(2). . . . V = rfs = — .r. «/« = — . rf».
pa cos *
Désignons, par p, le rayon de première courbure de l'hélice H. On a
(ô). . . p==— := — — = r(l -v- Ig*-/) = cons1'.
Le centre du cercle oscillateur étant situé sur la normale prineipale, et celle-ci coupant en n l’axe du cylindre, on voit que ce centre se trouve en m', au delà du point n, à la distance
nnï = p — r = r Ig* a.
Concluons que le lieu des centres de première courbure est une hélice H' de meme pas que l’hélice H, ayant même axe et, pour section droite du cylindre correspondant, un cercle au rayon r.tg'cc.
Soit a! l’angle que la touchante à l'hélice H' fait avec le plan de la section droite opg. De même que l’on a , pour l’hélice II,
de même il vient, pour l'hélice H',
(fi).
tg a'
2 Trr tg* a
La combinaison des équations (h) et (fi) donne (7) tg a . tg a' = 1 .
On voit par là que la tangente en »»' à l’hélice H' est perpendiculaire à la tangente en «i à l’hélice H. On sait, d’ailleurs, qu’elle est perpendiculaire au rayon »«*'. II s’ensuit qu’elle est normale au plan osculatcur atnn, et qu’en conséquence elle n’est autre chose que la polaire correspondante au point ni. De là résultent immédiatement les déductions suivantes :
Le lieu des tangentes A l’hélice H' est la surface polaire de l'hélice H.
L’hélice H' est l’arête de rebroussement de cette surface polaire.
Soit p' le rayon de courbure de l’hélice H'. La formule (5) , où l’on doit remplacer r par rtg%a,e t tga par tga, donne
? — r tg* «(1 -+- tg’a'),
et, en égard à l'équation (7),
(8) P = r(i + tg*«) =■ p.
On voit, ainsi, qu'il existe entre les hélices H, H’ une réciprocité remarquable. Cette réciprocité implique les énoncés suivants :
Les plans osculateurs , qui correspondent aux points conjugués ni, m' des hélices H, H', se coupent « angle droit suivant la normale principale commune mm'.
De même que l’hélice H a son centre de première courbure situé en m', pour le point m, de même l’hélice II' a son centre de première courbure situé en m, pour le point m'.
Le lieu des tangentes ri l’hélice 11 est la surface polaire de l’hélice H' *.
L’hélice II est l’aréte de rebroussement de cette surface polaire.
Menons, par le point m, la droite mb perpendiculaire au plan oscillateur amn. Cette droite est située dans le plan tangent amp et elle y conserve une inclinaison constante. Il suit de là qu'en désignant, par n, la vitesse angulaire avec laquelle la droite mb s’écarte delà position Honlcllc sort en tournant autour du point m, on a, d’après la formule (1), où il faut remplacer l’angle a par son complément ^ — a,
(9) n = sin a . du.
Telle est la vitesse angulaire qui anime le plan oscillateur de l'hélice II dans sa rotation autour de la tangente.
Soit H le rayon de deuxième courbure. On a.
sin a cos a
1 + tg* a tgx
tga
* On voit aisément que les traces de chacune des deux surfaces polaires sur les sections droites des cylindres qui leur correspondent sont les développailles i1ohi*oitIcs île lisse.
Désignons par W R' les quantités qui correspondent, pour ritélicc II', n celles que nous avons représentées par W ,o, R pour l'hélice H. Les formules (1) et (9), lorsqu’on y remplace a par
«' = - — a, donnent
(11) W' =- sin a . du.
(12) a'== cos *.da.
Il vient donc, conformément aux résultats généraux des numéros 1 43 et 1 47, pages 3«9 et 377,
En opérant sur la formule (10), comme on l’a fait sur les formules (1) et (9), on trouve
(15) R'=^ ptg*.
La combinaison des équations (10) cl (13) donne, en conséquence ,
p*= RR'.
Ce résultat peut s’énoncer, comme il suit :
Le rayon de première courbure de chacune des hélices H, H' est moyenne proportionnelle entre leurs rayons de deuxième courbure.
On observera que , dans le cas particulier où l’hélice 11 est inclinée à 43“ sur le plan de la section droite opq, 1 hélice H' lui devient égaie. On a, d’ailleurs, en ce cas
p = R = îr.
133. Considérons une courbe quelconque S. Désignons par m l’un de ses points et donnons-nous les deux rayons de courbure correspondants. Soient p, le premier de ecs rayons, et R, le deuxième. Si l’on pose
P=?r(1 -+- tg’a),
l’on en déduit
,g*”iT
fi
L'hélice délerniinée par les équations (2) prend, par rapport à la courbe S, le nom d hélice osculatriec. Elle est tracée sur un cylindre droit à base circulaire. L’axe de ce cylindre est perpendiculaire à la normale principale : il la coupe à une distance du point m exprimée par la quantité r, qui est le rayon de la base. L’angle qu’il fait avec la touchante en m a la courbe S est représenté par - — a. Cet angle s’ouvre, par rapport à la touchante, du même côté que la courbe s’en écarte à partir du point ni.
On observera que le contact établi entre la eourbe S et l’hélice osculatriec déterminée par les équations (2) n’est pas du troisième ordre, bien qu’il soit plus intime que celui du cercle oscillateur.
I.’iti. L’application du calcul h la détermination des résultats obtenus, dans les numéros qui précèdent, ne présente aucune difficulté.
Si, sans rien changer aux notations du n° \ 54, on prend, pour * axe des z, l’axe du cylindre sur lequel est tracée l'hélice H, on peut écrire les équations de cette courbe sous la forme suivante :
, , , . ha
(1) . x = rcos(u, t/ = rsm», • — = r.a. tg«.
. ZJT
De là résulte, en prenant l’angle a pour variable indépendante,
dx — — r.sinw.rfw, dy (Px = — r . cos u . d-.*, diy * dsx — r sin u.dus, dPy
On en déduit, d'abord,
(2) . . V = du = V dx * -t- dy- + dz- = r V' \ +■ tg* a . du,
== r cos «.d*>, dz — r tg * . d«, = — r sin w.tfua, d*z = o,
— — r cos u.duz, d*; = o.
et, comme on a
, dx COS &>
d. dx
ds V\ + tg*«
il vient
' ds '
sio u dz
ris
V I H- tg*«
Les équations (2) et (3) donnent
f> = — =r(l + tg**).
On a de même
(o) Q = ~ d -<*/] + A [dsd** — dxcPz] d*z [</x<% — dydrx]
[dytPz — dztPyY •+- [ctafx — tfxd*:]* -c- [i/xrf'y — dytfx]* tga
et, par conséquent,
V \ ■+■ tg*«
■ rf« ,
(«) R = X=îlL±i*!^==i.
il tg a tg a
S’agit-il ensuite de la surface polaire? Les équations générales (1) et (2) du n° H7, page 373, deviennent respectivement
u cos a — t sin u = (r« tg * — p) tg x , v sin a + t cos a — — r tg* a.
On en déduit
«’ -+-/*— tg* * [>•* Ig* « (r<u tg a — r)*] , et, par suite,
r tg JC V ,« |a* 3
( 59tf )
cc qui donne
pour l'équation cherchée de la surface polaire.
Si l'on ajoute, aux équations (7), l’équation (4) du n° 147, page 374, en observant qu’elle se réduit à
(9) t sin « — u eos u = o,
la combinaison des équations (7) et (9) détermine l'arête de rebroussement de la surface polaire. On trouve ainsi , pour équations de cette arête,
(10) . I = — r' cos ai, u = — r‘ sin a, v = r'a> tg a,
la quantité r' étant égale au produit rtg*a, et l’angle a' au complément de l’angle a , - — a.
La comparaison des équations (1 ) et (10) fait voir que l’arête de rebroussement de la surface polaire n’est autre que l’hélice H' du n° 134, page 391. On reconnaît, d’ailleurs, aisément que les résultats obtenus d’abord par voie géométrique s'accordent avec ceux que nous venons d’établir au moyen du calcul.
157. Reportons-nous aux considérations du n* I4fi, page 370, et proposons-nous de déterminer la forme qu'affectent les développées de l'hélice H. Il est visible d priori que ces développées ne different que par leur position. On sait, d’ailleurs, qu elles deviennent droites dans le développement de la surface polaire et qu’elles concourent toutes eu un seul et même point, le point où se concentre la trace de la développante.
Considérons la transformée de l'hélice H' dans le développement de la surface polaire. Cette courbe a, pour courbure, en chaque point, la première courbure de l’hélice 11'. Il s'ensuit qu’elle se résout en une circonférence de cercle nu rayon
? = r( 1 -4- tg1 x) =r r’(1 -V tg» t’),
1rs Dotations restant les mêmes qu’aux numéros précédents cl r' étant, en conséquence, le rayon du cylindre sur lequel est située riiélicc H'.
Prenons le point o pour centre, et, avec un rayon oni égal à p,
Fig. 63.
traçons une circonférence de cercle C. Si l’on considère cette circonférence comme la transformée de l’hélice 11', la trace de l’hélice II est en o, cl c’est par ce point que pussent les droites suivant lesquelles les développées de l’hélice II viennent se rectifier.
Soit omn l’une de ces droites. La polaire P', menée par le point »»', se rabat sui\ ant la tangente en ni a la circonférence C. Le segment m'n, intercepté sur cette tangente entre le point ni et la droite omn, est la partie de la polaire P' interceptée entre l’hélice 11' cl la développée qui part du point m. De là résulte, en désignant par * l’angle m'ont,
« m'n = p tg v = r'[l •+• tg* «'] tg *.
Considérons la polaire P' dans sa vraie position, I,a projection du segment m'n sur le plan de la scclidfi droite a , pour expression ,
(1) m’n . cos »' = p tg * . cos a.
On a, d’ailleurs, pour la longueur a de l’arc mm',
Sans rien changer à la figure, imaginons, maintenant, qu’elle représente la section droite du cylindre sur lequel est tracée l’hélice H', et que le point m soit la projection du point où cette hélice est rencontrée par la développée que l’on considère.
L’arc a reporté à partir du point m sur l’hélice H', avant conservé sa longueur, aura, pour projection, sur la circonférence C uu are a déterminé par l’équation de condition
a' -- a cos * — p. if cos a’.
Supposons ccl tire représente par mm’, le point m' étant la projection du point où la polaire P’ vient couper l’Iiélicc H' *. Si l’on désigne, par l’angle correspondant mont', on doit avoir
r Y = a’ = p . if . cos
De là résulte
, p ( I -+- lg*« , y
i) —— y ■ cos a = if . cos jt —
r tg‘ jc sui x
Observons ici que la polaire P' se projette suivant la tangente nui. Si donc on porte, sur celle tangente, à partir du point m', une longueur m'a égale à la projection déterminée par l’équation (I), cl qu’on pose, en conséquence,
(3) tu n = p.eos a .Ig >j = r' - ,
sin x
on a, en n', la projection du point où la développée que l’on considère vient couper la polaire P’.
Prenons la droite omit pour axe, cl désignons, par A, le rayon vecteur ou'; par 0, l’angle non. La tangente de l’angle mon étant égale à
On a évidemment
On a, d’ailleurs,
— if' — arc Ig
* sin a
• On ne iicrdra pas do vue que si la figure est restée la nièiue , c'est eu exprimant des choses différentes.
” On sait que le,, angles Jt , a! sont compléments l’un de l'autre.
cl l’cquatiuu (5) donne
* = arc Ig . — — sin * = arc tg sin a r °
IJ vient donc, en substilunnt,
(4). o = — — arctg sin » \/ L. aP(. \ /i i
cl (elle est I équation, en coordonnées polaires, de la courbe suivant laquelle la développée de l’hclicc H se projette sur le plan • perpendiculaire à l’axe de cette hélice. Rapportée au système des coordonnées rectilignes du n" liiti, celte équation devient
u * * /ts -+- u* . /t1 -j- n1
arc *8 7 = ^arc lbr-s'" - V ~ 1 ~arc ’8* V ~ — 1 «
ou, réduisant,
H are tg.sin jcy/ — 1,
1 t sin jc
Si l’on joint, à l’équation (0), celle delà surface polaire
«sin
On peut considérer les équations (G) et (7) comme déterminant d’une manière complète la développée de l’hélice H.
La discussion de l’équation (4) montre que les branches de la courbe représentée par celte équation, et partant du point m, satisfont aux conditions suivantes :
1° Elles ont en m un point de rebroussement du premier genre: leur tangente commune, en ce point, est la droite oui.
Celte équation lie diffère de l'équation (8) du n" tofl, [>age 3ü(j, que par la àulblilutkm de la quantité r’ au pruduit r.lij* je.
2" Hiles oui, pour asymptotes, les droites menées à la distance r du point o sous l'inclinaison
t I — siu X
'2 sin a
Remarque. — Eu désignant, par y, l'angle sous lequel la courbe coupe son rayon vecteur, on a généralement
Ig y =
