PRINCIPES FONDAMENTAUX

1 .'j8. Etant donnée une surface quelconque, ou peut la considérer comme le lieu d’un système de lignes qui se succèdent continûment, et l’on est libre de déterminer ces lignes d’une infinité de manières différentes. Admettons, pour plus de simplicité, qu’elles résultent des intersections faites dans la surface par un planmobilcdc directionconstante.il s’ensuitquc la surface admet, pour génératrice, une ligne située tout entière dans le plan mobile, entraînée par ce plan, et changeant, en général, de forme en meme temps quelle change de position. Imaginons qu’on fixe, sur la génératrice, un de ses points, et qu'un assujettisse ee point

à glisser sur lu surface le long d’une trajectoire déterminée. Rien ne s’opposant à cç qu’on procède ainsi, nommons

A la surface donnée;

Q un plan mobile , de direction constante ;

S, la section faite dans la surface A par le plan Q ;

m un point supposé lixe sur la ligne S,;

S, la trajectoire du point m sur la surface A.

Soit ;j. un point mobile assujetti à glisser sur la ligue S, et sortant dit lieu m à l’instant que l’on considère.

La vitesse V du point /a, sur la surface A, a pour composantes :

1" La vitesse V, du point n sur la ligne S,;

2° La vitesse V, du point m sur la trajectoire S,.

Ces deux composantes sont dirigées respectivement suivant les tangentes menées, par le point m, aux sections S, et S„. Soit P le plan déterminé par ces deux tangentes. Les vitesses V,, V, étant dirigées dans le plan P, il s’ensuit que ce plan contient nécessairement leur résultante V et, par conséquent aussi, la tangente menée, par le point m, à la trace du point n sur la surface A.

Observons que le plan P demeure invariable indépendamment du degré de grandeur attribué séparément à chacune des deux composantes Vx, V,. Observons, en outre, qu’en changeant le rapport de ces composantes, on dirige, comme on veut, dans ce plan, la résultante V. Cela revient à dire qu’on est libre de choisir pour trace du point p sur la surface A , l'une quelconque des lignes tracées sur celle surface à partir du point m. Quelle que soit cette ligne, sa tangente, en m, est comprise dans le plan P.

Concluons que le plan P contient, en général *, les tangentes menées en m à toutes les courbes tracées par ce point sur la surface A.

On désigne sous le nom de plan tangent le plan mené, eu un point d une surface, par deux quelconques des droites qui lou-

On voit aisément que la démonstration serait en défaut , si l'une ou l'autre des deux vitesses V,, Vy était nulle, ou qu’il y eût discontinuité dans le cliangcmeul de forme subi par la ligue S, au sortir du lieu qu'elle occu|>e.

client la surface cil ce point. Le résultat auquel nous venons de parvenir peut, en conséquence, s'énoncer comme il suit :

H n existe , en général, pour chaque point d’une surface qu'un seul plan tangent. Ce plan contient « la fois toutes les droites qui louchent la surface en ce point \

159. Nous avons établi au n“ 104 (voir pages 207 et suivantes) que le changement de forme de la ligne Sx ne peut altérer en aucune façon la vitesse angulaire qui anime la directrice du point n au sortir du lieu m. Celte vitesse est la même que si la ligne S, persistait dans sa forme actuelle et qu'elle tournât autour du pointai comme le fait sa tangente en ce point. Plaçons-nous à l’instant précis où le point p sort du lieu m, et nommons

a, la vitesse qui anime la ligue Sx dans sa rotation autour du point m ;

W, lu vitesse avec laquelle la directrice du point /x s’écarte angulaircment de la tangente en in à la ligne S,;

n, la vitesse totale angulaire de celte même directrice.

On a évidemment,

Partons de là et, considérant ce qui se passe dans le plan Q, lorsqu’on le regarde comme fixe, c’est-à-dire lorsqu’on fait abstraction de la translation qui l’anime, proposons-nous la question suivante :

Soit mX une droite quelconque menée par le point m et supposée fixe dans le plan Q. On sait que la ligne S, tourne autour du point m avec la vitesse a. Cela posé, on demande de déterminer la différentielle de la vitesse avec laquelle le point p s’écarte de la droite mX, au sortir du lieu m sur la ligne Sx.

* Ce principe a déjà été démontré au il" 27 de la deuxième |iarlie. Le lecteur peut d'ailleurs se reporter au u° 104 de la troisième partie, pour ce qui concerne l'iudépendance existant , d’une part , entre le changement de forme delà génératrice mobile, d'autre part, entre la vitesse actuelle du |H>int n ,-ur la ligne S, et la rotation de la directrice de ce point au sortir du lieu m.

Supposons le poinl u situé eu n sur lu ligne SJ et représentons, pur nt, In tangente en ee point.

Soient z = np la perpendiculuire «baissée du point n sur la droite »iX;

x = mp la dislanee du point m «u pied de cctlo-perpendiculairc ;

a l’angle de la tangente nt avee la droite mX.

La v ilesse éommuniquée au poinl n de la ligne S„ par lu rotation u établie autour du point m a , pour eoinposanlcs :

I" Une vitesse a.x dirigée suivant pn;

' 2 ° Une vitesse — a.z parallèle à wX.

Soit v la vitesse qui anime le point p sur la ligue S,. Cette vitesse a, pour composantes :

1° Une vitesse e.sin a. dirigée suivant np;

2° Une vitesse v. cos a parallèle h mX.

De là résulte, pour la vitesse totale avec laquelle le point p s’écnrtc de la droite mX , au sortir du lieu n ,

i — tlz— v . sin a -+- a . .

On u, de même,

X — (lx — v . cos a — a.z,

ee qui donne

, cos *

et, par suite,

(i) ilz = (x-¥- u.z) Ig « -f- a.x.

Regardons la vitesse x comme constante et, après avoir différencié l’équation (2), reportons le point « en m , ce qui revient à annuler les variables je et z dans le résultat de la différentiation. On trouve ainsi

<Px-

cos a

-4- w. j(l -4- lg*a)

La vitesse i n’élunt autre ebosc (|uc la vitesse angulaire désignée ci-dcssus pur U dans l’équation (l), on a

à = u •+• NV.

11 vient doue, en substituant,

jr(W-t- a«) *

Ce résultat peut s'énoncer, comme il suit,

Lorsque la ligne S, ne tourne pus autour du point in, lu différentielle d4z est égide à la vitesse du point décrivant multipliée

• Soient (mX,niZ), (mT, ml') deux systèmes d'axes coordonnés rectangulaires , l'un lixe , l'autre mobile avec la ligne S, et parlici|Kinl à la rotation de cette ligne autour du point m. Eu désignant pur », l'angle variable XmT, ou a

3 = t siu y, -+- u cos »,, x — t cos », — u sin i j ,

I , u étant les coordonnées du point n par rap|iort aux axes mobiles (««T, «il'), en meme temps que x , 3 sont les coordonnées de ce meme |>oiul par rapi-n l aux axes fixes mX, mZ. (Voir la (ig. Cl, page i03.)

De la résulte, eu premier lieu,

di = lit . sin », -r- du cos >(-+-(/ cos ij — u sin V)ds, dx= dl cos >) — du sin 1 i — (/ siu >> -t- u cos .

Différenciant une seconde fois, et annulant les quantités t, u, x, s, s dans le résultat de la différentiation , on trouve

diz=diu-\-îdlde =iPu + i*.dx, d‘£—iPl — liitude = iPt — 2 x.dy.

Soit a l'angle que lu tangente en m à la ligne S, fait avec la droite mT, ou a , généralement ,

du = dt .lg a,

et , [>ar suite ,

il! . ila W.rf.r

iPu = — -t-d1Mga = t-f/'t.tgj:.

cos1 a cos* et

la différentielle il* représentant ici la vitesse angulaire avec laquelle la directrice du |mmiiI m tourne par rup|ior( il la droite mT, et étant égalé, eu conséquence, il la quajitile NV.

( to» )

par lu rilesse angulaire tir lu directrice et divisée pur le carré tlu cosinus de l'angle t/tte lu tangente en m fait tirer lu droite mX.

Lorsque la ligne S, tourne autour tlu point m, la rotation établie autour de ee point produit, en ce qui concerne la différentielle d’z, le même effet qu'une rotation double établie autour du point décrivant.

Dans le cas particulier où la droite mX touche en «i la ligne Sr, on a, plus simplement,

(5). ...... rf*r==i[W -4- 24

De là résultent les énoncés suivants :

Lorsqu'un point assujetti à décrire une courbe sort d'un lieu

On a d'ailleurs, d'après ce qui précède,

tl,lT=(Pxs-iu.tly.

De là résulte, après substitution et réduction ,

rf.r(\Y-t- 2k) „

<ftz — -t- tP.r tu x.

cos- x

Cette dernière équation se réduit à