Soient nue surface quelconque A

O un point de cette surface;

OX, OY deux droites mondes par le point O laiigentiellemenl à la surface A ;

0/ la perpendiculaire élevée en 0 sur le plan XOY ;

S, la section faite dans la surface A par le plan ZOY;

Q un plan mobile assujetti à rester parallèle au plan ZOX ;

S, la section faite dans la surface A par le plan Q; ni le point commun aux deux sections S*, S,.

Prenons les droites OX, OA', OZ pour axes coordonnés, cl plaçons-nous à l'instant précis où le plan Q sort du lieu ZOX, le point m étant considéré comme fixe sur la section S, et glissant avec la vitesse g le long de la section S,.

Imaginons qu'à ce meme instant il y ait en ni un point mobile n, assujetti à rester sur la section Sr et sortant du lieu in avec la

vitesse x.

En désignant par AV, la vitesse angulaire de la directrice du point ni sur la ligne S,, la différentielle de la vitesse avec laquelle ce point s'écarte de la tangente OA’ au sortir du lieu O a pour expression le produit

Soit a, la vitesse angulaire de la tangente en m à la ligne S. et \V, celle qui anime la directrice du point u par rapport à cette meme tangente. Si, toutes choses égales d'ailleurs, le point ni était fixe, la différentielle de la vitesse avec laquelle le points s'écarterait de la droite OX au sortir du lieu m aurait , pour expression , le produit

Voir, au liesoin, le ir 1 *»0 on le n" 100. pages 402 et suivantes.

En réalité. In vitesse du point m se communique à tous les points de In ligne S, et, par conséquent, nu point fi. Il suit de là que In différentielle de la vitesse avec laquelle le point fi s’écarte du plan XOY, au sortir du lieu O, est la somme des deux différentielles précédentes. On peut donc écrire

(1) . . . . z — drz m= y.W, -t- 2-r.w, + jrW,.

On voit d’ailleurs, aisément, qne la direction suivie par le point iu, nu sortir du lieu 0, est complètement déterminée, par les deux vitesses i, y

Au lieu d’opérer comme nous venons de le faire, on peut substituer In section S, à la section S, et réeiproquemment, c’est-àdire considérer la section faite dans la surface parallèlement nu plan ZOY comme étant celle qui se déplace et que le points décrit, tandis que le point m glisse sur la section S, supposée fixe dans le plan ZOX. Si l’on désigne alors paru;, la vitesse angulaire «le la tangente en m à la ligne S,, il vient, comme tout à l'heure,

Rien d’ailleurs n’est changé dans la direction suivie par le point fi , au sortir du lieu 0. Il faut donc que les équations (I ) et (2) subsistent en même temps. De là résulte, eu général,

et, pour le cas particulier où Ion prend la vitesse x égale à la vitesse y,

Soit i l'angle XOY, et a celui que fait avec l'axe OX la direction 01. suivie par le point n, au sortir du lieu 0, on a évidemment -,

sia a y

sin(A — *) x

Pans le cas particulier nii l’on pose x — >/, la droite OF, est dirigée suivant la bissectrice île l'angle XOY.

Traduite en langage ordinaire, l’équation (4) exprime une propriété curieuse qui comporte de nombreuses applications cl qu’on peut énoncer , comme il suit :

Soit P un plan tangent en O à une surface A; OX, OY les traces sur le plan P de deux sections normales S,, S,. Nous désignons, sous le nom de tangentes réciproques , deux tangentes conjuguées entre elles et respectivement assujetties, l’une à rester parallèle au plan de la section S, tandis que son point de contact glisse sur la section S„, l’autre à rester parallèle au plan delà section S, tandis que son point de contact glisse sur la section St.

Cela posé, voici l’énoncé dont il s'agit :

Lorsque deux tangentes réciproques sortent en même temps des sections normales qui les déterminent , et que leurs vitesses de translation sont les mêmes en grandeur, leurs rotations autour des directions suivies par leurs points de contact sont égales et de signe contraire.

L’équation (4) exprime directement qu’il y a égalité entre les vitesses angulaires avec, lesquelles les tangentes réciproques considérées s'écartent simultanément des positions dont clics sortent à l'origine de leur déplacement. Pour passer de ces vitesses angulaires aux rotations mentionnées dans l’énoncé qui précède, il faut les diviser chacune par un même facteur, le sinus de l’angle que font entre elles les traces OX , OY. L égalité des vitesses angulaires qui figurent dans l'équation (4) implique, en conséquence, celle des rotations qui leur correspondent respectivement autour des directions déterminées par ces traces. On voit, d’ailleurs, aisément que ces rotations sont de signe contraire, les écarts expri-, més par les produits ÿ.w,, jc.m, étant nécessairement de même signe.

De l’égal ité f", (x, y) — f " , (x, y).

1 1>2. Sans rien changer il ce qui précède, imaginons que les axes OX , OY ne soient pas tangents en O à la surface A.

Si l’on désigne, par jt, l'angle que la tangente en O ii la section

S, fuit nvoc In ilroilr OX rl . pnr b, l'angle que In tangente en O a In section S„ l'nit avec In droite OY, il est visible qu'en opérant, eominc tout n l'heure, on trouvera d’abord

et , ensuite,

y.VV, 2jr.», i.W,

COS* 6 cos* a cos* a

z=iPz

cos* a eos* f, eos* 6

le tout, conformément nu théorème général du n" 159 ou du n° ICO.

Les équations (I) et (2) impliquent, eomme conséquence,

», xcos*6 », .7 eos’a

Supposons qu’on détermine les vitesses r, y de manière n ec qu'il existe entre elles le même rapport qu'entre les carrés des cosinus des angles % et 6; on aura

et, par suite,

x eos3 a.

y eos* b

L’équation (5) subsiste, en général , sous la double condition que l’axe OZ soit jierpendiculairc au plan XOY et que l'équation (4) soit satisfaite. L’énoncé qu’elle comporte est analogue à celui que nous avons formulé dans le numéro précédent.

Soit

l’équation de la surface A; on en déduit généralement (7) lK a ~ /»(x> ?/)•

Différencions l'équation (7) en y considérant In variable j comme constante et en observant que In différentielle æ n’est antre chose que In vitesse angulaire désignée ci-dcssus par w,. On trouve

ainsi

<*OS <x

On n, de meme,

tgÇ = /;(T,y),

et, par suite,

’(f) ït ==•»■■ A'. r(*> ?/)•

cos* c,

La comparaison des équations (8)el (!t) donne, en vertu de l'équation (ô),

(•n) r>.»(x>y)—iïAx>!/)-

Ce résultat, qui nous est déjà connu , s'établit ainsi très-simple-

ment. On sait, d’ailleurs, qu'en le posant à priori , d’après la méthode des limites, on en déduit immédiatement le théorème des tangentes réciproques.

IGâ. L’égalité

peut s’établir sans autre secours que celui de la géométrie plane. Liant donnée l’équation générale

considérons-la comme déterminant, pour chaque valeur de la variable y, une ligne plane désignée par S et rapportée ù deux axes coordonnés rectangulaires OX , OY.

Soit m un point quelconque supposé fixe sur la ligne S et a l’angle que la touchante en ce point fait avec l’axe OX. On a, généralement,

(2). tg a = /;(x,y).

Assujettissons le point vt à conserver toujours lu même abscisse cl différencions l’cquation (2) dans cette hypothèse. On trouve ainsi,

eos* «

à étant la vitesse angulaire qui anime la ligne S dans su rotation autour du point m, alors que ce point glisse sur l’ordonnée qui lui correspond, et qu'entraînée parlai, la ligne S sort du lieu qu’elle occupe en changeant de forme et de position.

Soit u un point mobile assujetti à rester sur la ligne S et sortant * du lieu in à l’instant que l’on considère. L’ordonnée de ce point étant représentée par z, il est visible que la partie de la différentielle z ou ifz qui correspond au glissement du point m sur son ordonnée a pour expression

La partie de celle différentielle qui correspond au mouvement du point jx sur la ligue S est donnée par la formule (4) du n" lai), page 404. On a ainsi

i (W-t- 2à) eos* x

\V..r eos1 a

'lx. y. f y),

et de là résulte évidemment W.r

(3). . . ^ = — ■ + -•*•.!// y) + ÙTA*> y)-

rus» x

Observons ici que pour avoir l'expression de la quantité YV, il suffit de différencier l’équation (2) en y considérant la variable y comme constante. La valeur qu’on obtient ainsi pour à est précisément celle de la vitesse angulaire VV. Ce procédé donne

eos' a

il vient dune, en substituent,

(4). . z = <pz = **/r(x, y) ■+■ üÿ/1;;, (*, //) y • /■,> , y).

Cela posé , différencions deux fois de suite, l'équation (I) cl effectuons cette opération en nous conformant à la marche suivie dans ce qui précède, c’est-à-dire en considérant comme constantes les deux vitesses s, y. Le résultat étant

(b), z — dtz = xif,"(x, y) -+- xy[f;[,(x, y) •+- y)] -i- ÿt[',(x, y),

* on voit, par sa comparaison avec l’équation (4), qu’il implique l’égalité

Cette égalité peut d’ailleurs s’écrire, comme il suit,

Plan tangent. — Normale. — /'/««.s normaux.

Iti4. Nous avons vu au n“ 158, page 402, qu'il existe, en général, pour chaque point d une surface un plan unique, contenant toutes les droites qui touchent la surface eu ce point. Ce plan est déterminé par deux quelconques de ces droites : on le désigne sous- le nom de plan tangent.

Veut-on chercher directement l’équation du lieu qui contient, pour un point quelconque d’une surface, toutes les tangentes menées par ce point? Voici comment on peut procéder généralement.

Soient A la surface donnée, et (*) I’(x, y, Z) *= O

sou équation. Concevons un point u assujetti à rester sur lu sur-

face A et sortant du lieu m à l'instant que l’on considère. Un a, en general ,

les quantités r/x, dy, ilz étant les trois composantes de la vitesse du point p, ou, ec qui mient au même, les projections de celle vitesse sur les axes coordonnés.

Soit mn le segment de droite qui représente, en direction, sens et grandeur, la vitesse du point u nu sortir du lieu m. En désignant, par t, u, v, les coordonnées du point « et, parx, y, z, celles du point m , on a

ilx—t — x, dy — u — y, tlz = v — z.

De là résulte, en substituant,

L’équation (5) est celle d’un plan passant par le point tn et complètement déterminé par les valeurs que les dérivées partielles ) ’ (sÿ) ’ (<!?) a^e< lenl eu ce point. Elle est en même temps le lieu des points n et, par conséquent, celui de toutes les droites qui louchent en m la surface A. Ce résultat s’accorde avec les déductions du u° r>8. Il fournil, en outre, l'équation géuéralc du' plan tangent en un point quelconque d’une surface.

Si l’équation de la surface est donnée sous la forme

W z = IV>y)

et qu’on désigne, comme on le fait généralement, par p et y les dérivées partielles j , l’équation (2) devient

(;») tlz = ptlx -+- t/tly,

cl l’on en déduit , pour celle du plan tangent,

lli.'i. Sans rien changer à ce qui précède , proposons-nous de déterminer les équations fie la droite menée par le point m perpendiculairement au plan tangent. Celte droite est la normale nu point m de lu surface A. l)ésignons-la par .N.

Soit il un point quelconque supposé fixe sur la normale N. Kcpréscnlons, par I, u ,v, les coordonnées de ce point ; par x, y, z, celles du point »; par i, la distauce «a. On u généralement, les axes coordonnés étant rectangulaires,

{l). . . . i‘=(i -*)* + (« -.y)’ -Ht-*)*.

Cela posé, si nous considérons le point as à l'instant précis où il sort du lieu ni, sa vitesse est perpendiculaire à la droite ««. Il s’ensuit que la vitesse de glissement i/a se réduit à zéro. De là résulte

(2). . . (( — ■+• (u — ÿ) (tf — z)di — o.

L'équation (2) subsiste, en général, pour toutes les directions que le point n peut prendre au sortir du lieu m. Elle subsiste, eu outre , nou-seuleinenl pour tous les points de la normale N, mais aussi pour tous ceux du plan mené pai- le point in perpendiculairement à la direction suivie par le point /x dans son déplacement effectif. Ces remarques impliquent évidemment les déductions suivantes :

1" L’équation (2) est celle du plan mené par le point m perpendiculairement à la direction déterminée par les composantes dx , (hj, dz \ Elle peut ainsi représenter tous les plans menés par la normale et désignés sous le nom de plans normaux.

' Les cosiuus des angles qu'une taugrme quelconque l'ail avec les axes

. . dx du dz ,

coordonnés, supposés rectangulaires, étant — ’ * les équations de

cotte tangente sont de la forme

dæ

Il s'eusuil, couforuiuiieul à l'équation du ii“ 130, page 341 , que le plan

2" Si l’on considère , en particulier, deux quelconques de ees plans, leur intersection détermine la normale.

Posons y = cous". Le plan normal, qui correspond à cette hypothèse, a pour équation

On a de même, en posant x = cons",

Il suit de là que les équations (3) et (4) déterminent la normale N et résolvent ainsi la question proposée.

ICC. Les équations (2) et (S) du n° Ki4 subsistent, en même temps quo l'équation (2) du n* 165, pour toutes valeurs attribuées séparément à chacune des deux différentielles dx et dy. Celte circonstance exige que I on ait

De là résulte

(2). . t — xx p(v z) — o ) u— y ■+• </(» — *) = »,

ou bien encore

Les équations (2) déterminent, ainsi que les équations (3), une seule et même droite, la normale N.

mené par le point ni |>erpeiidiculairement à cette tangente a, pour équation ,

(i — x)dx -t- (u — y)(ltj -i- (v — z)dz = o.

On peut donc écrire à priori l'équation (2) et lui attribuer directement le sens exprimé dans le texte.

En procédant, comme nous venons de ic faire en dernier lieu, on démontre directement que les tangentes menées par le point m à lu surface A sont toutes perpendiculaires à une seule et même droite. La conséquence est que ees tangentes sont toutes situées dans uu seul cl même plan, ec qui vérilic les déductions des numéros I08 et 104.