CHAPITRE X
COIKBFRE 1)ES SURFACES.
Théorie géométrique de la courbure des surfaces.
COl'RBl'nE DES SECTIONS NORMALES.
107. Soient A une surface quelconque; O uu point de celle surface ; X lu normale eu ce point; U un plan mené par la normale N; S la section fuite dans la surface A par le plan U.
Lorsque le plan ri tourne autour de la normale X, la ligne S ne change pas seulement de position; en général, elle change aussi de forme, et su courbure en O varie incessamment. Considérons celle courbure. Elle est, par hypothèse, continûment variable, et redevient la même après chaque demi-révolution du plan n. De là résulte évidemment cette première conséquence:
Il existe, au moins , deux sections normales dont la courbure en O est, pour l'une plus grande , jtour l'autre plus petite que celles des sections qui précèdent et stuvent immédiatement.
108. Soit P le plan langent en O à la surface A; S,, S, deux sections normales passant par le point O et dirigées perpendiculairement l’une sur l’autre; OX,()Y les traces des sections S4, S, suite plan P.
Désignons par m un puiut mobile assujetti à décrire lu section Sy et sortant du lieu O n l’instant que l'on considère.
Désignons, en même temps, pnrTy une droite assujettie » toucher en m la surface A et à rester parallèle au plan de la section S,.
Cela pose, considérons l’intersection de la surface A par un cylindre droit, à base circulaire de rayon suffisamment petit, et ayant pour axe la normale N. Soit I celte intersection. En général, elle est fermée, et ses différents points s’écartent inégalement du plan qui touche en O la surface A. 11 suit de là * qu'il est, au minus, deux points de la courbe I pour chacun desquels la tangente à celte courbe est parallèle au plan 1* et, pur conséquent , perpendiculaire à la section normale correspondante.
Cette propriété de la courbe 1 prend naissance avec elle, c’csl-àdirc lorsque le rayon du cylindre qui la détermine s’engendre continûment ù partir de zéro. La conséquence immédiate est que la trace OY coin porte, au moins, deux directions distinctes, satisfaisant chacune ù l'énoncé suivant :
L'état de mouvement qui anime la lunyenle T? au sortir du lieu OX est une translation simple.
Si l'on considère l’étal de mouvement qu’ulTeclc, au sortir du lieu P, le plan tangent en m à la surface A , l’énoncé qui précède implique évidemment cet autre énoncé qui n'en diffère que par la forme :
La caractéristique du pluu lunyent eu m est perpendiculaire ù la section normale S,.
La coïncidence , existant entre les traces qui satisfont à ces deux énoncés et 1rs directions des sections normales dont la courbure eu U est un maximum ou un minimum, est eu quelque sorte évidente. Nous allons neanmoins la démonlrcr.
La continuité qui subsiste, par hypothèse, implique l'absence de tout changement brusque dans les directions tangent idlcs. On sait d'ailleurs qu'eu 0 les tangentes sont toutes situées dans le plan P.
1 G!>. Appuyons-nous sur la condition remplie par lu laugcnic Ty et consistant en ce que Ictat de mouvement, qui anime cette droite nu sortir du lieu OX, se réduit à une simple translation. Il suit de là, conformément aux principes du n° 104, page 207, que tout commence, ri partir du point O, comme si lu surface A s’engendrnit pHr le déplacement de la section Sr, cette section conservant sa forme et se mouvant tout entière par translation avec la vitesse du point in sur la section S,. On observera que, dans celle t hypothèse, les vitesses simultanées des différents points de la section S, sont toujours égales à celle du point m et quYI/es commencent toutes par être parallèles à In droite OY.
Désignons par Tt une droite assujettie à rester parallèle uu plan de la section S, et à loucher la surface A en un point qui sorte du lien O suivant la section normale S, *. 11 résulte de l’observation précédente que la tangente T, sort du lieu OY comme la tangente T, sort du lieu OX, c’est-à-dire avec un état de mouvement qui se réduit à une simple translation. La réciprocité qui s'établit ainsi entre les tangentes T,, T, implique le résultat suivant :
Les directions qui satisfont à l'énoncé du n° 168 sont conjuyitées deux ri deux , rectanyulairement.
170. Les sections S,, S, restant déterminées comme ci-dessus, considérons deux sections normales quelconques également inclinées sur la section S, et représentées par leurs traces OL, OL- (fig. 66).
Les conditions qui régissent la génération de la surface A, ri partir du point O, étant les mêmes pour chacun des côtés de la droite OX , il en résulte nécessairement que les deux sections normales OL, OL' ont même courbure en O **. Cette égalité de cottr-
' Il est visible que les droites T,, Tÿ forment entre elles nn système de tangentes réciproques. La propriété dont elles jouissent ri ce titre n’a pas besoin d’èlrc invoquée ici, comme conséquence du théorème général démontré précédemment. Elle s'établit , d’elle-même, dans les eoudilions les plus simples.
” Nous avons dit que tout commençait . à partir du |>oint O, comme si la surface A admettait pour génératrice la section 8„ et que celte ligne se mùl par
bure s'applique à toutes les sections normales qui se succèdent , à partir de In section S„ et qui sont dirigées symétriquement «le part et d'autre. Il s’ensuit évidemment que chacune des deux sections S,, S„ est une section de courbure maximum ou de courbure minimum. Ce résultat peut s’énoncer comme il suit :
Les sections normales qui satisfont à l'énoncé du n" 108 sont, en même temps, des sections de plus grande ou de plus petite courbure.
Veut-on démontrer lu réciproque de ce théorème? Il suffit de substituer aux sections normales leurs cercles oscillateurs. Cela fait, on voit immédiatement que, parmi ces cercles , les maximum ou minimum satisfont seuls à l’énoncé du n° 108.
Pour plus de simplicité, nous désignerons sous le nom de sections principales les sections qui satisfont à l'énoncé du n" 108, et qui sont, en conséquence, des sections de plus grande ou de plus petite courbure.
Soit p un point mobile assujetti à décrire la section normale OL, et sortant du lieu O à l’instant que l’on considère.
Représentons, par 06, la vitesse actuelle V du point u et, par Ou, al), ses composantes orthogonales i, ÿ. Soient, en même temps, R, R' les rayons de courbure qui correspondent au point O dans les sections S,, S,.
Concevons que le point p entraîne avec lui deux droites respectivement assujetties 6 toucher en fi la surface A et à rester parallèles, l’une au plan de la section S„ l’autre au plan
translation avec la vitesse qui anime le point m sur la section S ». Voici quel est le sens et la portée précise de cet énoncé.
Étant donné un point p assujetti à tester sur la surface A , et sortant du lieu O, à l’instant que l’on considère tout commence par rapport à ce point et par rapport à sa directrice, comme si la surface A s’engendrait par le déplacement de la section S, , cette section conservant sa forme et se mouvant par translation avec la vitesse du point m sur la section S, On sait, d’ailleurs, qu'il y a ici réciprocité complète entre ces deux sections.
de la srrlinn Sy. Les rotations do res droites sont
pour la première, et
