NV

pour la seconde. Représentons par Oc la rotation W, , par Oc la rotation NV,, et achevons le rectangle Orne. Oir sait, d’après le théorème du n" 40 de la première partie, page 85, que la diagonale On est la caractéristique du plan qui touche en ,u la surface A, et que la rotation de ce plan autour de cette droite est représentée en sens et grandeur par le segment O».

Imaginons que la section 01. puisse être une section principale, comme le sont déjà, par hypothèse, les sections S,, Sy. Il faudra que la caractéristique On soit perpendiculaire à la droite OL et, par suite, qu’il y ait égalité entre les deux angles aOb , «Oc. Cette égalité impliquant la suivante

ab ne NV, ub R Tût ^ (V — w7 ~ Ôô ÏÏ7

il est visible qu’elle a toujours lieu ou qu’au contraire, elle n’a jamais lieu, selon que les rayons de courbure R, R’ sont égaux ou inégaux. l)c là résultent les déductions suivantes :

1° Il n’existe, en général , pour chaque point (l'une surface, que deux sections principales , l'une de plus grande, l'autre de plus petite courbure. Hiles sont disposées reclungulairement.

2° Lorsqu’il existe en un point (l'une surface deux sections principales disposées obliquement l'une par rapport à l'autre, ou ayant même courbure, les sections normales intermédiaires sont toutes principales et leur courbure , en ce point , est la même pour tontes.

On appelle Ombilic*} ou pointu ombilicaux 1rs points singuliers où les sériions normales ont toutes meme courbure.

171. Complétons la solution précédente, et, à cet effet, commençons par sabstitucr à la rotation On ses deux composâmes Or = NV,, Or = W,.

Si l’on désigne par * l’angle «06, et qu’on décompose chacune des rotations Or, Oe en deux autres établies respectivement, l'une autour de 06, l'autre autour de la perpendiculaire élevée en 0 sur 06, on voit aisément que la rotation du plan tangent autour de la directrice du point u et celle de cette même directrice sont exprimées simultanément, l'une par la somme des premières composantes, l’autre par la somme des secondes. De là résulte, en nommant n la rotation du plan tangent autour de la directrice du point tu et en tenant compte des signes des composantes,

(1) Q — W, . cos a — Wr. sin «.

On a, de même, en désignant par W la rotation de la directrice du point ju,

(2) W = W, eos « ■+• W, . sin a.

On a, d’ailleurs,

jr = V eos * , i/ — V sin « ,

et, par snite, p, R, R' étant pour le point O les rayons de courbure des sections normales OL, OX, OY,

V x V cos x

vv„

»/ V sin x

II'

Ces valeurs substituées dans l’équation (I) donnent, après réduction ,

... ~ j sin 2*

o-vri-ii*

Lu R J

Su)»! i turcs dans l'équation (2), clics donnent, de même,

ou, bien encore ,

I cos* a sin’a

L'équation (3), jointe à l’équation (4) ou à l’équation (5), résout complètement la question proposée.

Mettons à prolit l'indétermination de la vitesse V, représentée par le segment Où et posons, en général,

L'équation (4) devient

jf- , y n'étant autre chose que les coordonnées du point h.

L’équation (<i) est celle d’une ellipse rapportée à son centre et à ses demi-axes principaux \Zl\,\/ll. L équation (5) est l’équation polaire de celle même ellipse, qu'on désigne, en général, sous le nom d'indicatrice. On observera que chacun des demi-diamètres de l’indicatrice détermine, par sa direction, une section normale; par le carre de sa longueur, le rayon de courbure qui correspond au point O de cette même section.

Lorsque les courbures des sections S,, S, sont de sens contraire Vindicatrice se compose de deux hyperboles conjuguées, ayant chacune pour axe réel l'axe imaginaire de l’autre. L’indicatrice de- \ icnl un cercle dans le cas où les courbures des sections S,, Sy sont égales cl de même sens : elle devient une droite dans le cas où ’ l’une de ces deux courbures se réduit à zéro.

On voit aisément comment les déductions du n" 1 70 sont toutes impliquées par les équations (3), (4), (S). Bornons-nous à résumer

Iis points principaux qni résultent ilircclcmcnt de lu discussion de l'équation (4), et qui sont rendus plus manifestes encore, soit par l'inspection de l’équation (5), soit par la considération de l'indicatrice.

I” Les sections rectangulaires OX, OY se distinguent des autres sections normales en ce que leur courbure est un maximum pour l'une, un minimum pour l'autre. Hiles sont dites

SECTIONS DE PLUS GRANDE ET DE PLUS PETITE COl'nBUüE , OU bien

encore, sections principales;

2° Si l'on groupe deux par deux les sections normales qui font un même angle avec une même section principale, la courbure est la même pour les deux sections d’un meme groupe. Hile diffère, en général, d’un groupe à un autre;

ô° Lorsqu’en un point d’une surface les sections principales ont même courbure, cette courbure est commune à toutes les sections normales passant parle même point ;

On appelle ombilic le point singulier oit toutes les sections normales ont ainsi même courbure;

4° Lorsque deux surfaces ont un point commun, et qu’en ce point leurs sections principales ont entre elles un contact du second ordre, ce même contact subsiste entre toutes les sections normales correspondantes. On jiÿul dire alors qu’il g a , entre ces deux surfaces, osculation complète;

5“ Soient p, a les rayons de courbure de deux sections normales rectangulaires , choisies comme on voudra. Les angles que ces sections font avec une même section principale étant complémentaires l’un de l’autre, il en résulte que la somme inverse des rayons p, p’ est constante. On a ainsi

172. On observera que la section faite dans une surface, par un pian parallèle au plan tangent, tend h devenir semblable îk l’indiealriee et semblablement placée, a mesure que l’intervalle enm-

pris entre ces doux plans diminue. Vcul-on le démontrer? On peut substituer aux sections principales leurs paraboles osculatriccs et, pour plus de simplicité , disposer ces paraboles de manière à ce que le contact ait lieu en leur sommet. Le paralmloïde oscillateur ainsi déterminé aura , pour équation ,

(R, H' étant le rayon de courbure des sections principales) et l'indicatrice ne sera autre chose que la projection de la section laite dans ce paraboloïde par le plan z = ^ . Mais, d'un autre coté, les sections faites dans le paraboloïde par des plans parallèles à celui de l’indicatrice sont toutes semblables entre elles et semblablement placées. Il est, d'ailleurs, évident que, il raison de l'osculation établie entre ce paraboloïde cl la surface donnée, 1rs sections faites de part et d'autre par un même plan parallèle nu plan tangent commun, tendent à s’identifier à mesure que le plan sécant sc rapproche indéfiniment du point d'osculation. De là se déduit immédiatement le principe énoncé ci-dessus. Il en résulte, pour le cas général des surfaces du second degré, les conséquences suivantes :

/,« similitude qui subsiste entre toutes les sections parallèles à un même plan tangent s'étend d' elle-même jusqu'à l'indicatrice correspondante.

Dans l'ellipsoïde, l'Iii/perboloïde à deux napjtes et le paraboloïde elliptique, les diamètres conjugués avec les sections circulaires déterminent par leurs extrémités les points ombilicaux.

173. Reprenons les données du n“ 160, page 420, cl proposonsnous de parvenir, suivant une autre marche, à la solution des numéros 170 et 171.

Soit u un point assujetti à décrire la section mobile S, et sortant du lieu O à l’instant que l’on considère.

La vitesse qui anime le point n parallèlement à Taxe OX étant représentée par.r; celle qui anime le point m parallèlement a

l’axe OY étant représentée en même temps par »/, les vitesses x, ÿ sont les composantes île In vitesse totale qui anime le point n nu sortir du lieu O. Désignons, par V, eette vitesse totale et, par S, la section normale qu’elle détermine eomrne trajectoire du point fi sur la surface A.

Soient W, W, , W, les vitesses angulaires qui animent les directrices des points /u et m , et qui correspondent respectivement . la première à la vitesse V du point p sur In ligne S, la seconde ù la \ itesse x de ce même point sur 1a ligne Sf , la dernière à In t itesse y du point m sur la ligne S,. Si l'on désigne généralement, par z, la distance du points au plan tangent XOY', il est visible que la valeur affectée, au sortir du lieu O, par la quantité z = tPz peut s'exprimer indifféremment par le produit V.W, ou par la somme rW, + jW,. La première expression s’applique au cas où l’on considère directement le mouvement du point n sur In ligne S; la seconde, à celui où l’on substitue à ce mouvement les deux mouvements simultanés dont il se compose, savoir: 1“ le mouvement du point n sur la ligne mobile S,; 2° le mouvement du point »« sur la ligne *. De là résulte immédiatement ( équation générale

* Os valeurs de la quantité z —iPz se déduisent de la formule (o) du ir Dît), page -iO.'i, en posant a — o. On peut y |iarrenir directement et d’une façon plus simple en opérant comme il suit, d'après la marche tracée au n° 100.

Soit ju un point mobile assujetti à décrire une courbe plane S et sortant du lieu m suivant la direction ml. La ligne S est rapportée, par hypothèse, à deux axes coordonnés rectangulaires OX, OZ et la vitesse x qui anime le point ju parallèlement à l’axe OX est supposée constante. Représentons par mm' la vitesse x et achevons le triangle rectangle mm‘1. Ou a d'abord

z — riz = m’t.

Soit In la vitesse de circulation imprimée au |>oint t par la rotation W* de lu directrice du point n autour du lieu m. Menons par le point u la droite nu’ parallèle à Mi/ct limitons relie droite en »’ à sa rencontre avec le prolnngc-

Fiy. 6Gkt'.

( te* )

Désignons par R , R' et p les rayons de courbure qui correspondent respectivement pour le point O, le premier à la section S,, le second à la section S,, le troisième h la section S. On a

Ces valeurs substituées dans l’équation (I) donnent

On retrouve ainsi l’équation (4) du n" 171, page 424, et avec elle, toutes les déductions formulées à sa suite *.

174. Au lieu de. procéder, comme nous l’avons fait à partir du n" 1(>7, par déductions successives, on peut s’en tenir à la

ment de la droite m'I. Délit résulte, ainsi qu’on l’a va au n" 100 , cl comme il est , d’ailleurs, aisé de le reconnaître immédiatement,

. z — rPz — In'.

Désignons, par a, l'angle Imm' et son égal nln'. On a, d'après la ligure,

, In W’r.ml \V„ mm'

cos a cos * cos* * cas* x

De là résulte, en général , pour le cas oit l’angle x se réduit à zéro , z — d*z = x ,W„

* Soit a l’angle que la direction de la vitesse V fait avec l’axe OX. Cet angle est , en même temps, celui que font entre elles les deux sections normales S et S, . On a, d’ailleurs,

i = Vcos«, ;/ — V.sinjt.

L’équation (3) devient , en conséquence ,

I cos* a sin’ x

Cette dernière équation n’est antre chose que l’équation (3) du n" 171,

marche suivante, plus generale, plus directe, et non moins facile.

Soient mie surface A; O un point dcccttc surface; P le pion tangent en O; Sy une section quelconque normale en O à In surface A; OY In trace sur le plan P delà section normale Sy.

Sdicnt encore O' et P' un point et un plan mobiles, respective* p.' t . ment assujettis, le point O' à rester sur In sur-

face A, le plan P' à toucher cette surface en O'. Imaginons, d’nlwrd, que le point O' sorte du k~~ ^ p J X lieu O suivant la section Sy. L’état de raouvej / ment qui anime le plan P', au sortir du lieu P,

— c-^ c L consiste en une rotation autour d’une certaine • • • »

droite OX passant par le pointOct située dans

le plan P. Soit S, la section normale dirigée suivant OX et Ty une droite assujettie, d’une part, à toucher en O' la surface A, d’autre part, à rester parallèle au plan de la section S,. Il est visible que la tangente Ty sort du lieu OX pur translation simple, c’est-àdire, sans vitesse angulaire actuelle. Pour le reconnaître, il suflit d’observer que dans la rotation établie autour de la caractéristique OX, les droites menées dans le plan P', parallèlement à cette caractéristique, ne changent pas de direction. De là résulte In déduction suivante:

tr — -t x

Etant donné un point u. assujetti à rester sur la surface A et sortant du lieu O « l'instant gue l'on considère, tout commence, par rapport à ce point et à sa directrice , comme si la surface A s’engendrait par le déplacement de la section S,, cette section conservant sa forme et se mouvant, par translation , avec la vitesse du point O' sur la section S,.

Partant de là, désignons par T, une droite assujettie à rester parallèle au plan de la section normale S, et à toucher la surface A en un point qui sorte du lieu O suivant la direction OX. On voit, d’après l’énoncé précédent, que la droite T, sort du lieu OY, par translation simple, c’cst-à-dirc, sans vitesse angulaire actuelle. Celle propriété doit avoir lieu nécessairement, si la droite OY

est lii caractéristique du plan P', pour un déplaccinculdu puinl O effectué à partir du lieu 0 suivant la direction OX. Elle est impossible, au contraire, si la droite OY n’est pas cette caractéristique. Concluons qu’il y a réciprocité entre les deux droites OX, OY, la première ne pouvant être la caractéristique qui correspond au glissement du point O' sur la section S,, sans que la seconde ne soit, en même temps, la caractéristique qui correspond au glissement de ec point sur la section S, *.

Supposons que le point n soit assujetti à décrire la section mobile S,» Il suffit de conserver les notations du numéro qui précède et de reproduire littéralement les mêmes déductions pour écrire en premier lieu,

(1) v . \V = * . W, jW, ,

et, en second lieu,

Soit OL la direction de la vitesse V, ou, ce qui revient au même, celle de la section normale décrite par le point a. Si I on prend sur OL la longueur U m égale à V «, et qu’on profite de l'indétermination de la vitesse Y pour la représenter par O ni, l’équation (2) devient

les quantités i, ;/ n'étant autre chose que les coordonnées du point m.

’ Il est visible iiue les droites T, , T, forment cuire elles au système Je lanyenlcK ririjtroquex. La propriété dont elles jouissent n ce litre n'a pas besoin d'être invoquée ici. comme conséquence du Ibéorème général démon Ire précédemment. Elle s’établit , d’elle-mème, dans des conditions lieauroup plus simples.

" La seule dilTéreacc consiste en ce que le point désigné par »< au ir 17a. l'est ici par O’.

L équation (5) est celle d'une ellipse rapportée à son centre et à scs dcini-axcs conjugues v R, y ii'. Chacun des demi-diametres de cette ellipse détermine par sa direction une section normale, par le carré de sa longueur le rayon de courbure qui correspond au |ioint O de cette même section. L’ellipse, dont il s’agit, a reçu le nom d' indicatrice. On a oit aisément pourquoi. Elle est remplacée par deux hyperboles, ayant chacune pour axe réel l'axe imaginaire de l’autre, lorsque les rayons de courbure R, R' lie sont pas diriges dans le même sens. Dans tous les cas , il suflit de considérer V indicatrice pour arriver directement à toutes les déductions formulées dans les numéros qui précèdent. On observera que la réciprocité établie entre les directions OX, OY conduit à un théorème qu’on peut énoncer connue il suit:

Les droites, dont l une fixe la direction du déplacement (pie t on considère, l'autre la caractéristique correspondante du plan tangent, forment entre elles et, par rapport à l'indicatrice , un système de diamètres conjugués.

Ce théorème a été donné pour 1a première fois par M. Dupin. Les droites qui se déterminent ainsi, l’une par l’autre, ont reçu le nom de tangentes conjuguées. Il ne faut point les confondre avec nos tangentes réciproques.

Désignons pur x, ê les angles que la droite OL fait avec les axes OX, OY et pur / l’angle de ces mêmes axes. On a

,, sin 6

x = V — — , sm i

sin x sin i

Ces valeurs substituées dans l’équation (2) donnent, en gé itérai ,

sin1/ sin1 6 sin* x

ce qui détermine le rayon p en fonction des rayons R, R’ et de l'un ou l’autre des angles x, 5, dont la somme, égale à > , est donnée en même temps que les sections normales S,, Sr

Veut-on parvenir iiux équations (2), (5), (4) sans passer par l’équation (1), c’est-à-dire sans emprunter le secours du théorème établi dans le numéro 150 ou HiO et reproduit plus simplement dans la note du n"'I7ô? Voici comment on peut procéder.

Les directions OX, OY restant déterminées comme ci-dessus, elles satisfont à la condition de réciprocité démontrée dans le présent numéro. Partant de là, considérons le point (/ comme assujetti à décrire une section normale cl prcnons-lc à l’instant précis où il sort du lieu O suivant la direction Oui de cette section.

Soit V la vitesse actuelle du point p et W la vitesse angulaire simultanée de sa directrice. Représentons par Oui la vitesse V, cl par On, «m ses deux composantes x, y. Élevons en O deux perpendiculaires, l une Or sur OX , l'autre Oe sur OY (voir la lig ti7, page 42!»). .

Concevons que le point n entraîne avec lui deux droites respectivement assujetties à toucher en n la surface A et à rester parallèles, l’une au plan normal OX, l’autre au plan normal OY. I.es rotations de ces droites sont YV, pour l’une, \\'t pour l'autre. Représentons la première par Oc, la seconde par Oe cl achevons le quadrilatère O eue dont les côtés en, en sont respectivement parallèles aux droites OX, OY'. On scit, conformément au théorème du n" 40 de la première partie, page 85, que la diagonale Ouest la caractéristique du plan qui touche en /u. la surface A, cl que la rotation de ce plan autour de celle droite est représentée en sens et grandeur par le segment Ou.

Soient c', e' les points où les côtés eu, eu viennent couper les axes OY, OX. Substituons à la rotation Ou ses deux composantes Oc’, Oc', et, des points c', e', abaissons sur Om les perpendiculaires cp, e'q. Si l’on décompose, à leur tour, chacune des rotations Oc', Oe' en deux autres établies respectivement, l'une autour de Om, l’autre autour de la perpendiculaire élevée en O sur Om, il est aisé de voir que la rotation de la directrice du point n est la somme des dernières composantes et qu’il vient, en conséquence,

Un a , d'ailleurs, d'apres les nolaliuns précédentes et ainsi qu'un le voit aiséuicnt sur la ligure,

Oc = \\\ — Oc. sin > = ~~

sin G

sin / ,

Oe = W, = Oc' sin >

eV

, sin >.

sut X

De là résulte

sin G

sin x

V — ~r— W, , e’tf — W, ,

sm /