SU

et, par suite,

(5). . . . W . sin > = VV, . sin G -r- W, . sin a.

L'identité qui subsiste entre les équations (I) et (3) s'établit, sans difficulté, parla considération du triangle Oowi dont les côtés Ont, Oh, am représentent en grandeur les vitesses V, jr, ÿ et fournissent, en conséquence, les égalités

s sin G ;i sin v.

V sin ï V sin >

Un a , en outre,

Ces valeurs, substituées dans l'équation (3), donnent,

On est ainsi ramené à l’équation (2) et le reste s’achève comme ci-dessus.

Pour compléter celte solution, il ne reste plus qu’à déterminer la vitesse angulaire avec laquelle le plan tangent tourne autour de

la directrice dii point y. Cette vitesse angulaire est évidemment représentée par la somme algébrique

11 est visible, d’ailleurs, que, pour passer des valeurs trouvées plus haut pour les segments e'q , c'p à celles des segments 0<y, 0 p, il suflit de substituer aux sinus des angles x, 6 les cosinus de ecs memes angles. On a donc

cos a cos <>

Oq — 0]> = \\,. -t-t — W,-

sm 1

sm >.

De là résulte, après substitution et toute réduction faite,

Oq — Op =

2 sin* 1

sin2«

sin 2*»']

17a. Appuyons-nous directement sur le théorème des tangentes réciproques, sans autre intermédiaire, et faisons voir, par un dernier exemple , comment .l’applicatioif de ce théorème à la question qui nous occupe fournil une solution géométrique, sinon tout à fait aussi simple, du moins aussi complète que les précédentes.

Soient OX , OY deux droites rectangulaires menées pa r le point O (angcntiellcmcnt à la surface A; O' et P' un point et un plan mobiles assujettis respectivement, le point O’ à sortir du lieu O en restant sur la surface A, le plan P' à toucher cette surface en O'.

Quelle que soit la direction suivie par le point 0', au sortir du lieu O , nous admettrons que sa vitesse est égale à l'unité. Si l’on désigne alors, par W, la vitesse angulaire de la directrice du point O' et, par R, le rayon de courbure de la ligne décrite, on a , généralement,

La vitesse VV, ainsi déterminée, est le module de la courbure cor-

rcspoudautc. Pour éviter toute confusion, nous l’écrivons en la surchargeant d’un trait horizontal. Il en sera de même de toutes les vitesses angulaires que nous aurons à considérer dans le module qui les détermine. La présence du trait placé sur leur signe représentatif indiquera suflisommenl l'hypothèse admise en ce qui les concerne.

Soient S,, Sr, S, les sections normales respectivement dirigées suivant les droites OX, OY, OL; Wr, \V„ W, les modules de la courbure que présente en O chacune de ces trois sections.

Supposons que le point O' sorte du lieu ü suivant la section S, et nommons

T une droite assujettie à toucher en O' la surfaec A et à rester parallèle au plan de la section S,;

« la vitesse angulaire qui anime la droite T au sortir du lieu OL *.

Le point de contact du plan P’ avec la surface A se déplaçant, j)ar hypothèse, suivant la section S,, nous connaissons les rotations simultanées de deux droites situées dans ce plan et se mouvant avec lui. L’une de ces droites est la directrice du point O', l’autre la droite T. La rotation de la première a son axe dirigé suivant OY cl W , pour grandeur. Représentons- la par O b. La rotation de la seconde a son axe dirigé suivant OX et à pour grandeur. Hcpréscntons-lu par 0«.

Soit n le point de rencontre des deux droites bn, an , respectivement parallèles, l’une à OX, l’autre à OL. La rotation de la normale au plan P' est représentée en direction, sens et grandeur, par la diagonale On du quadrilatère O anh. (1" partie, n° 40, page 85).

Projetons le point n en <j sur la droite Oa. Le segment O q représente en direction, sens et grandeur la rotation de la normale autour de la droite OX. De là résulte, en désignant celte rotation par

Fig. 6H.

* Ce que nous désignons ici par », ce n’esl [>as lu vitesse avec laquelle lu droite T s'écarte angulaircmenl de la position dont elle sort, c’est la vitesse angulaire <|ui correspond à la rotation établie autour de la droite OX.

Nt, cl l’angle XOL para,

(1) N, = Oa — aq = û — W, .col a.

Substituons la section S, à la section S,, et réciproquement. La formule (I) ne cesse pas d’être applicable. Il faut seulement remplacer l'indice x par l’indice l et changer les signes des deux quantités à et a *. De là résulte immédiatement

(2) N| = W, COt a — â. •

y, étant la vitesse angulaire avec laquelle lu normale au plan P' tourne autour de la droite OL lorsque le point O' sort du lieu O suivant la section S,.

Veut-on considérer, en particulier, le cas où il s’agit de deux sections rectangulaires S„ S,? La comparaison des équations (I) et (2), où l’on doit poser x = 90° donne

Le théorème exprimé par l’équation (3) a été expose par M. Bcrtrand. On peut l’énoncer comme il suit:

Lorsque deux droites assujetties à rester normales à une même surface sortent en même teints d'une position commune, suivant deux directions rectangulaires et avec une égale vitesse des points où elles s'appuyent sur cette surface, leurs rotations, autour des directions qu elles suivent respectivement en ces points, sont égales et de sens contraire.

On observera que ce théorème est impliqué, comme cas particulier, par celui que nous avons exposé de diverses manières et notamment au n" 161, page 408, sous le nom de théorème des tangentes réciproques.

* Los changements de signe des quantités ü et a ont leur raison d'ètre, le premier dans le théorème des tangentes réciproques, le second dans l’iuversion qui résulte, pur rapport à l'angle je, de lu substitution Tuile mutuellement et réciproquement entre les deux directions OX, OL.

Mit. Poursuivons. La rotation N, changeant de signe dans l’intervalle des deux sections rectangulaires S,, S,, il s’ensuit que ces deux sections comprennent, en général, une section intermédiaire pour laquelle la rotation N, doit s’annuler. Cette conséquence peut ainsi s'établir sans calcul. On peut aussi la déduire des équations

Tirons de l’équation (1) la valeur de a et transportons eelte i aleur dans l’équation (2). Il vient

(4) N, = (W, - W,) col « — N,.

On a de même, en substituant la section S, a la section S, et tenant compte de l’équation (ô),

(•')• • • • • N, = OV,-W,) Ig a -t- N,. *

La combinaison des équations (4) et (!i) permet d'éliminer NV, et d écrire, en conséquence,

(«). . . I\, = cos2a. |^\ - — ~lg2«J-

L’équation (ti) conduit aux déductions suivantes :

1“ En général, N, n'étant pas mil cl \V, n’étant pas égal à \\\, il existe entre les sections Sx, S, vue section normale intermédiaire pour laquelle on a

L'angle », compris entre cette section et la section est déterminé par l'équation de condition

tg 2» =

w, — Wv

Pour |>asser de l'équation (t) à l'équation (5) it faut remplacer l’indice x par l'indice y , et l’angle a. par son complément chaupc de signe.

N, n étant pas nul et W, étant égal à XV, la section pour laquelle on a

est la section dirigée suivant la bissectrice de l'angle XOY. ô" N, étant nul, l'équation (6) devient

(8) N<a*3~W‘sin2ir,

Jm

et, dès lors, selon que les modules W„ W, sont les mêmes ou différents, X, est nul pour toutes les sections intermédiaires ou ne l’est pour aucune.

La section S, pouvant être quelconque, supposons-Ia choisie d'après la condition

Dans cette hypothèse, si l'on égale les valeurs fournies pour N, par les équations (4) et (5) , on a

(») W, = W, cos’a -+- XV t sin* *.

Soient R, R' et p les rayons de courbure qui correspondent, pour le point O, aux sections respectives S,, S, et S,; on a, conformément à la définition des modules W% W*, W,,

Il vient donc, en substituant,

1 cos1 * sin’ a

j = ir- + ir

L’équation (10) n’est outre chose que l’équation (5) du n* 171. Elle implique, comme conséquences, toutes les déductions formulées dans ce numéro.

Soit f Je rayon de courbure de In section normnle dirigée à angle droit sur la section S,. Il vient, en vertu de l'équation (10),

Multipliées membre à membre, les équations (10) et (11) donnent, après réduction,

On a d’ailleurs, d’après l'équation (8),

De là résulte, eu égard à l'équation (12),

RR7

Celte relation curieuse nous servira plus loin.

On observera que les sections principales sont caractérisées par la condition qu’elles remplissent, à l’exclusion des autres sections normales, cette condition consistant en ce que la rotation représentée par N est égale à zéro. De là résulte la déduction suivante :

Lorsqu’une droite se déplace en restant normale à une surface, selon qu’elle suit ou quelle ne suit pas lu direction d’une section principale, les vitesses de ses différents points sont ou non dirigées dans un seul et même plan.

Cette déduction n’exige aucun calcul pour s’établir à priori. Elle résulte évidemment des considérations géométriques développées

‘ Celle formule a été donnée pour la première fois, pensons-nous, par M. Bertrand.

dans 1rs numéros qui précèdent et notamment dans le n“ lf*8, page 419. Nous y reviendrons plus loin.

177. Reprenons les données et les notations du n* 175, page 427, avec cette seule différence que les sections rectangulaires Sx, Sy soient quelconques, et qu'en eonséqucnec, la tangente Ty tourne au sortir du lieu OX. Désignons, d'ailleurs, par a — êÿ la vitesse angulaire qui correspond à cette rotation.

Ru égard à l’équution (5) du n° 159, page 405, l'équation (I) du n“ 175, page 427, est remplacée par l’équation suivante :

( I ). V.W. = x .W, 2.rv •+• ÿW, = iW, -+- 'i.rijû y .\V,.

De là résulte, en opérnnt comme au n° 175 (voir la note, page 427)

I cos* a , sin* a

(2). . . . - = v- 2ü sut a cos * h

Considérons la section normale dirigée à angle droit sur celle dont le rayon de courbure est représenté par p. Si nous représentons, par p', le rayon de courbure de cette section, et que nous remplacions l’angle a par l’angle - + *, il vient

1 sin* a eos* a

(5). . . . — == 2ü sin a eos « h

La combinaison des équations (2) et (5) donne

L’équation (4) exprime que la somme inverse des rayons de # courbure de deux sections normales rectangulaires est constante. Il s’ensuit qu’il existe deux de ces sections ayant même courbure. Cela posé, faisons l’angle a égal à -. Il vient en ce cas

La combinaison des équations (5) et (ti) donne, en général,

Supposons les sections rectangulaires qui correspondent aux rayons o, a choisies de 0100101% à ce que ces deux rayons soient égaux. Il cil résulte

et l’équation (I) devient, en conséquence,

1 eos* a. sin* *

p = lt TT

L’équation (8) résout, ainsi qu'on l’a déjà vu, la question projiosée. Elle suffît à toutes les déductions que nous avons développées précédemment. Les équations (5), (6), (7) fournissent, en outre, plusieurs résultats curieux susceptibles de s’exprimer, comme il suit, d’après les notations du n° 175, pages 434 et suivantes : .

La moyenne des courbures, étant la même pour l’ensemble de toutes les sections normales que pour deux sections quelconques rectangulaires, constitue ce qu'on nomme la courbure moyenne de la surface au point considéré. Soit VV le module de cette courbure moyenne et VV', W" ceux des courbures de deux sections rectangulaires inclinées chacune à 45° sur les sections normales S,, Sy. On a , généralement,

(0). . . 5 = W' — VV « w — w — —

Il est visible, d’ailleurs, qu’on peut substituer l’axe des x à l’axe des y et réciproquement. La seule modification qui résulte de cette substitution est un changement de signe du module â.

Courbure des sections obliques.

178. Soient A une surface; m un point mobile sur cette surface; N la normale en ce point; O le lieu du point m à l'instant que l'on considère; OZ le lieu de la normale N à ce même instant.

• Soient, en même temps,

S( une section oblique faite par le point O dans la surface A ;

T la tangente en O à la section S, ;

‘S la section normale dirigée suivante la droite T ;

<f l'angle que la section oblique S, fait avec la section normale S.

Prenons pour plan de la figure le plan P mené par le point O perpendiculairement à la droite T.

Lorsque le point m sort du lieu Osuivant la direction de la tangente T, la normale N sort du lieu OZ, et son mouvement angulaire se compose, en general, de deux rotations simultanées ayant respectivement pour axes r l'une la droite T, l'autre la droite Oa menée, dans le plan P, perpendiculairement à la droite OZ. Désignons par W la vitesse angulaire qui anime la normale N Fig. (<9. dans sa rotation autour de l’axe Oa, et observons que s c’est uniquement de cette rotation que dépend la

» ^ j. courbure en O de la section S.

Le déplacement considéré étant pris à son origine c|/__æ et continué comme il commence, il est visible que la projection de la normale N sur le plan de la section S, r se confond avec la normale à cette même section. Soit N, celte dernière normale. Elle est située d'abord en OL, à l’intersection du plan P avec le plan de la ligne S,. On voit, •d’ailleurs, aisément que son mouvement angulaire au sortir du lieu OL dépend exclusivement de la rotation de la normale N autour de l’axe On.

Soit n un point pris sur la normale N il la distance 1 du point O et »i, la projection de ce point sur le plan de la section S,. I.n vitesse communiquée au point « par la rotation W est représentée en grandeur par W, en direction par une perpendiculaire au plan

P. Celle perpendiculaire étant parallèle à la droite T et, par conséquent, au plan de la section S,, il s’ensuit que la projection du point n sur le plan de la section S, a même vitesse que le point N. Concluons que la vitesse imprimée au point n, par la rotation de la normale autour du point m, est représentée en grandeur par W, cette vitesse étant prise à l’instant précis où le point m sort du lieu O suivant la direction de la droite T.

Désignons par W, la rotation qui anime la normale N, autour du point m et qui communique au point n, la vitesse W mentionnée ci-dessus. L’angle ZOL n’étant autre que l’angle *, In distance On, est égale à cos y, et l’on a, en conséquence,

W, . cos f = W.

De ht résulte, en désignant par p et par p, les rayons de courbure qui correspondent nu point O dans chacune des sections S et S, ,

(1) Pt = P • COS f.

Il est clair, en effet, que pour une même vitesse totale V du point »j, nu sortir du lieu O, le rapport existant entre les rayons de courbure p, pt est l’inverse du rapport établi entre les vitesses angulaires simultanées W, VV,.

Le théorème exprimé par l’équation (1) est dû h Meunier. On peut l'énoncer comme il suit :

Le rayon de courbure d'une section oblique est la projection sur le pion de cette section du rayon de courbure de la section normale menée par la même tangente.

179. Autrement. Soit Q le plan tangent en Ht à la surface Lorsque le point »t sort du lieu O, le pion Q tourne autour de la caractéristique qui correspond à la direction suivie par le point ni. Soit D cette caractéristique. Elle est située dans le plan tangent en O et, en général, elle est oblique sur la tangente T. L’état de mouvement du plan Q consistant en une rotation simple autour de la droite D, on peut toujours décomposer cette rotation en deux

antres respectivement établies, l’unr autour do la tangente T, l’nutrc autour d’une perpendiculaire à celte tangente. U* rotnlion établie autour tle la tangente T est sans effet par rapport à celle droite. Il est donc permis d’en faire abstraction et de considérer exclusivement l'autre composante. Cela posé, si l’on remarque que le plan tangent en m contient toutes les tangentes menées par ce point il la surface A , il est visible que la question h résoudre se ramène aux termes suivants :

Soient O / la direction suivie par le point ni nu sortir du lieu O;

Fig. 70. On l'axe «le rotation situé dans le plan tangent / a en O et dirigé à angle droit sur O I.

y- — / tb, ib, deux droites menées par le point t perpen-

/ )t. diculaircment à Ot , et situées respectivement, l'une

&' dans le plan de la section normale S, l’autre dans le plan de In section oblique S,.

l’n plan Q tournant autour de In droite Ou avec la vitesse \V et sortant du lieu «0/ à l'instant (pie l'on considère, on demande de déterminer les vitesses angulaires qui animent, au sortir du lieu Ot les intersections du plan Q avec les plans fixes Olb, O lbt.

L’intersection du plan Q avec le plan 6/6, étant et restant parallèle à l’axe Ou , il s’ensuit que les points où les intersections du plan Q avec les plans fixes O tb, 0/6, rencontrent les droites tl> , il i, sortent du lieu t avec des vitesses respect i veinent proportionnelles aux cotés tb, tb, du triangle b,tb dont la base 66, est, en même temps, parallèle à l’axe On et perpendiculaire à la droite bt. Mais, d’un autre coté, il existe entre ces vitesses le meme rapport qu’entre les vitesses angulaires qu’il s’agit de déterminer. On a donc, avec les notations du n° 177, page 440,

AV tb

= eos s.

W, tb,

De 16 résulte, ainsi qu’on l’a vu tout à l'heure a, = p eos j.

Autrement et plus simplement. La rotation \V, établie autour de

lu droite Oa, communique une vitesse angulaire VV à l'intersection du plan Q avec le plan de lu section normale S. Soit Oc la normale élevée en O sur le plan de la section S, (voir la ligure 09 page 4-42). Le pian Q tournant autour de la droite Oa avec la vitesse W, on peut substituer à celle rotation les deux rotations composantes dont les axes sont dirigés respectivement l’un suivant OZ, l'autre suivant Oc. La rotation composante établie autour de l’axe OZ fait tourner le plan Q sur lui-même; elle est donc sans effet sur l'intersection de ce plan avec celui de la section S,.

Reste la rotation composante établie autour de l’axe Oc et repré- W

scnléc en grandeur par . La vitesse angulaire que cette rotation communique à l’intersection du plan Q avec le plan de la section S, est évidemment ^7 . De là résulte, en conséquence,

et, par suite,

cos y o, = /J . COS y.

Théorème de f/ucheUe.

180. Désignons sous le nom de centre inverse de courbure le point du rayon de courbure dont la distance à la courbe est cx- . primée par la valeur inverse de ce même rayon. Eu égard à ecltc définition, il est visible que le théorème de Meunier, démontré n° 178, page 443, comporte l’énoncé suivant :

Les centres inverses de courbure de toutes les sections faites suivant une même lani/ente sont sur une même droite perpendiculaire à lu section normale correspondante.

Considérons deux surfaces A, A’ et leur intersection £. Par un point quelconque m de la ligne s menons un plan tangent à chacune des deux surfaces A, A’. Le plan langent à la surface A coupe eu général la surface A’ suivant une courbe S' De même aussi le

plan tangent à la surface A' coupe lu surface A suivant une certaine courbe S.

Soient o, o’ les centres inverses de courbure qui correspondent Fig. 71. au P°>nt 111 dans les courbes S, S'. Sur las droites mo, iiio' prises pour eût (fs, construisons le |tarallélogrnmmc mon/.

Cela posé, voici en quoi consiste le théorème qui est dù à Hachette et que nous nous proposons de démontrer :

Le point c eut le centre inverse de courbure de la ligne z.

Par le point m menons lés droites mn, mn respectivement normales, l'une à fa surface A, l'autre à la surface A’. Les droites mn, mo, me, mo’, mn seront toutes dans un même plan, normal en m à chacune des trois courbes Z , S, S'. Il est visible, d’ailleurs, que les angles nwio', n’mo seront droits.

Soit D la tangente en m aux trois courbes Z, S, S'. Soient en même temps n , n’ les centres inverses de courbure des sections normales faites suivant la droite D, l’une dans la surface A , l’autre dans la surface A'. Si l'on tire les droites no, n’o’ et qu'on les prolonge jusqu’à leur rencontre en r, le théorème de Meunier implique les déductions suivantes :

1° Les droites no, i/o’ sont respectivement perpendiculaires, l’une à la normale mn, l’autre à la normale mn' ;

2" Le centre inverse de courbure de la courbe Z se trouve en même temps sur chacune des droites no, n’o'. Il est donc situé en c à l’inlersedion de ces droites.

On sait, d’ailleurs, que les angles nmo', n'tno sont droits. Il y a donc parallélisme, d'une part entre les droites oc, mo', d'autre part entre les droites o'c, mo. De là, cl de ce qui précède, résulte évidemment le théorème énoncé ci-dessus.

Lignes de courbure.

181. Nous avons vu qu’il existe , en général , pour chaque point d’une surface deux directions rectangulaires, satisfaisant à l 'énoncé du n" 1(>8, page 419, ou, ce qui revient au même, à la condition

-du n° I7(i, page 457. Lorsque la normale à la surface se déplace suivant l’une ou l’autre de ces deux directions, les vitesses de ses différents points sont toutes dirigées dans le plan de la section normale correspondante, il s'ensuit que l’un de ces points, celui qui coïncide avec le centre de courbure de cette même section a une vitesse nulle. Les sections déterminées par les directions dont il s'agit sont dites, ainsi qu'on l’a vu déjà, sections principales. Voici d’ailleurs les conséquences.

1“ Les sections principales sont les seules pour lesquelles il existe, sur la normale à In surface, un point dont la vitesse soit nulle à l’origine du déplacement de cette même normale. Elles déterminent sur la surface, par la direction des tangentes qui leur correspondent, deux systèmes de lignes, dites lignes de courbure ;

2" Les lignes de courbure se coupent partout à angle droit. Elles sont les seules, parmi toutes les lignes tracées sur la surface, pour lesquelles le lieu géométrique des normales correspondantes soit une surface développable * ;

5" Dans les surfaces de révolution , les lignes de courbure sont les méridiens et les parallèles.

Tangentes conjuguées.

182. Reportons-nous aux données et notations du n" 17b, page 454, et raisonnons dans l'hypothèse où les sections S., S„ sont deux sections principales.

’ La théorie des surfaces développables est exposée plus loin n* 205 et suivants.

Considérons , dans chacun des systèmes formés par la section S, Fig 72 et l’une ou 'l'autre des sections principales S„ S,, celle des deux tangentes réciproques dont le point j. / de contact est assujetti à glisser sur la section S,.

la» rotation de l’une peut être représentée par OL, pourvu qu’on ait égard à l'équation de condition N, — o et que l'on pose, en conséquence,

■ ' vt

(1) OL = à=\V, cola*

la» rotation de l’autre peut, de même, être représentée par OL’, en prenant

(2) OL' = W, . tg . a.

Ces deux rotations étant ainsi déterminées, celle de la normale en résulte, pour le déplacement qui correspond à fll direction OL. Elle est représentée par Oh, le point n étant donné par l'intersection des droites L/i, L'n, respectivement parallèles, l’une à OX, l’autre à OY. ( 1" partie, n° 40, page 85).

Soit y l’angle que la droite On fait a» ce l’axe OX. On a immédiatement

Oh OL . sin « \VX cos *

Ig y = - — — ; = -zsr •

oh OL cos * \V sin a

De lit résulte (•>)

Ig a . tg y =

Les tangentes OL, O/i, dont l une fixe la direction du déplarc-

’ Celle valeur fournie |>ar l'équation (1) du n° tT.’i, page iôti, s'applique, avec un signe contraire, à celle des tangentes réciproques du système S, , S, dont le point de contact glisse sur la secliou S, . On peut, en vertu du théorème des tangentes réciproques, considérer cette meme valeur comme s'appliquant à celle des tangentes réciproques , du système S, , S( dont le point de contact glisse sur la section Si . Il sultit d'en changer le signe.

( 4 il) )

«tient que l’on considère, et l’autre celle de l’axe instantané qui correspond, dans le plan tangent, à cette direction, sont dites, d’après M. Dupin, tangentes conjuguées. L’cquation (3) exprime, en vertu d’une propriété connue des sections coniques, que, relativement à l'indicatrice, les tangentes OL, On forment entre elles un système de diamètres conjugues. Ce résultat nous était déjft connu. Nous l’avons établi directement au n° 174, page 431.

Théorèmes de MM. Dupin et Lamé sur les surfaces orthogonales.

1 83, Soient A, A', A" trois surfaces qui se coupent, deux à deux et à angle droit, suivant trois lignes ayant un point commun O. Soient OX, OY, OZ, les tangentes en U aux intersections des surfaces A , A', A ", Soient de plus N, N’, N" trois droites assujetties à sortir du lieu qu’elles occupent avec une égale vitesse de translation * et en restant, comme elles le sont en O, respectivement normales, la droite N tt la surface A, la droite N' a la surface A', la droite N" à la surface A".

Considérons la rotation de la droite N autour de la direction quelle suit, au sortir du lieu OX, et, selon que eefle direction est OY ou OZ, désignons par N, ou par N, la rotation dont il s'agit.

Considérons de même 1a rotation de la droite X' autour de la direction qu’elle suit, au sortir du lieu OY, et, selon que cette dircctiou est OZ nu OX, désignons par Y ou par X" la rotation dont il s’agit.

Considérons enfin la rulution de la droite N" autour de la direction qu’elle suit, au sortir du lieu OZ, et, selon que cette direction est OX ou OY, désignons par N" ou par N" la rotation correspondante.

Cela posé, lorsque les normales X”, N" se déplacent en même temps suivant la direction OX, elles ne cessent pas d’être reetan-

* Cette vitesse est, pour chaque droite, celle du |*>iul oit elle s'appuie sur la surrace qui lui correspoud. On la suppose égalé à t unité.

gulaircs. La même observation s'applique aux normales N", N dans leur déplacement suivant OY, et aux normales N, N" dans leur déplacement suivant OZ. De là résulte, conformément au théorème XI de la lrc partie (n° 52, page 05),

(1) . . . . n;=îs;, n;=n,, n, = N;.

D'un autre côté, s'il s'agit des déplaccmeuts d'une même normale suivant les deux directions rectangulaires qui lui correspondent, l’on a, comme déduction du théorème des tangentes réciproques , et conformément au dernier énoncé du n" 175, page 450,

(2) . . iX:=-N,’, N, = -N„ N) = -K.

Le double système des équations (I) et (2) peut s’écrire de la manière suivante:

(5). n‘,=n;=— N;, ns, n;=n;=~n;.

De là résulte immédiatement

cl, comme l'égalité N) = — Ai) n'est possible qu'aillant que la quantité X) est nulle, il s'ensuit que l’on a nécessairement

(5) . N)=o, N" = o, \=o, Nÿ=o, X. — o, S) = u.

•Nous avons vu, au n° 170, page 4ô!>, que les sections principales sont les seules pour lesquelles on ait

Un a donc ce premier théorème :

Lorsque (rois surfaces se coupent orlhogoualement suirant trois lignes ayant un point commun, ces litjnes sont , sur charnue îles trois surfaces , tangentes aux liijnes île courbure menées par le point commun aux trois intersections.

Il vient ensuite, comme conséquence, rel autre théorème, qui est celui de M. Dupin :

Lorsque trois séries de surf lices se coupent orlhogomtlenienl , leurs intersections ne sont outre chose que leurs lignes de courbure respectives.

183 w' Soient S, S, , S, trois courbes issues d'un même point O

... et résultant des intersections, deux à deux, de trois

Fig. /

surfaces SUS, , S,OS„ S,OS. On suppose que ces sur- ‘s ? faces font partie d’un système triple de surfaces

j / orthogonales. 11 s’ensuit, comme on vient de le voir,

o) s, que les courbes S, S,, S, sont, relativement aux

/ surfaces SOS,, S,OSs, SaOS et pour le pointât) , leurs

ligues de courbure respectives, c’est-à-dire les lignes de courbure qui se croisent en ce point et qui sont, en général , au nombre de deux pour chacune de ces surfaces.

Donnons-nous les modules des courbures affectées en O par les sections principales et désignons-les respectivement, par \Y et Z, pour la surface SOS,; par W, et -, pour la surface S, OS,; par W, et pour la surface S, US, les indices étant les mêmes pour chacun «le ces modules que pour celle des courbes S, S,, S' qui touche en O la section principale correspondante.

Menons par le point O une droite quelconque OU, supposée li\e, et nommons

m un point mobile sortant du lieu O à l'instant que I on considère;

D une droite issue du point ni et entraînée par ce point; T, T,, Ta les tangentes en ni, soit aux courbe s S, S,, S„ soit aux sections principales qui touchent ces courbes en O; 'j. , a,, les angles que font avec la droite OU les tangentes

T, T„Tt;

V, V,, V, les diverses valeurs affectées par la vitesse du point ni selon qu’elle est dirigée suivant la première, la seconde ou lu dernière des tangentes T, T,, T,.

Cela posé, imaginons d’abord que le point ni sorte du lieu O eu glissaut sur la surface S, OS, et assujettissons la droite D à rester

norniiilc à cette surfiiec. Si la direction suivie par le point m est celle de la section principale dont la courbure a pour module la quantité », la droite 1) ne cesseras de coïncider avec la droite T,, et l'on a

( I ) . d cos a, = V» . cos a ,

cette équation pouvant s'ccrirc immédiatement, d’après le théorème général formulé comme il suit * :

La différentielle du cosinus de l’angle qu’une droite mobile fait avec une droite fixe est égale au produit de la vitesse angulaire de la droite mobile par le cosinus de l’angle que fait avec la droite fixe la perpendiculaire élevée sur la droite mobile dans le plan de rotation.

Si, toutes choses égales d’ailleurs, la direction suivie par le

' Voici, au liesoin, la démonstration géométrique de ce théorème.

Soient OU une droite fixe; OD une droite mobile autour du point O ; 001) le pjg - plan de rotation de la droite OD; B un (loiul quelconque de

la droite OU; G et I) les pieds des jierpendiculaires abaissées respectivement, l’une du point U sur le plan GOI), l'autre du point G sur la droite OD.

Désignons par «i l'angle variable UOD et par * l'angle actuel des droites OU , GÜ. Ou a évidemment

et, par suite,

cos Jt, =

OD

ÔÜ

1 1 cos = — </(0D).

' OB v '

Mais , d'un autre côté , si l'on désigne pur u la vitesse angulaire qui anime à la fois les deux droites OD, CD dans leur rotation simultanée, autour du point O pour l'une, et du point G pour l'autre, ou a de même

d(0D)= ». CD.

De là résulte, en substituant , .

CD

ri COS Jt, = » . fîzr = B . COS X. C. Q. F. D

point m est celle de la section principale dont la courbure a W, pour module, la droite D ne cesse pas de coïncider avec la droite T, et l'on a de même

(2) dt cos a, — V.\V3 cos a,,

les indices qui affectent la caractéristique il et la vitesse V ayant même sens de part et d’autre.

Imaginons maintenant que le point m sorte du lieu O en glissant sur la courbe S et considérons la droite D comme étant la directrice du point m sur cette courbe. Ainsi déterminée, la droite D se confond avec la droite T et l’on a, comme ci-dessus,

d cos a = — Vu cos *

les quantités Û et 6 se rapportant au point O de la courbe S et exprimant pour ce point, l'une le module de la courbure, l’autre l’angle que la normale principale fait avec la droite OH.

On sait, d'après le théorème de Hachette (voir n" 180, page 443) que la module il, porté sur la normale principale de la ligne S, à partir du point O, est la diagonale du parallélogramme qui a pour côtés adjacents à ce point, d'une part, le module â porté sur la droite T,, d'autre part, le module W porté sur 1a droite T,. Il suit de là que si l’on projette en même temps sur la droite OB ces deux côtés et la diagonale, on a l’égalité

Ü co8 ë — t'COS -t- W cos «j.

De là résulte, en substituant,

(3). . . . rfeosa — — V [« cos a, NV cos a,].

* II est aisé de voir que le second membre de cette équation doit être pris, toutes choses égales d’ailleurs, avec un signe contraire il celui dont se trouve affecté le second membre de l'equation (1). Les droites T, Ti entraînées toutes deux par ie point m sont et demeurent rectangulaires. Il s'ensuit que les cosinus des angles qu elles font avec la droite Oit varient en sens inverse , l'un croissant si l’autre décroil et réciproquement.

Reprenons les équations ( I ) et (2). En leur ajoutant celles qui s’en déduisent par simple voie de permutation tournante, on a les six équations

| il V OS '/, = V.VCOS f/| COSOj — V| .Ü, COSat, rf,COS * = Vj .«j COSOtj ,

( deos-z,— VWeos*, d,cosa = V,\V, cosa,, d, cos «,= Y» .\Y,cos a, ,

Le même procédé s'applique à l'équation (15) et fournit les trois équations

V [â cos a, W cos a,],

— V| [ü, cosltj \V, COS a] ,

- Vj [à, cos « -4- \\*i cos «,].

La simultanéité des équations (4) et (5) permet de les combiner entre elles et d’en déduire, par voie de différentiation, les formules dont nous poursuivons la recherche. Les substitutions que nous aurons à faire exigeant la détermination préalable de chacun des couples (d,V, dVj), ( dV, , d,V), (d,V,, d,V,) nous observerons qu’on parvient sans difficulté aux six équations *

d,V = V.V, «, d,V, = V,Vj â„ dV, = V,.Vüi, rfjV= VVjW, dv, =V,VW,, d,V, = VjV.W,.

Différencions, par rapport à la caractéristique dt, la première

( d cos tt = — (•>)• • • d, e osa, = -

\ d. cos «J = -

’ S’agit-il de la différentielle d,V? La vitesse V, dirigée suivant la drnile T peut se rapporter indifféremment à chacune des deux sections principales faites tangrntiellcment à celte droite , l’une dans la surface SOS, , l’autre dans la surface S,OS. Si on la rapporte à la première de ces sections , on a

y étant le rayon de courbure qui correspond au module W.

La différentielle d,V exprime, par hypothèse, la vitesse avec laquelle varie la quantité V lorsque le |>ojiil m sort du lieu O avec la vitesse V dirigée suivant la section faite dans la surface S,OS par un plan parallèle aux droites T, T, et

des équations (4) et , par rapport à la caractéristique il la dernière de ces mêmes équations. L’identité

</, . il cos a, — il . rf, cos *, ,

qui subsiste en vertu de la règle établie au n" ü'.'i de la 2ro' partie ( page J 4S ) , donne

il^\: cos a) =-- rf(V, W, cos a.).

De là résulte, en développant,

V cos 7 . il, I 4- \’2ilt eos 7-i-Z cos 7 . rf,V — V4 eos .u . il\\\