S\i . il eos 7.. 4- \V2 eos x,. t/V

puis, substituant les valeurs fournies par les équations (4) et (<»),

Veos 7. . ilt 2 -h Y V2.»I2 eos «2 4-VV2.ï\Y eos a=V4 eos «j.iIW, < 4- VVjVV.Wi eos 7 4- VVj.ï,\Vi eos ** .

Divisons par le produit V.V* et remplaçons les rapports par les expressions équivalentes ~ •» (les dénominateurs dé-

qtie ee plan se meut avec la vitesse de translation représentée par V,, la posilion liant il sort étant celle d'une section principale. Il suit de là que tout se réduit à considérer le |M>inl m comme s’il sortait du lieu O en glissant sur le rayon de courbure y avec la vitesse ÿ=Vt et que ce rayon tournât avec la vitesse W autour du centre de courbure qui lui correspond. De là résulte, en vertu de l’équation précédente ,

rf1V = W.y = W.V„ et, substituant à \V le produit égal V.W

.rf,V=V.V,\V.

On |H*Ht obtenir de même les autres équations, ou les déduire de celle-ci par voie de |>crmulation tournaille.

terminant la variable à considérer pour la différentiation indiquée au numérateur). Ou trouve ainsi les équations suivantes, dont la première s’obtient directement, et les deux autres par voie de permutation tournante,

[\V4 — Jj] [W eos a -f- x 4 cos *j] , [W — ü,] [W, eos a, I cos a ] , [W, — “i][W,eos a, -4- I,ros3,].

il NV,

— eos a — eos a, =

1 os, ils

(8)- ÆCos«.-

du,

cos a =

ils dj |

-7— eos «J : — 1 eos a. =

ils 1 ils,

La droite OB pouvant être quelconque, disposons-en pour la faire coïncider successivement avec chacune des trois tangentes T , T, , T,. Il suflit pour cela d’annuler alternativement chacun des trois angles a, a,, a, et d'égaler, en même temps, les deux autres iî 90°. On trouve ainsi trois identités et les six équations

ils

ds,

d\\ rfW, rfW, —

-y— — [»,— \N J— = [», W,] U'i, ' J = [ü — NV J -V

ils 5

ds

Au lieu de combiner entre elles les équations (4) on peut les combiner avec les équations (5), sans rien changer d’ailleurs nu procédé suivi. Celte combinaison nouvelle a l’avantage de reproduire les relations précédentes et d’en fournir trois autres. Bornons-nous à un résumé succinct.

Différencions la première des équations (8) par rapport à l’une ou l'autre des caractéristiques </,, ilt. Si nous différencions en même temps la troisième et la cinquième des équations (4) par rapport à la caractéristique il , les identités résultantes

il,d cos a — d.dt eos x , ti,,d cos a — d.dt cos a

donnent

</,V [S eos », -4- W ros a,] = — d(V,VV, cos a,),

t/,V [3 eos x, -4- \V eos «,] = — rf(V,.»j cos a,). »

De là résulte, en développant, faisant les substitutions permises eu vertu des équations (4), (5), (6), et réduisant comme pour les équations (8),

dû dW',1 dVV r

— 1 COSa, -t e08»,= [«i — WfKcOSa,— fw -4 W| -+• K,\V1 cos*„

[dx, dx ds ,

k '/[d W dû,l dû — ~ .

' 1- — — ' eos », -t- — eos», = [W1 — *]Weosa, — [w,-4 W -+- ..W,] cos a;.

I IlSkji (IS “ °

ds ,

On sait qu’il suffit d’annuler successivement chacun des trois angles «, et d'égaler, en même temps, les deux autres à 90°, pour que la droite OB coïncide alternativement avec chacune des trois tangentes T, T,, T,. Cela posé, si l’on fait d’abord » — o, les équations (10) sont satisfaites identiquement. Si l’on pose ensuite », - o, il vient

d~ rfVV,

dx, ds

dû

ds.

[Wt-a']W.

On a de même pour a, — o

d\\ dû,

dx, ds