W -4- SW

dW

dx,

On voit, d’ailleurs, aisément, par voie de permutation tournante, que ces équations impliquent le système complet des équa-

lions (9) cl, on oulrc, les trois relations suivantes dont chacune est deux lois reproduite.

! dl rl\\,

I dx, ' Uh

(II)

'•'li

I •ht

du

d\Vi

ds,

dss

- p| -4- w] 4- :4Vv,],

- [j4 4- W 4- â VV,].

Désignons par y, y,, y» et par c, e,, fjles rayons de courbure qui correspondent respectivement, les premiers aux modules W, W|, W4, les derniers aux modules ï, â,, î-a. Si on les prend avec leurs valeurs absolues, et que l’on tienne compte , d’après les cou voulions adoptées, du sens des rotations, il faut poser

W — , YV,= , W,= — — ,

y ri Tt

Les formules (9) cl (II), lorsqu’on y substitue ces valeurs, prennent la forme suivante, sous laquelle on les doit à M. Lamé ,

ds ' du, r\ y* r y,

Il y n lieu d'observer que ces équations sont nu nombre de neuf, tandis que les rayons de courbure dont elles dépendent sont seulement nu nombre de six. On peut en inférer que trois quelconques de ces neuf équations rentrent dans les six autres *.

Théorème (le Sturm , et autres , sur les déplacements d'une normale à une surfare.

184. Reportons-nous aux données du n" 182 et à la figure 72, page 448.

Lorsque le point O', supposé mobile sur la surface A, sort du lieu O, suivant la direction OL et avec une vitesse égale à l’imité, la rotation de la normale est représentée par On. Cette rotation se décompose en deux autres, l’une établie autour de l’axe OX et représentée en sens et grandeur par On, l’autre établie autour <lc l’axe OY et représentée en sens et grandeur par Ol». On a, d’ailleurs,

(1) . . . . 0« = OL'.eosa, Ofc = OL . sin a ,

et, comme les formules (I) et (2) du n* 182, page 448, donnent OL' = W,.tga, OL =W, . rot a,

il en résulte

— . sin a , — eos a

(2) . 0« — W„ . sin % — , 0 h — Wr eos x — — •

Soient r, c' les points de la normale qui coïncident originairement avec les centres de courbure des sections principales S,, S,. Les vitesses qui animent les points r, c' se composent de la vitesse

■ Nous avons suivi pour rétablissement des formules de M Lamé la marche tracée parM. Ossian Roiinet, dans un mémoire publié en 1 K 48 sur la théorie générale dessin-faces {Journal (le fCrole Poli/terlmique, 32“,f cahier, t. XIX, liages 2i et suivantes). La seule iliirércncc à noter consiste en ce que nous avons procédé géométriquement , -.ans aucune intervention d'inflnimenl petits.

avec laquelle le point O' sort du lieu 0 et de (elles qui résultent des rotations simultanées Oh, Oh. Les composantes de In vitesse du point O' suivant les axes OX, OY sont l'une eos a, l'autre sin au

De là résulte :

4° Pour la \ itesse qui anime le point e parallèlement à O.Y,

(3) ras a — R .Ob = o;

2" Pour la vitesse qui anime ec même point parallèlement à OY,

(4), . sina — R.On=ll — — 1 sin a = — sina;

3° Pour la vitesse qui anime le pointe' parallèlement à OX,

(a). . rasa — R .06= I I ras a-— eos a;

4" Pour la vitesse qui anime ce même point parallèlement à OY,

(6) sina — R'.0« = o.

Les équations (3) et (fi) montrent, eonforniémenl nu théorème de Sturm, que e’esten s'appuyant sur deux droites, parallèles nu plnn tangent et rectangulaires entre elles, que la normale à une surface sort du lieu qu elle occupe. Cette circonstance est remarquable en ce que les droites dont il s’agit restent les mêmes pour tous les déplacements possibles à partir d'un même lieu. On voit, d’ailleurs, comment elles sont situées, chacune d’elles passant par le rentre d’une des sections principales et étant dirigée perpendiculairement au plan de cette section.

La simultanéité des équations (3), (41, (•»', (fi) implique les déductions suivantes :

Lorsqu'une droite assujettie à rester normale à une surface

( i<ïl )

sort du lieu qu’elle occupe , son étui de mouvement résulte , en général, de deux rotations simultanées.

L'une de ces rotations est établie autour du point e. Elle fait tourner lu normale dans le plan de la section S, avec la vitesse angulaire— g— . La vitesse i/u'cllc communique au point e' est dirigée parallèlement d t axe OX et représentée en grandeur par l’expression

«'OS a.

L'autre est établie autour du point c. Elle fait tourner la normale dans le plan de la section Sr avec la vitesse angulaire — j!,1* • Lu vitesse quelle communique au point c est représentée en grandeur par l'expression

R' Sm *’

Fig. 7 /.

On observera que ees déductions s’appliquent au cas où le point O' sort du lieu O avec une vitesse égale à l’unité.

185. Projetons en in sur OX, en n sur OY les extrémités des vitesses qui animent simultanément les points c' et c. Si nous tirons la droite mu et que, du point O, nous abaissions sur celte droite la perpendiculaire O p, il sullil de se reporter au théorème r VH de la première partie (n* 17, page 45) pour

reconnaître que la vitesse du point central est représentée par O p, et que ce point est situé sur la normale de manière à diviser l'intervalle c’e comme le point p divise le segment mn. Désignons par e le point central et par y les angles égaux O np , mOp. On a, d’après ce qui précède,

pn

(I) ce = R— R)i— .

Om R’

cota.

l'équation (2) pouvant s'écrire sous celle autre forme

lg*.lgr = — •

Rapprorliée de l'équation (3) du n° 182, page 448, la dernière équation montre que la droite O p coïncide avec la caractéristique du plan langent (pii correspond au déplacement considéré. Ce résultat est évident à priori. Il est clair, en effet, que l’état de mouvement de la normale est réductible à une translation représentée par O p et à une rotation établie autour d’un axe mené par le point e parallèlement à O p.

Ajoutons II aux deux membres de l'équation (1) et désignons par r la distance du point central e au point O. Il vient

Ou a , d'ailleurs,

mn

pin pin O in . , pu pn On

— = £ sin* y, — = = cos* y.

mn Oui mil mn On mn

Ces valeurs substituées dans l'équation (3) donnent

(4) r = R sin* y R’ cos* y ,

et, par suite,

r cos* y sin* y H7R7 R + R' '

Soit p, le rayon de courbure de la section normale dirigée vaut O p. On a

Pi

cos* y

sin* y

sui-

La comparaison des équations (a) et (fi) fournil la relation générale

ptr — RR’*^= cous"’.

Désignons sous le nom de sections conjuguées deux sériions normales quelconques, dirigées respectivement suivant deux diamètres conjugués de l’indicatrice. L 'équation (7) implique le théorème suivant :

Le produit du ragon de courbure d'une section normale pur I a distance de la surface uu point central de la section conjuguée est constamment égal au produit des ragons de courbure principaux.