Reprenons l’équation (2) du n" 185, page
L’on en déduit
lgy =
U’ eos i
K sin %
s I\ . Slll a , 4 *« wj «.
* C0S y R' sin* a ■+■ R'* eos* a ^ R*sin*a •+- R'*cos*a
Ces valeurs substituées duns l’expression de la quantité r donnent
It
R* sin*« R'* cos-
Soit & le rayon de courbure de la section normale dirigée suivant OL. Du a
1 cos* a sin* a
La combinaison des équations (1) et (1) fou mil la relation
R* sin* « -+• R'* cos* <x
ou , mieux encore,
eos* a sin* a R' ~ + ~R r *
L'équation (0) est l'équation polaire d'une ellipse rapportée à son centre et axant ses axes principaux H, H' respectivement dirigés, le premier suivant la droite OX, le second suivant la /I roi te OY.
Chacun îles rayons vecteurs île celte courbe détermine, pur su position une section normale, par sa longueur la moyenne proportionnelle entre le rayon de courbure de cette section et la distance centrale correspondante *.
Un peut désigner sous le nom de deuxième indicatrice l’ellipse représentée par l'équation (6). La considération de eette courbe n’offre pas les mêmes avantages que celle de lu première indicatrice. Elle permet néanmoins de faire ressortir quelques résultats plus ou moins curieux. Bornons-nous à signaler la propriété suivante que l’inspection de l'équation (6) suflit d’ailleurs pour mettre en évideuce.
Soient p' et r' le rayon de courbure et la distance centrale * qui correspondent à la section normale dirigée à angle droit sur 01.. On a évidemment
; = COliS1',
et, de là résulte l’énoncé suivant :
La somme inverse des produits du ruyon de courbure pur la distance centrale est constante pour deux sections quetconi/ues rectangulaires.
Imaginons qu'on superpose les plans des deux indicatrices, en faisant coïncider les centres respectifs de ces courbes et les directions de leurs axes principaux A une même direction quelconque
Pour abréger, nous désignons sous le nom de distance centrale la distance comprise, pour la section que l'on considère, entre la surface et le point central correspondant.
correspondront deux rayons vecteurs exprimes respectivement l’un par vâ, l’autre par Y^p.r. Le quotient de ces deux rayons détermine In quantité V r , c’est-à-dire la racine carrée de la distance centrale correspondante. Ce résultat peut s’énoncer comme il suit :
Le rapport qui s’établit pour nue même direction entre le rayon vecteur de la deuxième indicatrice et celui île la première est tu racine carrée de la distance centrale correspondante à cette direction.
Multiplions membre à membre l'cquation (6) du présent numéro et l’équation (7) du numéro précèdent, page 462. Il vient
tn\ êi ^ ® • *
(8 = -COS* a -t- — sur a.
Remplaçant le rapport — par sa valeur lq x . Iqy , on trouve, toutes réductions faites,
(b) pt sin . 2v — psin . 2a.
Les équations (8) cl (9) expriment les relations qui s’établissent entre les rayons de courbure de deux sections normales conjuguées.
187. Le point central étant le point de la normale dont 1a vitesse est la moindre en grandeur, on peut, en procédant comme il suit, déterminer directement la position qu’il occupe.
Soit n le centre de courbure de la section normale désignée par S, dans le n° 182, page 448, et dirigée suivant la droite OL.
Lorsque le point O' sort du lieu O suivant la section S,, la nor- Fig 75. male peut être considérée comme animée de deux rota-
0 L lions simultanées, établies respectivement, Tune autour
du point n dans le plan de la section S,, l’autre autour I j du point O dans un plan perpendiculaire à celui de cette ! . /, même section. La vitesse angulaire qui correspond à la
F première de ces rotations est W,; celle qui correspond à
( itiü )
la seconde est N,. Les vitesses qu'elles communiquent h un même point e de la normale sont rectangulaires entre elles et elles ont pour valeurs respectives, l'une le produit ne’.NV,, l'autre le produit Oc’. N,. Si nous représentons la première par ne' , nous pouvons représenter la seconde par e'Ii’, l’angle ne'h’ étant droit et le segment e’/t’ ayant pour longueur
