Reprenons l’équation (C) du n“ 186, page

1 cos‘a sin*a

7^ “"ST Tr-’

et l'équation (1) du n° 187, page 466, r — f.sin* >.

La combinaison de ces deux équations donne

/14 1 sin* A cos* a sin’a

’ ‘ ' o* sin4 / ~ r* = R* ^ II'*

Considérons l’ellipse que nous avons désignée sous le nom de deuxième indicatrice. Elle est déterminée par ses demi-axes principaux R, R'.

Soient m un point de celle ellipse ; O son centre ; mit la normale Fig. 76. eu »» *; On une perpendiculaire élevée en O sur le rayon m vecteur Ont ; Oe la perpendiculaire abaissée du point O / sur la normale mn.

o 4 — t Les droites On , mn étant respectivement perpendieuè laircs, l’une au rayon vecteur O/n, l’autre au diamètre

conjugué avec ce rayon, les angles Onm, mOe sont égaux entre eux et à l’angle A. Il s’ensuit que le rayon de courbure de lu sec-

* La normale dont il s'agit ici u’esl plus la normale à la surface , mais bien la normale à l’ellipse que l'on considère. Le plan de la ligure est celui de cette même ellipse.

lion dirigée suivant Oni est représenté par nui et lu distance centrale correspondante par me. En elfct, l'équation (1) donne

Oni=fl sin X — »

sin >

et, l'on a, d'après la ligure.

^ • me

O ni — mn. sin X =

sin x

Il vient donc évidemment

(2) p = mn , r = me.

On voit ainsi comment il suffit d’une construction très-simple pour obtenir, en même temps, le rayon de courbure et la distance centrale qui correspondent à une même section quelconque déterminée. Sous ce rapport, la deuxième indicatrice ne le cède en rien à la première. Peut-être même doit -clic être considérée comme lui étant préférable.

Veut-on déterminer, en fonction de l'angle a et des rayons de courbure principaux, la distance centrale r? On a

cos* a sin1 a I \ r cos* a sin'

K1 H'* et l’on en déduit

1 r cos* a sin* a i rU * R' ]’

i ± — tg* a

le signe à prendre étant le supérieur ou l’inférieur selon que la première indicatrice est une ellipse ou une hyperbole, autrement dit, selon que les courbures des sections principales sont de mémo sens ou de sens contraire.

18!). Reprenons In formule (8) du n" I7(î, pagc4â8. En y rem-

pinçant hs modules \V, et W, par leurs valeurs respectives R; cl R ’ e^e devient

On peut écrire aussi, comme on l’a vu au n® 187, page 4(50,

N, = W, col i —

eot >.

>. étant l'angle que la section normale que l’on considère fait avec Fiy. 77. S!l conjuguée- Soit, en effet , On la tangente conjuguée t avec la direction OL. La rotation établie autour de cette tangente se décompose en deux autres, l’une Oaétablie autour d'un axe perpendiculaire à OL et représentée en grandeur par , l’autre O b établie autour de la

droite OL et représentée en grandeur par N(. Cela posé, la simple inspection de la figure suffit pour établir immédiatement l’équation (2).

On a, généralement,

cos* « sin’a

De là résulte pour la vitesse avec laquelle varie le module W,, lorsqu’on passe d'une section normale à une autre.

(3) rf(W,) = [^ ~ ^] sin 2a-,/a-

Prenons la rotation f/a égale à l'unité. La combinaison des équations (1) et (">) donne

et l’on a l’énoncé suivant :

Le module (le lu rit esse. * avec lut/ (telle lu courbure tlet sections normales varie de l’une à l'autre est égal à deux fois le module de la rotation de la normale autour de la direction déterminée par la section que l’on considère.

La formule (2) revient à (5). . ' P.N,.t*/=-l **.

Elle implique le théorème suivant :

Le produit des trois facteurs p, N(, tg * est constamment égal à l'unité pour tous les points de toutes les surfaces.

Désignons par / l'angle que la seelion normale, dont le rayon de eourlmre est o', et qui est dirigée à angle droit sur relie dont le rayon de eourlmre est p , fait avec sa eonjuguée. Lu quantité N, restant la même, au signe près, eouformément au théorème des tangentes réciproques, on a

(fi) /.N, tg *' = 1.

La combinaison des équations (5) et (6) donne

L iÜL ,

et de là résulte l’énoncé suivant :

Les rayons de courbure de deux sections normales rectangulaires sont en raison inverse des tangentes des angles gue chat une de ces sections fait arec su conjuguée.

Nous disons le module pour exprimer (pie celle vitesse répond à l’Iivpo- I hèse à = r/jc = I .

En multipliant les deux membres de celte équation par V ou t ts, on a généralement

(lsrr=p. N tgj.

100. Soit « ln vitesse angulaire avec laquelle le plan tangent tourne autour de la caractéristique 0« , lorsque son point de contact sort du lieu O avec la vitesse V dirigée suivant 01.. (Voir la figure 77, page 470.) I.a directrice de ee point sur la section normale OL tournant avec la vitesse ^ , il est visible que la vitesse du point 6 peut être considérée indiirércnimcnt, soit comme résultant de cette rotation et étant exprimée, en conséquence, par le produit O b. soit comme s’empruntant à la rotation u et ayant, en

conséquence, pour expression le produit de la quantité a par la perpendiculaire be abaissée du point b sur la droite On. De là résulte

<u , be — Ob . — > a

et, remplaçant le rapport. ^ par sa valeur sin A,

«. sin >

L’état de mouvement de la normale se compose de la translation Y et de la rotation u. La translation se décompose en deux autres, l'une V cos ; dirigée suivant On, l'autre Y sin A perpendiculaire à la première. La vitesse Y sin A se compose par ^ic d'addition ou de soustraction avec celle qui résulte, pour chaque point de la normale, de la rotation». Il s’ensuit que le point central est celui pour lequel ees deux vitesses sont égales et de sens contraire. Il s'ensuit aussi que la vitesse de ee point est dirigée tout entière suivant la caractéristique Ow , et qu’elle est représentée en grandeur par la composante Y cos 1.

Soient u la vitesse du point central et r la distance de ee point au point O. On a, d'après ce qui précède,

(2) VcosJ,

et, en outre ,

(ô). . . . . . ru = Y sin A.

La combinaison (1rs équations (I) cl (3) lionne

(4) r = p sin* i,

c'est-à-dire lu formule (I) du n° 187, page 400.

L'équation (1) exprime un théorème qu’on peut énoncer comme il suit :

O étant un point mobile sur une surface et P le plan tangent en ce point, le rapport de la vitesse du point O ti la rotation du plan P est égal au produit du rayon de courbure de la section normale correspondante par le sinus de l'angle que la direction suivie par le point O fait avec la caractéristique du plan P.

Ce théorème se trouve énoncé en d’autres termes dans un mémoire de M. Ossian Bonnet sur la théorie générale des surfaces*.

Si l’on voulait exprimer la vitesse a en fonction du mon de courbure p, d'une section oblique inclinée de l'angle p sur la section normale menée par la même tangente, on remplacerait p par le rapport et l'on aurait, en conséquence,

Y cos j.

p, sin X

On peut, d’ailleurs, établir directement ectte dernière formule.