THÉORIE ANALYTIQUE DE LA COURBURE DES SURFACES

.Motions prélimaires.

101. La courbure d'une surface varie, en général, d'un point à un autre. On l’estime, en chaque point, par les courbures

' Vuir le Journal île l'Ërole polytechnique , cahier, tome XIX (1848),

page 10.

qu'affectent en ee point les divers systèmes de lignes qu'on peut tracer sur la surface. Parmi ees lignes les plus simples à considérer sont celles qui résultent des intersections faites parles plans normaux. On les désigne sous le nom de sections normales, et l’on dit de deux surfaces qu’elles ont même courbure lorsqu’il en est ainsi des sections normales qui se correspondent de part et d’autre sous les mêmes inclinaisons relatives. S’agit-il de deux surfaces ayant un point commun et, en ce point, même plan tangent? Si, de plus, les sections normales faites en ce point par un même plan ont toutes, deux à deux, même courbure , les surfaces dont il s’agit ont entre elles un contact du second ordre, et il y a de part et d’autre osculation complète.

La question du contact du deuxième ordre entre deux surfaces se trouvant ainsi ramenée à celle d’un contact du même ordre entre deux systèmes de lignes déterminées, commençons par établir une proposition dont nous aurons plus tard à faire usage.

Lorsque deux courbes ont en un point commun (t, y, c) même tangente, on peut identifier de part et d’autre les vitesses d.r, thj, ilz. Il suffit pour cela d’identifier leur résultante

(1) do = ^/dx, ■+■ d?/* de*.

Suppose-t-on , en outre, qu’en ce point les deux courbes aient même courbure? Il en résulte que les différentielles secondes d* x, d*y, d*z s’identifient de part et d’autre comme celles du premier ordre, et réciproquement. Soient, en effet, a. S, y les angles que la tangente commune aux deux courbes fait avec les axes coordonnés; on a, généralement,

(2) . . dx — do . cos o , dy— do . cos G , dz — do. cos y , ce qui donne

(3) . iPx = iPo eos a — do. do. . sin a , d’y = iPo . eos G — do.di sin G ,

iPz = tPo eos y — dody sin y.

L'équation (I) donne, en même temps,

... „ tl.rd*x -v- dud‘11 -t- ilzil-z

(4) tPa

V (Ix1 ■+■ dtf -t- Hz*

Cela posé, si 'les courbes ont même courbure, les \ ilesses angulaires il*, f/6 , dy correspondent , de part et d’autre, à une même rotation de la tangente commune. Elles ont donc, deux a deux, mêmes valeurs. Eu égard aux équations (3) et (4), il s'ensuit évidemment que l égalité de courbure implique celle des différentielles secondes iFx, tPy, <Vz.

Réciproquement, si ces différentielles secondes ont, deux à deux, mêmes valeurs, les équations (3) et (4) fournissent, de part et d'autre, des valeurs identiques pour les vitesses angulaires dv, f/6, dy. L’identité de ces vitesses implique celle de leur résultante, et, par conséquent aussi, ( identité de courbure.

Concluons que là où deux courbes ont, en un point commun , même tangente, l’égalité de courbure implique celles des différentielles secondes d*x, d*v , d'z, et réciproquement.

Courbure des sections normales et des sections obliques.

1 1)2. Soit une surface quelconque A , rapportée i\ des axes coordonnés rectangulaires , et ayant pour équation

Pour abréger, nous représenterons, comme on le fait habituellement, par p et q les dérivées partielles du premier ordre Fl(ar, g), Fj(x, y), et par r, s, t les dérivées partielles du second ordre F;(x, y), F;.,(j-,y), F>,y).

On a, d'n bord,

(2) tlz — pdx — qdy = o ,

puis, différenciant une seconde fois,

(3) . . . ifz — piPr — qd'tj -— r.tlx* -t- is.dxdy -t- t.dy'.

Soient ni un point pris sue In surface A, et S une section plane faite dans celle surface par le point ni.

Considérons le cercle oscillateur en m à la section S et, quel que soit ce cercle, concevons-Ie tracé sur la sphère

En opérant sur l’équation (4), corame on l'a fait sur l’équation (1), on Ironie, en premier lieu ,

(5) . . . (x — a)rfx (y — 6)rfy ■+-(* — c)dz — n, et, en second lieu ,

(6) . ( x a)(Px -f- (y — è)iPy •+■ (z — c)rPz—dx* -t- rfy’ -t- dz' = du*.

On sait, d’ailleurs, conformément aux déductions du n° 161, que les quantités dx , rfy, dz, <Px , rf*y, iPz peuvent être considérées comme identiques dans les équations simultanées (2) , (5), (3). (6).

Sans rien changer à ce qui précède, nous pouvons assujettir la sphère à toucher en in la surface A. Il s’ensuit que le centre de celte sphère se trouve sur la normale en m à la surface A et que ses coordonnées u, b, c satisfont à l’équation de cette droite, De là résulte immédiatement *

Ces valeurs substituées dans l’équation (4) donnent

Substituées dans l'équntion (.’>), elles vérifient l'identité de celle

* En désignant par /, u. v les coordonnées courantes de la normale, on sait, conformément aux formules (51 et (t) du n° 165, page il 7, que celle droite a pour équations générales

équation avec l'cquation (2). Substituées dans 1 équation (fi), elles donnent

(9) d!z — pd'x

et, eu égard à l'équation (5),

rdx*

il o'

'2-sdxdy -r- tdif

La comparaison des équations (8) et (10) fournit la relation finale

do 1 \/ 1 ■+- p* (f ‘ rdx' -h 2 xdxdy tdy*

Les coordonnées 11, b, c sont, d’ailleurs, déterminées par les équations (7) et (10).

Cela posé , la section S peut être normale ou oblique.

Dans le premier cas, la section qui lui correspond dans la sphère est un grand cercle, et elle a pour rayon de courbure le rayon p déterminé par l’équation (H). Dans le second cas, la section correspondante est un petit cercle. Néanmoins la sphère sur laquelle ce cercle est tracé ne change pas si les quantités ilx, dy, dz restent les memes, c’est-à-dire si la section oblique a même tangente que la section normale considérée d’abord. Or, en ce cas, si l'on désigne par -f l'angle des deux sections cl pur p, le rayon du petit cercle, un a évidemment

(12). ...... . p, — p.COSy.

De là résulte la conclusion suivante:

Pour toute section normale le rayon de courbure est fourni par l’équation (H). Pour toute section oblique, ayant même tangente , il est fourni par l'équation (12).

1 93. L'équation qui détermine le rayon p peut s'écrire comme il suit :

(I). r{x~xy+îs(y'-y)(x’-x)-i-t{ÿ—y'f=-V'l-*-p,-*-qt,

j éUml une longueur quelconque, mesurée à partir du point m suivant la tangente à la section normale que l’on considère, et x’, y' les coordonnées du point suivant lequel l'extrémité de celle longueur se projette sur le plan des xy.

Le rayon vecteur <7 restant arbitraire, 011 peut le prendre tel que, pour chaque section normale, on ait constamment

Dans cette hypothèse, l'extrémité du rayon vecteur <s reste sur une certaine courbe située dans le plan tangent et ayant pour projection sur le plan des xy

(3) r[x — ur)1 -r- 2«(ÿ' — y){x' — x) /(»/ — yf= V\ + f + q\

La eourbe déterminée par cette é«]iiulion et celle du plan langent est l'indicatrice déjà mentionnée dans les numéros 171 et 174, pages 424 et 431. Il suffit, d’ailleurs, de considérer celte

eourbe pour en déduire directement les énoncés qui suivent :

1° Les rayons de courbure des sections normales comportent , en général, un maximum et un minimum , les plans normaux correspondants étant rectangulaires;

2° La somme inverse des rayons de courbure appartenant à deux sections normales rectangulaires est comptante;

3° Lu courbure d'une section quelconque est déterminée par celtes qu'affectent les sections de plus petite et de plus grande courbure.

Supposons l’origine transportée au point m, et prenons pour plan des xy le plan qui louche en ce point la surface A. Les quantités p et q s'annulant toutes deux , 011 a, pour équation de l'indicatrice,

(4) rx'* -1- '2sx'y ' -t- ty'* — I.

Choisit-on les axes de manière à ce que cette courbe soit rapportée à ses diamètres principaux’.' Il vient en outre s — 0.

Cela pose, si l'on annule les <|uanlités p, q, » dans l’équation (I I) du n” 192, page 477, on trouve , pour le rayon de courbure d'une section normale quelconque,

ilxt -t- il y'1 9 = nlx- -t tdy1 ’

ou, désignant par ji l’angle que la tangente à la section que l'on considère fait avee l'axe des x,

r cos1 a 4- < sur a

Soient R, H' les rayons de courbure principaux. L’équation (G) donne, pour a = o,

ït ~r’,

et pour a = —

De là résulte, en général,

I ros!a sill’a

l'équation (7) n'étant autre chose que l'équation (i>) du n" 171, page 424.

194. Autrement. — Conservons les données du n° 192 cl désignons par ni un point mobile assujetti à rester sur la surface A.

Soient x’, y’, z’ les coordonnées du point ni; li la perpendiculaire abaissée du point ni sur le plan qui touche en m la surface A; m” le pied de relie perpendiculaire; x", y", z" les coordonnées du point »i".

Les points m et m" étant tous deux dans le pian tangent en m, on a