MO

Les points m' et m" étant tous, deux sur une meme droite perpendiculaire au plan tangent en m, on u, eu même temps,

11 est visible, d’ailleurs, qu'en désignant par y l’angle que la normale au plan tangent fait avec l'axe des z, on peut écrire immédiatement,

(d). . . . z — z = h cos y = — —

L’équation (1) revient à

(4) z'-z"=p(x' - X ") +■ q(y'—y")+z’—z -p{x' —x)-q(y — y). Eu égard aux équations (2), l’équation (4) donne

(li] z'—z — p(jc'—x) — (i(iï—y)

Cette valeur substituée dans l'équation (ô) eomluit à la relation

(ti). ,li y I -h p* q*= z —z — p(. r — x) — q{y — y).

Différencions deux Ibis de suite l'équation (ti), en y considérant comme constantes les quantités déterminées x, y, z, p, q, et posons x' — x, y — y, ~ -= z dans le résultat de 1a seconde différentiation, eu qui revient à considérer le point m' au sortir du lieu m. On trouve ainsi

(7 ). . . iPli V I -t- py -+- ij* = iPz — jxPx — q<Py-

Ou peut parvenir à l'équation (5) en posant

h — y W — x’’ f -M j/ - !/")» + Fy,

cl substituant iiour x' — x", \j — y" les valeurs fum nies par les équations (2).

Combinée avec l'équation (5) du n” I 92, page 47.'), I équation (7) donne

, , , rdx‘ isih'du ■+■ idy*

Supposons que le point m" décrive une section oblique Sj. En désignant par li, la perpendiculaire abaissée du point m’ sur In tangente en m à la section S,, et par -r l'angle que le plan de celte section fait avec eelui de la section normale menée par celle meme tangente, on a évidemment

(9) /( = /),. cos -r.

(Pli — (Pli, eos

et, eu égard à l'équation (8),

■ cos ?Vi -+ - p* -*- (/*

Soient (la la vitesse du point »»' au sortir du lieu m ; \Y, la v itesse angulaire simultanée de sa directrice; p, le rayon de courbure corres|iondan(. Ou a, d'après la formule établie dans la note du n° 173, page 427,

(11) (Plt' = 'W,.fla = -—.

Pi

La combinaison des équations (10) et (1 1) donne

, . «fe* V I ■+■ »* «’

(12) . . . . p,— — — — — . COSe.

’ rrfx-t-2s(/xf/y-t- Idy*

S'agit-il maintenant de la section normale S ayant même tangente que la section S,? En désignant par p le rayon de courbure de celte section normale et posant j. = o, on trouve

rdx * -t- 2« Ixdy -t- tdif

et I on cil déduit, comme on l'a déjà vu,

(14) p, = p.cos r.

Le procédé que nous venons de suivre sc simplifie beaucoup lorsqu’on prend le plan des xg parallèle au plan qui touche cil m la surface A. Les quantités/) et q étant milles, l’équation (3) du n° 1112, page. 475, donne immédiatement

(Pz = rdx* -t- 'isdxdg -+- tdtf = (Pli.

De là résulte, en procédant comme on l a fait tout à l’heure, à partir de l’équation (11) ,

da*

rr/x* -+■ '■Isdxdg -+- tdtf

et l'on a , d'ailleurs,

p, p . eos f.

11).’). Autrement. — Soient p un point mobile assujetti à décrire une section normale; a, €, ries angles que la directrice du point n fait avec les axes coordonnés. En désignant par W la vitesse angulaire de cette directrice, on a, d’après la formule (I) du n° 139, page 300 ,

( I ). . . \V = V (d eos -i- (d eos 6)* -+- (fl cos y )*.

Prenons le point p au sortir du lieu m. La directrice tourne autour de ce lieu et les vitesses de ses différents points sont toutes dirigées parallèlement à la normale en m à la surface A. Les formules (2) du n° 139, page 560, permettent d’exprimer celte condition en posant

(2) . . . d . cos %—p.d cos y, d cos 6 = q- d eos y.

La combinaison des équations (I) et (2) donne

(3) . . . . W = :£ V 1 -h p* -t- q* . d cos y.

iHÔ )

On a, d'ailleurs,

(i) cos* a -+- cos* 6 -t- cos’ y — I ,

et, par suite,

(5) . . cos a . A cos se ■+■ cos ç . il cos 6 ■+■ cos y. A cos y = o.

I)c là résulte, en substituant dans l'équation (’i)les valeurs fournies pnr les équations (2) et supprimant le facteur A cos y devenu commun à tous les termes de la transformée,

(6) p eos a •+- q cos 6 eos y — o.

Différencions l’équation (ti) en y considérant comme variables toutes les quantités qu’elle renferme. Cela revient à tenir compte non pas seulement de la rotation de la normale autour du centre de courbure correspondant, mais, en outre, de la rotation de cette droite autour de la directrice du point pi. Cette deuxième rotation ninfluc ni sur la position de 1a directrice, ni sur sa vitesse angulaire actuelle. Elle n’altcre donc en rien les différentielles A vos a, A cos C, A cos y. On peut, en conséquence, substituer dans le résultat de la différentiation les valeurs fournies par les équations (2).

Eu opérant comme nous venons de l'indiquer, on trouve

(7) . ... A cos y

et par suite,

Soit p le rayon de courbure de la section normale considérée.

On a

( A a Ao .V \ •+• p* -(- fy1

^ ^ W Ap . cos a A(f . cos ê

Ap . cos * -4 - Aq . eos 6

Ap cos jc Aq cos 6 V\ +J)! + (y*

Remplaçant les quantités eos a, cos », dp, d< / par leurs valeurs respectives ~ , rdx ■+• s<l;j, sdx + idtj, il vient

da 1 V I -+- p* -+- ‘

rdx* 'isdxdy -+- tdy‘

C’est le résultat obtenu dans les numéros qui précèdent. Il implique toutes les conséquences déjà développées.

1%. Autrement. — Soient x', y', z les coordonnées courantes de la normale; x, y, z celles du point où la normale s’appuye sur la surface A. On a, généralement,

Lorsque la normale sort du lieu qu’elle occupe, les composantes des vitesses qui animent scs différents points satisfont aux équations différentielles

\dx'—dx = — p(dz' — dz) — ( z' — z)dp , j dy' — dy — — q(dz' — dz) — (z' — z)dy.

Soit m le point de la normale qui coïncide avec le centre de courbure de la section normale déterminée par le déplacement initial du point (x, y, z). Le point m' se distingue des autres points de la normale en ec que sa vitesse actuelle est nécessairement * perpendiculaire à celle du point {x,y, z). Cette condition exige que l’on ail

dxdx' -+- dydy -+■ dzdz = o, ou, ce qui revient au même,

(3). (dx'~ dx)dx (dy' — dy)ily -+- (dz' — dz) dz -t -da*=o.

Les équations (1), (2), (3) déterminant d’une manière complète la position du point m', on a d'abord, en vertu des équations (1),

(4). P = l/(x - *)*+ (y- yf+ (z- zf =(z'-z) V I + p*+

Nous disons nécessairement parce que celle condition subsiste indépendamment de tout glissement île la liminale sur elle-mcme.

t, étant le rayon de courbure de la section normale que l'on considère.

Substituons dans l’cquation (3) les valeurs fournies par les équations (2). Il vient

(3). (dz — pdx — qdy) ( dz dz) — (z’ — z) [dpdx + di/dy ] — d»* '

Çf, comme on n

dz — pdx -*• qdy,

il s’ensuit que l’équation (5) se réduit à

dp.dx + dy . dp

La combinaison des équations (4) cl (t>) donne* immédiatement

du* 1/ 1 -4- p* -t- r/a

‘ dp . dx -t- dfj . dxj

Celte solution identique avec les précédentes se distingue , nous parait-il, en ec qu’elle est peut-être plus directe et qu elle offre, d’ailleurs, une extrême simplicité.

197. Considérons, en particulier, les sections principales. La condition qui les détermine consiste en ce que le point de la normale qui correspond à leur centre de courbure peut être considéré comme dépourvu de toute vitesse actuelle, lorsque la direction suivie par le point (x, y, z) au sortir du lieu m est celle de la tangente à ces mêmes sections. Si l’on annule, en conséquence, les composantes dx', dy' dz', on déduit des équations (2)

dx -i- pdz dp

dy -t- ydz dy

Celte analyse n’est pas seulement applicable au cas particulier traité dans te texte. Elle s'étend d'elle-inéme au mouvement d'une droite quelconque dont la direction se trouve déterminée en même temps que les coordonnées de l’un de ses i>oints.

De là résulte, en ce qui concerne les directions des sections principales, l'équation de condition

' dx -4 ]nlz dy +- qdz nix t- sdy sdx ldi/

Remplaçant dz par sa valeur pdx -+- qdtj et développant, on trouve „

pfrf (!+/>«)< h» 1 P'lr- 1 »■*•/»>

Lf/xJ (I -t- </*)* — pql LdxJ ( I -f- qi)s — pqt

L'équation (10) fait voir que les sections principales sont, en général , au nombre de deux. Elle fournit leurs directions et permet de vérifier qu’elles sont rectangulaires, soit en opérant directement, soit plus simplement en prenant le plan des xy parallèle au plan tangent , ce qui donne

et prouve immédiatement la proposition énoncée. L’équation (8) donne, il’une part,

, dx(\ +- pqdy

rdx + sdy

et, d’autre pari ,

(I -« q*)dy + pq .dx sdx •+- Idy

On déduit de la première de ees transformées

il y r(z' — z) -f- I ■+■ p*

d. r pq s ( s ' — 2)

et, de la seconde,

''y __ pq + g)

dx I ■+(/*-(- l(z' z)

En égalant entre elles ees deux \aleurs du rapport ^,on trouve, après réduction,

(H). (,•- ,f * <‘ * Ûi 1 ■ * ?’>'• (,- - ,) H- 1 - ■ f. ' t ' rl — s * rt — x 1

Soit R le rayon de courbure de l’une ou l’autre des deux sections principales. L’équation (4) du n" 196, page 484, donne

De là résulte, en substituant,

(12) R' t (1 -t-p*) < — fyr/s -4- (1 +qt) r R ^ i+p'-t-q'

‘ 1 -+-p*+7‘ + rt — s» v/.j+pVç* + r< — **

Au lieu de procéder, comme nous venons de le faire, on peut opérer sur l'expression générale du rayon de courbure, chercher Ja différentielle de cette expression et l’égaler à zéro. On détermine ainsi les directions des sections de plus grande et de moindre courbure, l’équation qui les donne n’étant autre que l'équation (10), et celle qu’on en déduit, pour les rayons de courbure principaux, se confondant avec l’équation (12).

Si l’on appliquait à la normale l'équation (2) établie au n° 132, page 345, comme expression de la condition à remplir pour que la vitesse du point central puisse être nulle à l’origine du déplacement considéré, on devrait écrire,

d(x -+- pz) d(y-t-(]z)

dp dq

* On voit par cette équation que les rayons de courbure principaux sont ou non de même signe , selon que le binôme rt — s* est positif ou négatif. Il s’ensuit qu’à partir du point de contact, la surface commence par être située tout entière d'un seul et même côté du plan tangent, ou, au contraire, patêtre située, partie d'un côté de ce plan et partie de l'autre, selon que le binôme rt — ** est plus grand ou plus petit que zéro.

ce qui lionne

il ij [ ilx -4- pdz + zdp] — dp ( ilij + qdz -t- zdq ) ,

et, supprimant le terme zdpdq commun aux deux membres ,

^ ^ dx -4- pdz dij ■+■ qdz

Ce résultat n’est outre que celui exprimé par l’équation (8) et reproduit sous une autre forme dans l'équation (9).

Ombilics.

1 98. Nous avons trouvé, pour expression générale du rayon de courbure d’une section normale,

t ( ^ du* V 1 -4- p 1 -4- q 1

rdx * -4- 2 sdxdy -4- tdy*

Lorsqu’on y remplace la quantité dz* par sa valeur dx * -4- dy' •+- dz* = ( t •+• />*) dx1 + ipqdxdy -4- (1 -4- r/1) rfy*, il vient

( I -+- P‘) «k* + 2 pqdxdy -+- ( I -+- q*) dy «

S’agit-il maintenant de l'un de ces points singuliers qu'on clésigne sous le nom d’ombilics et pour lesquels les sections normales correspondantes ont toutes même courbure? Le second membre de l'équation (2) devant rester le môme, indépendamment de toute valeur attribuée au rapport ^ , il faut que l'équation

( Wî» )

ne cesse pas d’être satisfaite lorsqu'on y dispose arbitrairement de la quantité ~ , et que l’on considère toutes les autres comme constantes.

De là résulte ,

I 4- p*= c. r, /jff = c.s, 1 ■+■ ff'—c.t,

cl, par suite, élimination faite de la constante quelconque c,

(-) + < pr,

Concluons que tout point d’une surface est ott n’est pas un ombilic , selon que les coordonnées de ce point satisfont ou ne satisfont pas aux équations (5).

On parvient au même résultat , en partant de l’équation (10) du n" 197, et exprimant qu'elle subsiste indépendamment de toute valeur attribuée au rapport ~ .