LIGNES DF. COURBURE

Lieu des normales menées suivant ces lignes. Arête de rebroussement de ce lieu.

199. Les lignes de courbure étant définies, comme on l’a vu au n° 181, page 447, on reconnaît immédiatement qu’elles satisfont, en chacun de leurs points, à la condition exprimée par l’une quelconque des équations (9), (10), (13) ou (14) du n“ 197. Il s’ensuit que chacune de ces mêmes équations est l’équation différentielle de la projection des ligues de courbure sur le plan des xy.

Supposons qu’on ait déterminé les équations d’une ligne de courbure. Celles de la normale étant, comme au n" 196, page 484,

*'— * -+-p(z'—z) = o, y'—y + q{z'—s) = o, il sufiil d’éliminer les variables r, y, z entre ces équations et

celles de In ligne de courbure que l’on considère pour obtenir l'équation du lieu des normales menées suivant ces lignes.

Imaginons que les coordonnées courantes x', y', z soient parti» culnrisées de manière à s’appliquer exclusivement h l’arète de rebroussement du lieu mentionne ei-dessus. Celte arête est en même temps sur le lieu des centres principaux de courbure, c’està-dire sur In surface qu’on oblienten éliminant les variables x,y,z entre l’équation de la surface donnée et les équations (I) et (6) du n° 196. Cette élimination faite, les équations obtenues pour le lieu des normales et pour celui des centres de courbure principaux sont les équations de l'arête de rebroussement cherchée.