APPLICATIONS GÉNÉRALES CONCERNANT LES SURFACES

Courbure des surfaces de révolution.

200. Lorsqu’une droite se déplace en restant normale à une surface, selon (/uc sa trace sur lu surface suit ou ne suit pas la direction d'une section principale, les vitesses simultanées de ses différents points sont ou non dirigées dans un seul et même plan. Supposons que la direction suivie soit celle d'une section principale : les vitesses des différents points de la normale sont dirigées dans un seul et même plan. Néanmoins, elles peuvent être toutes égales, ou toutes différentes. Elles sont toutes égales dans le cas particulier d’une section principale dont la courbure est nulle à l’origine du déplacement considéré. Elles sont toutes différentes dans le cas général d’une courbure quelconque, et l’on peut appliquer à ce cas général la déduction suivante, déjà indiquée au n” 181 , page 447 :

Lorque la normale à une surface sort du lieu qu elle occupe suivant la direction d'une section principale, elle a un point

dont lu vitesse est nulle el réciproquement. O point eut le centre de courbure de la section principale qui correspond au déplacement considéré.

Crin posé, s’agit-il en particulier d’une surface de révolution* Il est visible que lu section méridienne est une section principale. Il est visible aussi que la direction perpendiculaire h la section méridienne, est fournie par le parallèle, et que, pour cctle direction , le point de In normale dont la vitesse est nulle est précisément celui où la normale vient couper l’axe de révolution. Concluons que

Dune les surfaces de révolution les rayons de courbure principaux sont respectivement , l'un celui de la section méridienne au point considéré, Vautre la partie de ta normale ' comprise entre ce même point et l’axe de révolution.

On voit aussi, sans aucune difficulté, que

Les lignes de courbure sont déterminées, en chaque point , par lemiridien et le parallèle correspondants.

Courbure des surfaces développables.

201. S’ngit-il d’altord des surfaces cylindriques? Les sections principales sont déterminées, en chaque point, par In section droite et par la génératrice rectiligne correspondnnlcs. Ici donc aucune difficulté. L’une des courbures principales est nulle. L’autre est celle de la section droite nu point considéré. Les lignes de courbure se confondent cl coïncident avec les sections principales

’ l.a normale il la surface sr confond , en chaque point , avec la normale à la xcrlioo méridienne correspondante.

S’agit-il ensuite dune surface quelconque développable et non cylindrique? On peut, en général, la considérer comme le lieu des tangentes à son arête de rebroussement et partir des données suivantes qu’il suffît d’énoncer.

Lorsqu'une droite assujettie à décrire une surface développable sort du lieu qu’elle occupe, elle reste tangente à l'arête de rebroussement et son état de mouvement se résout en une rotation autour du point où elle tourbe cette arête. La vitesse de ce point étant supposée nulle, celles des autres points sont toutes perpendiculaires à la génératrice et situées dans un même plan. Il suit de là qu’il n’existe qu'un seul et même plan tangent pour tous les points d’une même génératrice, et que ce plan coïncide avec le plan oscillateur de l’arête de rebroussement.

Cela posé, voici les conséquences immédiates :

Les sections principales sont dirigées, pour chaque point, l’une suivant la génératrice passant par ce point , l'autre perpendiculairement à cette même génératrice.

L'une des couibures principales est nulle. L’autre varie généralement le long de lu génératrice.

Les lignes de courbure sont, d’une part , les génératrices rectilignes, d'autre part, les trajectoires orthogonales de ces mêmes génératrices.

Soient m et o deux points d’une même génératrice, l’un quelconque, l’autre situé sur l’arête de rebroussement. lorsque la génératrice om sort du lieu qu’elle occupe, elle tourne autour du point o avec une vitesse Wet communique au point m une vitesse actuelle V. De là résulte, en premier lieu,

h étant la distance du point m au point o.

Soit W” la vitesse angulaire simultanée du plan qui touche la surface le long de la génératrice om et qui coïncide en o avec le plan oscillateur de l'arête de rebroussement. En désignant par II le rayon de courbure de la section principale faite en m per-

pcndiculaircincnl h la génératrice, on peut écrire immédiatement

o et a étant les rayons de première et deuxième courbure qui correspondent au point o de l’arétc de rebroussement.

L'équation (2) montre que le long d une même génératrice , le rayon principal K croît proportionnellement à la distance comprise sur celte génératrice entre l’arètc de rebroussement cl le point que l’on considère. Elle suffit, d'ailleurs, pour résoudre complètement la question proposée.

Si l’on pose h = o, il en résulte

De là, l'énoncé suivant :

Soit S une ligne quelconque à double courbure; A la surface développable dont lu ligne S est l’arête de rebroussement ; o un point de cette arête; opi lu tangente en ce point ; Sm la section faite dans la surface A par le point m , perpendiculairement à lu droite orn. Cela posé , si la distance oin est prise égale au rayon de première courbure de la ligne S au jnjinl o, l’égalité subsiste entre la deuxième courbure de la ligne S en ce 'même point et la courbure en m de la section principale S„.

On observera que, dans le cas des surfaces développables, il n'existe en chaque point, pour toutes les directions, qu’une seule et même caractéristique du plan tangent, la génératrice rectiligne passant par ce point.

Courbure des surfaces réglées gauches.

202. Soit I) la génératrice rectiligne d’une surfuec gauche quelconque A. Si, dans le déplacement de la génératrice D, on assujettit un de ses points à décrire la trajectoire orthogonale des

positions qu elle prend successivement, ses autres points remplis* sent en même temps eette même condition *. On sait, en effet, que les vitesses simultanées des differents points d'une droite mobile sont, à la fois, toutes perpendiculaires ou toutes obliques à eette droite.

Supposons la droite I) projetée en O sur un plan P perpendieu-

l’ig. 78. laire à sa direction. Supposons, en outre, qu’elle sorte h du lieu qu’elle occupe en remplissant la condition préi» ccdenle. Les vitesses des différents points de la droite 1) ^ sont , par hypothèse , perpendiculaires à cette droite et , par conséquent, parallèles au plan P. Il on résulte que

o‘ !° si l’on transporte en O les vitesses de ces différents

* points, leurs extrémités viennent toutes aboutir à une même droite BB' située dans le plan P. ( I ,e partie, Théorème VII, page 45 ). Il en résulte aussi que les vitesses ainsi transportées sont les projections sur le plan P de ces mêmes \ itesses considérées dans leurs vraies positions.

On sait que les vitesses des différents points de la droite 1), lorsqu’on les prend dans leurs vraies positions, ont pour lieu de leurs extrémités une droite oblique sur la droite D. (I" partie, Théorème VI, corollaire 4, page 45.) Désignons par * celte deuxième droite et observons qu’elle est située dans le plan mené par BB' |H.>rpcndiciilairemrnl au pian P.

De là résultent immédiatement les conséquences suivantes.

Il est un point de la droite D dont la vitesse représentée par la perpendiculaire O» abaissée du point O sur la droite BB' est moindre que toutes les autres. Ce point dit point central , d après M. Chasles, est situé sur la plus courte distance des droites D, x.

Soit O le point central ainsi déterminé. L'étal de mouvement de la droite I) consiste en une translation u représentée par 1a vitesse Oa du point central et en une rotation a établie autour de la droite Oa.

* Celte remarque s'applique à toutes les surfaces réglées. 11 eu résulte que, dans ces surfaces, il y a toujours équidistance entre deux quelconques des trajectoires orthogonales des génératrices rectilignes.

Soient ro un point quelconque «le In droite 1); On Ih vitesse actuelle de ce point.

Considérons les deux sections normales faites en m dans la surface A, l’une suivant la droite On», l’autre perpendiculairement à cette droite, et désignons eelle-ei par S„. Considérons, en même temps les tangentes réciproques déterminées par ces deux sections. Celle de ces tangentes dont le point de contact glisse le long de la génératrice Ont tourne autour de cette génératrice, comme la droite On tourne autour du point O dans le plan P. Or, en désignant par h la distance O/u comprise entre le point m et le point central O, on a

(1) un^h.u,

et, dans celte équation, la quantité u doit être considérée comme constante.

De là résulte, en prenant cigale à l’unité la vitesse du point m sur la génératrice Om, et en représentant pur nn' la vitesse correspondante du point « sur BB',

nn = a.dh -= ai.

Par les points n , n menons les droites nb\ n'b', l’une perpendiculaire, l’autre parallèle à O n ; désignons, d’ailleurs, par e l’angle nOu et son égal b'nn'. On a , comme expression de la vitesse angulaire des tangentes réciproques considérées,

nb'

Oh

hh. cos e a

= — cos1 f

Oh u

Soit a l’angle que fait avec la section S. l’une des sections prin-

* La longueur 0 a représentai!!, par hypothèse , la vitesse u , on a Ou = u = On .cos t ,

et, par suite,

. 1 cos £

On u

cipalcs passant par le |H>inl m. La formule (7) du n° 170, page 457, donne

Or, ici l'on a