CO
>',== — cos’ï, \V,= o, W., = ->
« fi
p étant le rayon de courbure de la section S„. Il vient donc, en substituant,
(2) tg 2a = 2 - . p cos’ e.
Soient it, H’ les deux rayons de courbure principaux.On a, conformément aux équations (10) et (1 1) du n* 1 70, pages 458 et 430,
COS a
(sin’ a COS* a
et, par suite, (a étant l'angle que la section normale dirigée suivant la génératrice rectiligne fait avec la section principale dont le rayon de courbure est R'),
V I ■+• tg’ — I
R’— p [1 — col* a] =
1 — V \ -t- tg* 2a
Tout est ainsi déterminé en fonction du rayon p de la section S„.
On observera qu'en élevant au carré les équations (5), puis les soustrayant membre à membre, on trouve, après réduction,
205. En divisant membre à membre les équations (4) et donnant un même signe aux deux rayons de courbure principaux, on trouve
(5) *B « -* ty^ïF' ‘
On sait, d’ailleurs, que l’angle a est celui que la section normale dirigée suivant la génératrice rectiligne fait avec la section principale dont le rayon de courbure est représenté par IV. Multipliées, membre à membre, les équations (4) donnent
RR' = -
tgs 2« ’
et, eu égard à l’équation (2),
RR'=
u* cos4 1
On a trouvé précédemment
N, = — cris- f .
On peut donc écrire
RR
L’équation (8) exprime la propriété suivante :
Lorsque la normale « une surface ijauclie sort du lieu qu elle occupe, suivant une génératrice rectiligne, et arec une vitessede translation égale à l’unité, le carré de sa rotulionautovr decette génératrice a pour valeur inverse le produit des rayons de courbure principaux correspondants.
Désignons par A' la distance comprise entre le point central O cl le point de la droite D où le plan tangent à la surface A fait un
angle de 4b° avec le plan langent au point central. On a, généralement ,
an ail u .
De là résulte, en faisant e = 45° et remplaçant h par /*',
et, par suite ,
Ou a, d’ailleurs,
js e < h 1
Substituant cette valeur et remplaçant - par h' dans l’équation (7), on trouve
ltR
Soient O k la génératrice, et e/ unc perpendiculaire à cette génép. -g ratrice menée par le point central O. Prenons Oe égal à h', joignons le point e au point considéré m, et, sur , em, élevons en m la perpendiculaire mf. Ou a ainsi,
em = /** -+■ li'1 = h'.ef.
Ii'+ h
Il vient donc
et, par conséquent,
(10) RR' = — (e/")1.
Les équalions (*J) et (10) expriment plusieurs propriétés eu-
rieuses des surfaces gauches. Ces propriétés peuvent s’énoncer comme il suit :
1° Les rayons de courbure principaux en un point quelconque d’une surface gauche, sont de signes contraires;
Ü° Le produit des rayons de courbure principaux est le même en lieux points situés, sur une même génératrice à égale distance du point central ;
3° Le produit des rayons de courbure principaux au point central d'une génératrice quelconque est égal au carré de lu distance comprise sur cette génératrice entre le point central et le point où le plan tangent fait un angle de 43° avec le plan tangent au point central ;
4° Si l'on substitue au point central le point où le plan tangent fait un angle de, 43“ arec le plan tangent au point central, le produit des rayons de courbure principaux est quatre fois plus grand;
3° Le produit des rayons de courbure principaux , en un point quelconque d'une surface gauche, est égal au carré de l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour hauteur la distance du point donné au point central de la génératrice correspondante , et, pour segment adjacent à cette hauteur, lu distance de ce même point central au point de la génératrice où le plan lungent fait un angle de 43° avec le plan langent au point central.
ÜU4. On a directement (voir la ligure 78 > page 41)4)
Ou u
V étant la vitesse totale du point tn.
Si l’on substitue cette valeur dons l'expression de la quantité N, et dans l’équation (7), il vient
( jOO )
rl
