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De là résulte, eu ne considérant que les valeurs absolues des rayons de courbure principaux ,

^RR7

ou

Soit m un point d’une surface A; R, R' les rayons de courbure principaux correspondants. On peut convenir, avec M. Gauss, de

considérer In quantité-^. — comme exprimant la courbure de la

surface A au point m. Cela pose, il est aisé de voir que les équations (8) et (12) expriment, par rapport aux surfaces réglées gauches, les deux théorèmes énoncés comme il suit par M. Ossian Bonnet * :

1° « La courbure dans une surface gauche est égale à l’angle

> des plans tangents au point considéré et au point infiniment • voisin appartenant à la même génératrice rectiligne divisée par

> la distance de ces points. »

2" « La courbure de la surface varie le long d’une génératrice » rectiligne dans le rapport inverse du carré de la perpendiculaire

> menée à celte génératrice cl terminée à la génératrice infini- » ment voisine. »

Si l’on dégage ces énoncés de la considération des infiniment petits et qu’on les traduise en langage ordinaire, on peut les formuler de la manière suivante :

1“ La courbure dans une surface gauche est égale au module; de la vitesse angulaire gui anime la normale dans son déplacement suivant la génératrice rectiligne ;

2° La courbure de la surface varie le long d'une génératrice

' Journal (le J École polytechnique , 32*" cahier, tome XIX. (1818), pages 18 et 01.

rectiligne dans le rapport inverse du carré de la vitesse de circulation communiquée au point que l’on considère par le déplacement de cette même génératrice.

Appliquons au point central 0 In formule (H). U vient, en faisant V = u,

et, par suite,

1 1 t/RK' *'

Celle dernière formule comporte l’énoncé suivant :

Lu courbure au point central d'une génératrice rectiligne est égale à la valeur inverse de la distance comprise , sur celle génératrice, entre ce même point et celui où le. plan tangent fait un angle de 43° avec le plan tangent au point central.

Remarqie. — Oii observera que l’équation fondamentale

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peut s'établir « priori comme conséquence immédiate de l'équation (14) du n° 170, page 439. Il suflit pour cela d’observer que l’une des courbures exprimées par — ou par ~ pour le cas général, devient nulle dans le cas particulier d'un déplacement effectué le long d’une génératrice rectiligne.

Théorie des surfaces enveloppes.