Étant donnée l’équation

elle représente une surface qui change, en général, de forme et

de position en même temps que l'on fait varier le paramètre t. Soient A celle surface; y un point assujetti à s'y mouvoir; ar, y, z les coordonnées de ee point.

I-n direction suivie par le point y à tin instant quelconque est déterminée par les valeurs correspondantes des quantités dx, il y, ilz et celles-ci satisfont à l'équation différentielle

ou bien à cette autre équation

selon que la surface *A persiste dans son état actuel ou qu’au contraire elle passe de cet état b un antre.

Posons

La combinaison des équations (I ) et (4) donne, en général, pour chaque valeur du paramètre a une section déterminée de la surface A. Soit S celte section. Elle est caractérisée par la condition qu’elle remplit de rendre l’équation (3) identique b l'équation (2).

Supposons le point u assujetti b décrire la section S et désignons par m le lieu qu’il occupe sur cette ligne b l’instant que l’on considère. L'identité des équations (2) et (3) montre que la vitesse du point u , ail sortir du lieu m, ne subit aucune modification pur suite du changement d'état de la surface A.

filant données les équations (I) et (4), elles déterminent la ligne S, et celle-ci change, en général, de forme et de position, en même temps que l’on fait varier le paramètre x. Le point y étant astreint, par hypothèse, à rester sur la ligne S, la direction qu’il

suit à un instant quelconque est déterminée par l'équation (2) et, en outre, par l'équation différentielle

ou par celle autre équation

selon que (aligne S persiste dans son état actuel ou qu’au contraire elle passe de cet état à un autre.

Posons

La combinaison des équations (1), (4), (7) donne, en général, pour chaque valeur du paramètre a un point déterminé. Soit m ce point. Il est caractérisé par la condition qu’il remplit de "rendre l’équation (fi) identique A l’équation (5). L'identité de ces équations montre, d'ailleurs, que la vitesse du point n, an sortir du lieu m, ne subit aucune modification par suite du changement d'étal de la ligne S.

Cela posé , voici les conséquences.

Reprenons les équations simultanées

La ligne qu’elles déterminent et que nous avons désignée par S a reçu le nom de caractéristique.

Le lieu des caractéristiques s’obtient en éliminant le paramètre a entre les deux équations (8). Cela revient a dire que ce lieu est représenté par l’équation

le paramètre a étant une fonction des variables x, y, z déterminée par l'équation de condition

Soit A' le lieu dont il s’agit. Il cstVenveloppe des surfaces A. On voit d’ailleurs aisément que la surface A' touche chacune des surfaces A en tous les points de la caractéristique qui leur est commune. Il est clair, en effet, que si le plan tangent, en un point d’une ligne S , est déterminé, pour la surfaee corresp.ondantc A, par l'ensemble des équations (2) et (4), il l’est en même temps cl de la même manière, pour la surface A’, par la différentielle de l’équation (9).

Aux équations (9) et (10) ajoutons l’équation

Le point déterminé par les équations (9), (10), (H) est celui que nous avons désigné par ni et qui jouit par rapport au point /* de la propriété formulée plus haut en italiques.

Le lieu des points in s’obtient en substituant dans les équations (9) et (10) la valeur déduite pour a. de l’équation (11). Ce lieu est évidemment l 'enveloppe des caractéristiques. Il prend , par rapport à la surface A' sur laquelle il est situé, le nom d’arête de rebroussement. On vérifie, sans la moindre difficulté, que celle arête touche chacune des caractéristiques au point qui leur est commun de part et d’autre.

On observera que les surfaces A peuvent, en certains cas, n’avoir pas d ’ enveloppe, et que, dans les cas où elles en ont une, cette enveloppe peut ne point avoir d'arête de rebroussement. Lorsque l’enveloppe n’a point d’arète de rebroussement, la caractéristique prise pour génératrice de celte surface sort du lieu qu’elle occupe sons qu’aucun de ses points puisse être considéré comme dépourvu de toute vitesse actuelle. Néanmoins il arrive, en général, pour l’un des points de la caractéristique que sa

vitesse est un minimum. La suite des points qui remplissent cette condition, pour les positions successives de la caractéristique, forme sur l’enveloppe une ligne particulière nommée ligne de striction.

206. Autrement. — Sans rien changer a ce qui précède, proposons-nous de déterminer directement les points de la surface A qu’on peut considérer comme fixes, à l’instant précis où ccttc surface sort d'un état quelconque pris, comme on voudra, parmi ceux qu’elle affecte successivement. Ces points se distinguent des autres en ce que leurs coordonnées x, g, z doivent satisfaire à l’équation (3) lorsqu'on y annule en même temps chacune des trois vitesses dx, dy, dz. De là résulte immédiatement l'équation (4) et les déductions suivantes :

Le lieu des points cherchés est représenté par l’ensemble des équations (1) et( 4). Il constitue la ligne S, désignée sous le nom

de CARACTERISTIQUE.

Le lieu des caractéristiques est représenté par l’équation (I) où le paramètre a, déterminé par l'équation (4), devient fonction des variables x, y, z. Ce lieu constitue la surface A’, désignée, par rapport aux surfaces A , «oms le nom (Texveloppe.

Il est visible que Z’exvei.oppe A' touche chacune des surfaces A en tous les points de la caractéristique qui leur est commune.

Opérons sur la ligne S déterminée par les équations (1) et (4), comme nous venons de le faire sur la surface A. S’il est un point de la ligne S qui puisse être considéré comme fixe, tandis que cette ligne sort d’un état quelconque pris, comme on voudra, parmi ceux qu’elle affecte successivement, ce point se distingue des autres en ce que ses coordonnées x, y, z doivent satisfaire à l’équation (6) lorsqu’on y annule en même temps chacune des trois vitesses dx, dy, dz. De là résulte immédiatement l’équation (7) et les déductions suivantes :

Le point cherché, désigné par m, est déterminé pour chaque videur du paramètre -/ , par l’ensemble des équations (1), (4),

Le lieu des points ni est représenté par les équations (I) et (4) où le paramètre a, déterminé par l'équation (7), devient fomtion des variables x, y, z. Ce lieu constitue , par rapport ri la surface A', sur laquelle il est situé, la ligne particulière désignée sous le nom d’ ARÊTE DE REBROUSSEMENT.

Il est visible que / arête de rebroussement touche chacune des caractéristiques a« point qui leur est commun, départ et d'autre.

Caractères généraux des surfaces développables.

207. On désigne sous le nom de surfaces développables les surfaces qui peuvent s’appliquer sur un plan, point par point, sans déchirure ni duplicaturc, autrement dit, sans extension ni contraction d’aucune des lignes tracées sur ces surfaces. Celle condition est évidemment remplie par les surfaces réglées qui n'ont pour tous les points d’une même génératrice qu’un seul et même plan tangent. 11 s’ensuit, en effet, que si l’on assujettit le plan tangent à tourner autour de la génératrice rectiligne, tandis que celle-ci se meut de manière à décrire la surface considérée, cette même génératrice peut être regardée comme se déplaçant dans un plan qui tourne autour d’elle, et dont le mouvement n’altère, en conséquence, ni les vitesses de ses différents points, ni celles des points qui se mouvraient sur elle, ni, par conséquent, non plus les longueurs décrites en vertu de ces mêmes vitesses.

Soit A une surface réglée et développable. Soient en même temps S, S' deux lignes quelconques tracées sur cette surface. Supposons la surface A développée sur un plan P. On peut se tenir au résultat de celte première opération; on peut aussi, et cela d’une infinité de manières, se scr\ir du plan P pour reprendre le développement effectué et le reporter, comme on veut, soit sur la surface A, soit sur une autre surface quelconque réglée et développable. Dans tous les cas, désignons pars,!;' les transformées des lignes S, S'.

L’observation que nous avons fai lî* en commençant, implique évidemment les déductions suivantes :

Quelles que soient les transformées i , s', elles ont respectivement mêmes longueurs que les lignes données S, S'.

Lorsque les lignes S, S 'se coupent sous un angle quelconque , leurs transformées 2, 2' se coupent sous ce même angle. ■

Lorsque la ligne S se ferme en revenant sur elle-même, de manière à couper deux fois les mêmes génératrices rectilignes, la transformée 2 remplit ces mêmes conditions. On voit, de plus, que les aires circonscrites, de part et d'autre, sur les surfaces correspondantes sont superposables par voie de développement et d'enveloppement. Elles ont donc nécessairement même étendue.

208. Reportons-nous aux notations du n" 192, page 47b, et supposons qu’il s’agisse d’une surface A, réglée et développable.

I.a direetion du plan qui touehc la surface 4, en un point quelconque m, est déterminée par les valeurs que prennent, en ce point, les dérivées partielles p et q. On sait, d’ailleurs, que ce plan reste le même pour toute l’étendue de la génératrice rectiligne menée par le point »». Il s’ensuit que l’on n , pour tous les points situés sur une même génératrice quelconque rectiligne,

p = cons'*, q = eons'*, ou, ce qui revient au même,

dp = rdx -t- sdg = o , dq = sdx -+- tdy = o.

De là résulte,

(2) rt — s*=o.

L'cquation (1), où l’on peut remplacer les vitesses dx et dg par les segments x — x, et g' — g qui leur correspondent respectivement, est l'équation de la génératrice menée par le point m et projetée dans le plan des x g. Cela revient à dire, en d'autres

dg r s

dx s t

termes, qu'elle est Y équation différentielle de la projection de l'arête de rebroussement.

L'équation (2) subsiste pour tous les points de la surface A. Elle est l'équation de condition qui caractérise , en général, les surfaces développables.

Procédons autrement. Lorsque la normale à la surface A se déplace le long d'une même génératrice rectiligne, elle conserve une seule cl même direction. Il s’ensuit que cette génératrice constitue une des lignes de courbure de la surface A et que l’un des rayons de courbure principaux doit se présenter constamment sous la forme symbolique - •

Cela pose, il suflit de se reporter à l’équalion ( I 2) du n* 107, page 487, pour reconnaître immédiatement qu'on doit avoir, en . chacun des 'points (Te la surface A ,

rl — s* — o.

Réciproquement, si cette condition est satisfaite, il y a, en chaque point, une des sections principales dont la courbure est nulle. Il suit de là que la ligne de courbure correspondante est droite et qu’en conséquence la surface A est une surface réglée. Elle ne peut, d'ailleurs, être gauche, puisqu’en ce cas les génératrices ne correspondent pas aux directions des sections principales. Il faut donc nécessairement que lu surface A soit réglée et développable.

Nous verrons plus loin qu’eu dehors des surfaces réglées, il n’en est aucune qui soit développable d'apres la définition donnée précédemment.

( oO'J )