THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES LIGNES CÉODÉSIQIES

Définition et propriétés fondamentales.

209. Ou désigne sous le nom de lignes géodésiques les lignes d'une surface en chaque point desquelles le plan oscillateur est normal à cette surface. Une propriété remarquable caractérise les lignes géodésiques. Elle consiste en ce que ces lignes sont celles qui déterminent, sur In surface, le plus court chemin d'un point à un nuire. Démontrons d'abord cette propriété.

Soient S une ligne quelconque; m un point suppose mobile sur la ligne S; D une droite entraînée par le point m et assujettie à rester perpendiculaire à la ligne S; n un point supposé fixe sur In droite D et, pur conséquent, tel que la distance m n demeure invariable.

Si nous considérons le point m au sortir d'une position quelconque déterminée, il est visible qu’il communique sa vitesse actuelle à tous les points de la droite I) et que ceux-ci sont animés, en outre, de lu vitesse qu'ils empruntent à la rotation de celte droite autour du point m. Les vitesses qui se transmettent ainsi au point n sont toutes normales à la droite D. Il en est donc de même de leur résultante. De là se déduit , en premier lieu, la conclusion suivante :

Quelle que soit la ivtalion de la droite D autour de la tangente en m à la ligne S , le lieu des points n est une trajectoire orthogonale des positions successives de la droite D.

Considérons la droite D dans l’ensemble de ses positions successives. Cela revient à considérer une suite continue de droites D, toutes perpendiculaires à la ligne S, ou, plus simplement encore, la surface réglée que ecs droites déterminent comme lieu de leurs positions simultanées. Soit U cette surface.

Imaginons que les droites I) sc meuvent toutes à la fois, eliacune d’elles tournant autour de son point in, où elle coupe la ligne S, et restant perpendiculaire à la tangente en ce point. La surface B changera de position et, généralement aussi, de forme. Dans tous les cas la déduction précédente ne cessera pas d’étre applicable. Si donc on désigne par S' le lieu d’une suite continue de points ni pris sur les droites D, d’un même côté et à égale distance de la ligne S, il est visible que la ligne S' sera et restera une trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes de la surface B.

Concevons qu à un instant quelconque, on fixe chacun des points ni dans la position qu’il occupe à ce même instant. Concevons, en outre, que chacune des droites D continue à tourner autour de son point ni comme elle tournait d’abord autour de son point m, c’est-à-dire en restant perpendiculaire en ni à la ligne S', au lieu de l’être en m à la ligne S. La déduction précédente ne cessera pas encore d’être applicable. Si donc on désigne par S" une suite continue de points m" pris sur les droites D au delà et à égale distance de la ligne S', il est visible que la ligne S" sera et restera une trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes de lu surface B.

Cela posé, considérons la ligne S comme étant tracée sur une surface quelconque A, et représentons-nous, pour chaque point de celte ligne, la ligne géodésique issue de ce point perpendiculairement à lu ligne S. Si ces lignes géodésiques sont toutes décrites simultanément par autant de points partant ensemble de la ligne S et animés d’une vitesse éguie en grandeur pour chacun d’eux, il est aisé de voir que les directrices de ces points réalisent les conditions supposées remplies tout à l’heure par les droites D *.

’ Les ligues géodésiques sont caractérisées par la condition qu’elles remplissent d’avoir, en chaque point, leur plan osculu leur normal à la surface A. Il s’ensuit que la directrice du poiul qui décrit une ligne géodesique tourne dans le plan mené par la normale à la surface et par la tangente à celte ligne. L’axe qui correspond à celte rotation est dirigé, eu conséquence, suivaul la tangente menée par le point décrivant perpendiculairement à fa ligne décrite.

La seule différence consiste en ce qu’au lieu de laisser entre elles certains intervalles, les lignes S, S', S", etc., se succèdent d’une manière continue, chacune d’elles étant le lieu des centres autour desquels les directrices des points décrivants tournent toutes ensemble A un certain instant. Les vitesses des points décrivants sont par hypothèse toutes égales en grandeur. II s’ensuit que les points qui deviennent è un instant quelconque les centres simultanés de rotation des directrices sont situés primitivement sur ces droites ù distance égale de ta ligne S. C’est, d’ailleurs, lorsqu’ils s’appliquent sur la surface A qu’ils deviennent centres de rotation et qu’ils se fixent dans la position qu’ils occupent. Il suit de Ta que le lieu déterminé par leur ensemble est une trajectoire orthogonale des lignes géodésiques qu’ils décrivent, et, en outre, que les arcs de ces lignes compris entre cette trajectoire et la ligne S sont tous égaux entre eux. •

De là résulte un théorème important, démontré, pensons-nous, pour la première fois par M. Gauss et formulé, comme il suit, par M. Ossian Bonnet *.

« Si sur une surface on conçoit une courbe quelconque et que,

* des différents points de celle courbe, l’on mène à angle droit » une série de lignes géodésiques de même longueur, la courbé » qui joindra les extrémités de ces lignes coupera chacune d’elles

• à angle droit. •

Ce théorème s’étend de lui-même au cas d’une suite continue de. lignes géodésiques toutes issues d’un même point. On le reconnaît, soit en considérant ce point comme un lieu de concours et renversant ainsi les termes de la question, soit en répétant pour ce cas la démonstration précédente, soit encore en prenant une courbe fermée pour lieu de départ des lignes géodésiques et resserrant cette courbe de manière à n’en faire plus qu’un point.

210. Soient m et n deux points situés sur une surface A. Parmi les lignes géodésiques issues du point ni, il en est une qui passe par le point n; soit man cette ligne. Si nous considérons les trajectoires orthogonales des lignes géodésiques issues du poiul m et

’ Voir le mémoire déjà elle, j>agc il.

uuc courbe quelconque mu'n tracée sur la surface A par les points m et n, il est évident que les intersections de la courbe ma'n avec ces trajectoires 11e se feront pas toujours à angle droit.

Cela posé, concevons deux points mobiles parlant ensemble Fig. 80. du lieu in, et assujettis à décrire simultanément, l’un la courbe «ia«, l’autre la courbe ma'n, le premier avee

Y\ , une vitesse t constante en grandeur, le second avec une

JJ vitesse u.

«■ Décomposons la vitesse u en deux autres, l’une «' di-

rigée normalement à celle des trajectoires orthogonales que le point franchit à l’instant que l’on considère, l’autre « ' dirigée suivant la tangente en u' à celle même trajectoire.

La vitesse u pouvant cire quelconque, supposons-la déterminée de manière à ce que le point u' se trouve à chaque instant sur celle des trajectoires orthogonales que le point n rencontre à ce même instant. Pour qu’il en soit ainsi, alors que l’écart qui s’établit entre les trajectoires orthogonales successives commence en chaque point avec une égale vitesse, il faut nécessairement et évidemment que la composante u de la vitesse u soit constamment égale à la vitesse t*.

La composante u' étant et restant égale à la vitesse v, il s'ensuit que partout où la courbe ma'n coupe obliquement les trajectoires orthogonales mentionnées ci-dessus, la vitesse u l’emporte sur la vitesse v , et que, nulle part, d’ailleurs, elle ne peut être moindre *. Ce n'est donc qu’en vertu d’une vitesse toujours supérieure, ou tantôt égale et tantôt supérieure à celle du point fi, que le point p' peut décrire la courbe ma'n en même temps que le point u décrit la courbe man. De là résultent immédiatement les conséquences suivantes :

1° La courlte man est plus courte que la courbe ma n.

2° Le plus court cbemiti d'un point à un autre sur une surface est la ligne gèodésique passant par ces deux points.

• On a généralement u =r «’*■+. 1<"*= L' v’ -t- m"*. La vitesse u ne (« ut donc être inferieure à v, et elle est nécessairement plus grande pour tous les ixiints où l'obliquité des intoi sections implique l’existence de la composante u".

Courbure géodésique.

211. Soient une surface A ; S' une courbe tracée sur celle surface; ni un point quelconque de la courbe S' ; P le plan qui touche en m la surface A; S" la projection orthogonale de la ligne S' sur le plan P.

Considérons la courbure affectée en m parla ligncS". Elle est évidemment nulle lorsque la courbe S' est une ligne géodésique. Dans tout autre cas elle est, en général, plus ou moins prononcée, et elle constitue, par rapport à la ligne S', une courbure particulière. Cette courbure est désignée sous le nom de courbure géodésique. De là résulte, en conséquence, la définition suivante :

La coirbcre géodésique d’une courbe quelconque tracée sur une surface est la courbure affectée, pour le point que l'on considère, par la projection de la courbe sur le plan qui tourbe lu surface en ce même point.

Soit n un point mobile, assujetti à décrire la ligne S', animé d une vitesse égale à l' unité , et sortant du lieu m à l’instant que l’on considère. Désignons par N la normale en m à la surface A; par Q le plan qui projette la directrice du point u sur le plan P; par p le rayon de courbure qui correspond au point m de la ligne S'; par pi' I» projection du point n sur la ligne S".

Lorsque le point n sort du lieu ni, le plan Q peut être considéré comme tournant autour de la normale N ét cette rotation doit être telle qu’elle communique à la directrice du point In vitesse angulaire

Prenons pour plan de lu figure le plan mené par le point m perpendiculairement à la ligne S', et représentons , par mk la normale N ; par ma la truce du plan P; par me celle du plan osculatcur en m à la ligne S'; par 6 l’angle unie que cçs deux plans font entre eux.

Soit mb la rotation établie autour de la normale mk ou Ai. Elle se communique tout entière à la

Fiy. SC

directrice du point Décomposons celle rotation en deux autres, l une établie autour de l'axe um et représentée par mh, l'autre établie autour de In perpendiculaire élevée en m sur me et représentée par mh. La rotation mil est évidemment snns effet sur le mouvement actuel de l'intersection du plan Q avec le plan oseulateur en m à la ligue S'. Il s'ensuit que 1a vitesse angulaire de la directrice du point fi dépend exclusivement de la 1*01011011 mh. Posons, en conséquence,

mb = ■

Il en résulte, d'après la figure,

cos 9

mh — — — >

et tel est le module de la courbure affectée en m par la ligne S". Disons plus simplement que la courbure géodésimte de la ligncS' est représentée, pour le point m, par l’expression fractionnaire

eus 8

P étant le rayon de première courbure de la courbe S' au point m, et 0 l'angle que font entre eux, pour ce point, le plan oscillateur de la courbe S' cl le plan tangent à la surface A.

O11 parvient plus simplement h l’expression (1) en considérant le cylindre qui projette la courbe S' en S". En effet, sur ce cvlinilre , la ligne S" est une section normale, et l'on peut substituer à la courbe S' la section oblique déterminée par son plan osculatcur. Si donc 011 désigne par p" le rayon de courbure qui correspond au point m de la ligue S", on a, d'après la formule «le Meunier, *

(2) ?' = p"- COS 8,

* Voir au besoin le ir 17b ou le 11 171), payes 443 et 444.

( Mo )

et, par suite,

eus 0

212. Soient T', T" deux droites menées par le point /x', à angle droit l’une sur l’autre, et assujetties à rester constamment tangentes, l une à la ligne S', l’autre à lu surface A. Désignons par P' le plan de res droites et imaginons, comme tout à l’heure, que le point fi' sorte du lieu m en glissant sur la ligne S' avec une vitesse égale à l’unité. Les droites T', T" font entre elles un angle constant : e/fes ont, en conséquence, mêmes rotations autour des memes axes \

Considérons d'ahord la droite T'. Elle coïncide avec la directrice du point fi' sur la ligne S'. Il s’ensuit que sou état actuel de mouvement se résout tout entier en une rotation représentée en grandeur par p , et ayant pour axe la perpendiculaire élevée par le centre de courbure de la ligne S' sur le plan osculatcur de celte meme ligne. Dans le cas le plus général, cette rotation ne peut sc composer qu'avec une rotation sans cfTcl actuel sur lu droite T' et établie, par conséquent, autour de cette droite.

Soit o' le centre de courbure qui correspond au point m de la ligne S' cl o't' la perpendiculaire élevée en o' sur le plan oscillateur correspondant La droite T" est située dans le plan ino't'. Représcntonsla par ml' et nommons o l’angle qu'elle fait avec le rayon de courbure mo'. Il est aise de voir que la rotation y, , établie autour de l’axe ot', a pour composantes :

1" Une rotation — (J établie autour d’un axe normal au plan P ** et représentée par la perpendiculaire o'o" abaissée du point o' sur la droite ml';

Fin. Si.

• 1* partie. Théorème XI. Page Oü.

** Le plan P est le lieu occupé par le plan P’ lorsque le |>oint ju' est en m. Le segment o't' étant pris pour mesure de la rotation p , il est évident qu'elle a |K>ur composantes les rotations représentées eu grandeur, l’une par le segment o'o", l’autre par le segment o"ï.

2" Une rotation ~~ établie autour d’un axe mené par le point a' parallèlement à cette même droite.

Ajoutons à ces deux rotations composantes celle qui résulte, en général, de la rotation du plan oscillateur et qui a pour axe la droite T'. Nous aurons les trois rotations simultanées qui déterminent, en même temps, les états actuels de mouvement des droites T', T” et celui du plan P' dans l'hypothèse où ces droites restent fixes dans ce plan.

Supprimons, en ce qui concerne le plan P’, la rotation — — établie autour de la droite o'o” et dont l'effet consiste à faire tourner ce plan sur lui-mcmc. 11 s’ensuivra que pour restituer aux droites T', T" leur mouvement effectif, il faudra les considérer d’abord comme participant au mouvement du plan P', et, en outre, comme tournant dans ce plan autour du point o" avec la vitesse . Ce premier résultat confirme la déduction du n° 211 . il est clair, en effet, que la rotation— déterminée, comme on vient de le voir, n’est autre chose que le module de la courbure géodésique définie et mesurée précédemment.

Supprimons encore, en ce qui concerne le plan P', la translation qu'il faut composer avec la rotation^- lorsqu’on transporte celte rotation autour de l’axe ml'. L’effet de cette translation consiste à faire glisser le plan P’ sur lui-même avec une vitesse parallèle à la droite T' et égale en grandeur au produit o'o". — • 11 s’ensuivra que pour restituer aux droites T', T" leur mouvement effectif, il faudra les considérer, non plus seulement comme participant au mouvement du plan P' et comme tournant, eu outre, dans ce plan, autour du point o", avec la vitesse , mais, de plus, comme y glissant en même temps avec une vitesse égale en grandeur au produit o'o et dirigée parallèlement à la droite T'.

Transportons en m autour de la normale à la surface A la rotation . La translation qu’il faut composer avec cette rotation , pour qu’elle produise, après son transport, le même effet qu’avant , est égale en grandeur au produit o"m.^r .

Cela posé, voici d'abord comment se résument les déductions (|tii précèdent.

I.e plan tangent, lv roule sans tourner ni glisser sur lui-mémc, de manière à s’appliquer successivement sur tous les points de la ligne S'. Sou mouvement consiste en deux rotations simultanées,

l’une -'"—établie autour de la droite ml' ou T", l’autre établie

autour de la tangente T' avec la vitesse angulaire représentée par N, dans la formule (8) du n° 170, page 438, et dans les formules (1),(2), (4) du n* 18!) *, page 470.

• Veut-on procéder directement, et d’après les données precedentes , à la détermination de celte vitesse? Voici comment on |>eut s’y prendre. Considérons la caractéristique du plan P' et représenlons-la par ma.

Soient d'ailleurs ml, ml' les droites T', T" et fa une parallèle il T' menée par le point I’.