I.a rotation établie autour de la droite mf comniu- P

Fig. «*“■

nique au point a de la caractéristique nui une vitesse perpendiculaire au plan P' et représentée en grandeur par le pro- , , , sin 6

duit al — — - .

Soit Ni la rotation établie autour de la droite m/ou T'. La vitesse imprimée au point a par cette rotation est perpendiculaire au plan P' et représentée en grandeur par le produit mf. Ni . Elle doit d’ailleurs être telle qu'en se composant avec la précédente elle l’annule. De là résulte l'égalité

mf Ni = af

siu é P'

Désignons par i. l'angle mal' que la caractéristique ma fait avec la tangente ml ou T. On a

tg 1 =

mf

af'

et, par suite,

- sin 9

Ni tg ) = -r- P

Soit N la normale en m’ à la surface A. Elle tourne comme le plan P’, c’està-dire avec la vitesse — dans le plan de la section normale niellée par la tangente ml, et avec la vitesse N» autour de cette même tangente. Il suit de

Le point m‘ glisse sur la ligne S' avec la vitesse

, sin 9 ,,003 0 . , ,

o o . t-o ut. sur 9 eos 9 = 1,

ce qui vérifie les données précédentes.

La droite T" participe au mouvement du plan P' de la même

là, qu'en désignant par o le rayon de courbure de la section normale menée par la tangente ml, on a

sin 9

ce cpii donne, conformément au théorème de Meunier,

ft =■ P sin 9 (•),

et, en outre, eu égard à l'équation (3)

— col À

On parvient directement à l'équation (3) en représentant par ma la rotation

totale du plan P' et considérant ses deux composantes rectangulaires ml', ml>, sin 0 —

dont Pmie, mt\ est — , et Pautre, mb, est la quantité cherchée N i . La simple

inspection delà ligure permet d’écrire immédiatement l'équation (3).

Soit mX la trace sur le plau P' de la section principale dont le rayon de courbure est R. Si l'on désigne par a et par y les angles que la droile mX fait , d'une part, avec la tangente ml, d'autre part, avec le prolongement île la caractéristique am, on a , d'après la ligure,

et , conformément à la formule (8) du n" 182, page 148,

tg« igr = — •

( •) On observera que l'angle désigné ici par fl est le complément de celui que la seelion nhliqiio S' fait avw In *-erlinn normal* mené* par U tangent* »«f.

manière que si elle y était fixe. Kilt.* a de plus, il mis ce plan , deux mouvements distincts, l'un de translation qui rond commune à tous scs points la vitesse du point m-', l’autre «le rotation autour du point m et correspondant à la vitesse angulaire .

Ce qui vient d’élrc dit de la droite T" s’applique évidemment et dans les mêmes termes à la droite T\

Consid«!rons la droite T" et tenons compte exclusivement du double mouvement qu'elle a dans le plan P'. La vitesse de translation communiquée au point t' est «!gale a limité. Celle qui résulte pour ee nubile point de la rotation -'”/J établie autour du point m dans le plan P’ a pour expression le produit

^ eos 0 o'wi

Ces deux vitesses sont, d’ailleurs, de même direction et de sens contraire. La conséquence est que le point /’ de la droite T" n’n point de vitesse actuelle dans le plan P'. Il s’ensuit qu’on peut niodifierl'undes énoncés «pii précèdent et dire plus simplement :

Lorsque le plan P' roule , sans glisser ni tourner sur luimême, de manière à s'appliquer successivement sur tous les points de la ligne S', le mouvement, qui anime lu droite T" dans ce plan, se réduit à une rotation simple autour du point t', lu distance mt' étant égale à — .

213. Le théorème que nous venons de formuler conduit à plusieurs conséquences importantes.

Le plan P' se mouvant, comme on l’a supposé tout à l’heure, il est visible que la courbe S' s’y développe sans changer de longueur et qu’elle s’y transforme en une ligne dont les centres de courbure successifs sont situés en t'. Cela revient à dire que, dnns ce développement, la transformée de la ligne S'a pour courbure, en chaque point, la courbure géodésique qui correspond à ce point «le la ligne S’ sur la surface A.

On peut observer, d'un autre côté, que le plan P' ne eesse pas de toucher la surface A le long de la ligne S', et que sa rarnctériss tique, autrement dit son axe instantané de rotation, sc confond à chaque instant avec la tangente conjuguée correspondante. Le lieu de ces axes ou, ce qui revient au même, de ces caractéristiques est évidemment une surface développable sur luqucile la ligue S' est située et qui a pour chacun des points de cette ligne même plan tangent que la surface A. Soit A, cette seconde surface. Un peut 1a substituer à la première sans qu'il eu résulte aucun changement dans la ligne S' et dans le plan taugeut à considérer pour chacun des points de celte ligne. Il s'ensuit que cette substitution n’altère en rien les quantités représentées ci-dessus par p et par 9, ni, par conséquent non plus, la courbure géodésique de la ligne S'. On peut dire ainsi de la courbure géodésique d’une ligne quelconque S' tracée sur une surface A , qu’elle est la courbure de la transformée de cette ligne dans le développement de la surface A,.

Ces premiers résultats peuvent sc résumer comme il suit :

Soient une ligne S' tracée sur une surface A; m un point de celte ligne; S" la projection orthogonale de la ligne S' sur le plan qui touche en in la surface A. Considérons le lieu des caractéristiques qui correspondent au mouvement du plan tangent, lorsque le point in devient mobile et décrit 1a ligne S'. Ce lieu est une surface développable. Désignons par A, cette surface et par S, la transformée de la ligne S’ dans le développement de la surface A,. Cela posé , voici l’énoncé dont il s’agit :

La courbure géodésique de la ligne S' est la même en chacpie point sur chacune des deux surfaces A, A,. Elle est représentée en granileur par lu courbure qu’affecte au j>oint que l'on considère chacune des deux lignes S", S,.

Thènrhnc île Laneret . — Deuxième courbure (fèmlêsiifue.

214. Soient S' une ligne quelconque tracée sur une surface A; in un point décrivant la ligne S'; V la vitesse actuelle du point in ; I) la tangente en ni à la ligne S'.

Désignons par P le plan qui touche en ni la surface A ; par Q le plan osculateur en ni à la ligne $'; par N la normale au plan P; par N' la normale principale qui correspond au point ni de la ligneS' et qui, par conséquent, est située dans le plan Q.

Soient « la rotation du plan P autour de sa caractéristique, et X l'angle de cette caractéristique avec la droite D.

La rotation a a pour composantes rectangulaires dans le plan P : I" Pne rotation établie autour de la droite I) cl représentée par

(1) N, = w.cos i ;

2“ l’nc rotation établie autour de la perpendiculaire élevée en lu sur la droite D, cl représentée par

(2) W = a. sin i.

La rotation composante W détermine le rayon de courbure p de la section normale faite en m suivant la droite D. Cela donne

et, par suite, comme on l’a vu déjà au n" l'AO, page 472,

p.sin x

Elle détermine, en même temps, le rayon de courbure p' qui correspond au point ni de la ligne S'. En effet, si l’on désigne

par f l'angle des deux normales X, N', on a, d'après Ir théorème dr Meunier, et eomme on peut, d'ailleurs , le voir directement,

p’ — p COS y.

De là résulte, en désignant par W' la vitesse angulaire de la directrice du point ni,

... V V COS y W — - — — =r= \\”. COS y,

et, par suite, comme au n" 190, page 475,

^ V COS f W" cos y

p' sin * sin i

On a , d’ailleurs,

(7) M* = NJ -4- W* =- Xî + W'* cos’ y.

Soit X" la rotation du plan Q autour de la droite I). Ho la supposant de même sens que la rotation N,, il est visible que la différence X) — XT, exprime la rotation relative des deux normales X’, N', c'est-à-dire la vitesse angulaire avec laquelle l'angle y croit ou décroît. l)e là résulte,

ou, ce qui revient au même,

Le théorème exprimé par l'équation (9) peut s’énoncer, comme il suit :

La rotation du plan P autour de la droite D est égale à l'excès de ta rotution du plan Q sur la vitesse angulaire avec laquelle varie l’angle des deux normales N, X".

On penl observer <i priori que le plan des droites N, N' est le plan normal de la ligne S'. L’équation (8) peut, dès lors, s’écrire immédiatement, comme traduction directe du théorème XII de la première partie (page 67).