Reprenons l’équation générale

Dans le cas particulier où la ligne S' est une des lignes de courbure de la surface A , on a pour tous les points de cette ligne

De là résulte

Le théorème exprimé par l'équation (I) comporte l’énoncé suivant :

Lorsque la tique décrite est une tique de courbure , il y a constamment égalité entre la rotation du plan oscillateur autour de la tangente et sa rotation relative par rapport au plan tangent *.

Ce curieux théorème a été énoncé, pour la première fois, par Lancret, dans son premier mémoire sur les lignes à double courbure. On voit, par ce qui précède, comment il se déduit immédiatement «lu théorème XII de la première partie. Il implique, d’ailleurs, la conséquence suivante :

Lorsque deux surfaces se coupent partout sous un angle constant , et que leur intersection est une ligne de courbure de l'une de ces surfaces , elle est aussi pour l'autre une ligne de courbure.

Il est clair, en effet, que chacun des deux plans tangents à considérer en chaque point tourne avec la même vitesse par rapport

’ La réciproque est évidente, les lignes «le courbure «‘tant les seules pour lesquelles on ait

au plan oscillateur de l'intersection commune aux deux surfaces. Or, pour l uflc des deux surfaces, il y a, par hypothèse, égalité constante entre la rotation absolue du plan osculateur et sa rotation relative par rapport au plan langent. Cette même égalité subsiste donc, en même temps, pour l'autre surface.

Lorsque la ligne S' est untrxles lignes géodésiques de la sui face A , la normale principale N' se confond avec la normale N et l'angle -r demeure constamment nul. On a donc

De là résulte, en général,

ou, substituant à ces rotations leurs modules respectifs, ce qui revient, comme on sait, à prendre la vitesse Y égale à l'unité,

Quelle que soit la ligne S', sa deuxième courbure est toujours représentée par le module N,. Lorsque celle ligne est une des lignes géodésiques de la surface que Ion considère, le module N, devient égal au module S',. Cette égalité ne subsistant pas en général % M. Ossian Bonnet considère le module comme déterminant ee qu'il nomme la deuxième courbure géodésique de la ligne S'. On a, d’ailleurs, en vertu de l’équation (1),

On déduit de là et de ce qui précède les énoncés suivants :

1° La deuxième courbure géodésique a même module que la rotation du plan tangent autour delà tangente.

2° Lu vitesse avec laquelle le plan tangent tourne autour delà

* L’égalité ilual il s'agit n’a pas lieu seulement pour les lignes géodésiques, elle subsiste, en même temps, cl de la même manière, pour toutes les lignes qui satisferaient il la condition p = constante. Ite là résulte, en effet, v = o et , par suite

direction suivie par le fwint décrivant est égale au produit de la vitesse de ce point par le module de la deuxième courbure géodésique.

3" lorsque la ligne décrite est une ligne de courbure, la deuxième courbure géodésique est constamment nulle et réciproquement.

On ne perdra pas de vue que ces énoncés n'apprennent rien de neuf. Ils ne font que reproduire des résultats déjà connus sous une autre forme.

liquation générale des lignes géodésiques.

210. Considérons une courbe plane- OS rapportée à des axes coordonnés curvilignes. Les abscisses et les ordonnées qui déterminent les différents points de la ligne OS sont, par hypothèse , des courbes quelconques situées dans le plan de reltc ligne, sous la seule condition que les unes soient relativement aux autres leurs trajectoires orthogonales.

Soit y un point mobile assujetti à décrire la ligue OS et sortant du lieu O à l’instant que l’on considère.

Ou peut se représenter le point y connue glissant sur la ligne p.. OX, eu même temps que le point O glisse sur la

ligne OY et entraîne avec lui la ligne OX. On peut ^ supposer, d’ailleurs, que la ligne OX reste normale

en O à la ligne OY, et, qu’en outre, elle ne change

x pas de forme. Rien n'est altéré par là, ni dans la

xitesse actuelle du point />, ni dans la rotation simultanée de sa directrice sur la ligne OS *.

Soient \Vy, W,, W, les vitesses angulaires qui animent simultanément la directrice du point O sur la ligne OY, et les directrices ^ du point y sur les lignes OX, OS. Si l’on désigne par » l'angle que font entre elles les tangentes en y aux deux courbes OX, OS, et qu’on suppose de même sens les trois vitesses angulaires W,, W„

* Voir, au besoin, le principe exposé au U" 104, page 267.

( îttti )

0," V ®V.id<;,n,"c,a • l’001, «pression de la vitesse avec laquelle )iiiKrlc i varie a I origine du déplacement considéré,

rft«= w,+ W,— w, *.

Supposons qu’il s’agisse de trois courbes tracées sur une surrai e A et ayant pour projections sur le plan tangent en O les lignes mentionnées «-dessus et auxquelles l’équation (I) s’applique. Le vitesses angulaires W„ W„ W, s„„t celles qui correspondent au v courbures geodésiques des courbes S„ S„ S. tracées sur la surlace A et projetées actuellement en OX, OY, OS. De là résulte

I indice inférieur indiquant celle des courbes à laquelle se rapportent les quantités qui figurent dans l’expression fractionnaire mise entre parenthèses.

Ces valeurs substituées dans l'équation (I) fournissent immédiatement 1 équation générale

ou les symboles différentiels jicuvent cire considérés comme ex- I” "liant, au punit de vue géométrique, les vitesses qui leur cor- Supposons que la courbe S, projetée en OS, soit une des lignes geodésiques de la surface A. Le module sc réduit à zéro

d 'ailleurs, 0H “ P°Ur ^ ^ ‘,C co"c **nc «-W- On a,’

dx ( Is

CO Si,

dU ds 1

Il vient donc, en substituant,

di

‘ cos 0 “I

"eos 6 "J

ds

— — - 1 cos l -+■* L p A,

L'équation (5), obtenue ainsi très-simplement, est l’équation générale des lignes gévdésiques tracées sur une surface quelconque, les coordonnées étant curvilignes et formant les unes par rapport aux autres un double système de trajectoires orthogonales.

Application aux surfaces de révolution.

i!7. S’agit-il en particulier des surfaces de révolution? Lorsqu’on prend les méridiens pour lignes des ordonnées et les parallèles pour lignes des abscisses, l’équation (5) du n* 210 se réduit à

di

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f eus 8 T