L TT
Il est clair, eu ciTct, que les méridiens sont des lignes géodésiques cl, qu’eu conséquence, on doit, ainsi qu’on lu vu tout à l'heure pour la courbe S., supprimer le terme où le module intervient comme facteur.
Désignons par r le rayon du parallèle représenté par p dans l'équation (4). Il est aisé de \uir que l’un a, généralement ,
dr
eus 6 = — - »
dg
et, remplaçant dg par la valeur égale ds . sin i (voir n“ 2 Iti),
dr
ds. sin i
Celle valeur substituée dans l'équation (4) donne
i dr
(Il . tg { -=a !
ou, ce <|ui revient au même,
d. Iog(r. cos i) = o.
De là résulte
(6) r . eos t = cons" = H eos t ,
R cl r étant les valeurs que les quantités r et «' prennent respectivement au point où la ligne géodésique que l'on considère vient couper l’axe des abscisses.
On voit ainsi comment les lignes géoddsiqucs d'une surface quelconque de révolution sont représentées par l'équation (fi).
Soit S une ligne géodésique tracée sur une surface de révolution. Considérons un point quelconque m de la ligne S cl menons, par ce point, les droites I , T respectivement tangentes, l’une h la ligne S, l’autre au parallèle correspondant. Soit n l’extrémité d’une longueur égale au rayon de ce parallèle et portée sur la tangente T à partir du point m. L’équation (6) exprime le théorème suivant :
Lu projection de lu longueur mu sur lu droite I est constante pour tous les points d'une même ligne géodésique S.
Dans le cas particulier de la sphère, on vérifie aisément que les ligues géodésiques déterminées par l'équation (6) coïncident avec les grands cercles de cette surface.
Soit, en effet , A B C un triangle sphérique rectangle en C. Si
Fiy.Si l’on représente par A, B, C les angles et para, b, H c les côtés opposés, la formule générale
eos A = — eos B eos C -t- sin B.sin C.eos u ,
où l’on doit poser C — !)()", donne
eos A = sin B . eos u.
On a, d’ailleurs,
eos a — — i sin B = eos i ,
K étant le rayon de la sphère, r eelui du parallèle mené par le point B parallèlement au plan du côté b, i l’angle (pie fout entre elles les tangentes menées par le point B, l’une à ce parallèle, l’autre au côté c. De là résulte
(7) H eos A = r cos i ,
et telle est l'équation du grand cercle AB dans le système de coordonnées que nous considérons, le grand cercle AC étant pris pour axe des abscisses.
L'identité visible des équations (ti) cl (7) fournit la vérification annoncée. Le fait , consistant en ce que les lignes géodésiques de la sphère sont toutes des grands cercles, n’exige en lui-inéinc aucune démonstration. Il résulte à priori de la définition de ces lignes.
2 1 8. Proposons-nous de traduire en coordonnées polaires l’équation (6) du numéro précédent.
Le point ni étant projeté sur un plan perpendiculaire à l’axe de révolution, plaçons l’origine au point où cet axe vient percer ce plan, et désignons par a l’angle que la projection du rayon r fait . avec la droite prise pour axe dans ce même plan. On a, d’abord, (voir 11° 217)
dx rdi
et, en outre,
(2) ds1 = dr ’ ■+■ r‘dx! -4- d:‘,
z étant la hauteur du point m au-dessus du plan dr projection. Soit
l’équation de lu ligne méridienne en coordonnées «ordinaires. On en déduit
dz — P (r) • dr,
et, par suite,
(i) </«*= dr* [1 + f(r)*] -t- r'dS.
Considérons l’équation (0) du n” 217, page 528. On a
.... . , fia
(5) r cos î = r* — = cons1' = c.
as
La combinaison des équations (4) et (5) donne, en conséquente,
(fi).
(la. —
air « / 1 -+- /’ ( rf
Lcqualion (fi), ainsi déterminée et ramenée à une simple quadrature, est l’équation polaire des projections des lignes géodésiques pour le eas général des surfaces de révolution.
Dans le cas particulier de la sphère, l’origine étant au centre, ou a
De là résulte
Celle valeur substituée dans l'cqualion (ti) conduit à
R.r.rfr
On vérifie d’ailleurs aisément que l'équation (7) est l'équation polaire d’une ellipse rapportée à son centre cl à son axe principal r, le second axe principal étant égal à R. Si l’on observe, en outre , qu’eu désignant par e l’angle sous lequel la ligne géodésique considérée vient couper Je plan central de projection, on a
c =- R cos t,
il est aisé de voir que l’ellipse, dont il s'agit, est la projection du grand cercle dont le plan passe par l’axe R et fait l’angle c avec le plan de projection.
APPLICATION A L'tLLli>iK>ÏUË ET A l’hYPEKBOLOÏDE.
Théorème de Jouchimslul. — Equation ijènèrule des lignes géodésiques.
oL
219. Soient o ie centre d'un ellipsoïde ; m un point de la surface; ont, ott, ol> trois demi-diamètres conjugués; ma', mb' deux droites situées dans le plan tangent en ni et respectivement parallèles, l'une à la droite oa , l’autre à lu droite ob.
Considérons l’ellipse qui résulte de l'intersection de l’ellipsoïde par le plan diamétral mou.
Si le point m glissait sur celte ellipse, et qu’il entraînât avec lui Fig. 83. unc droite assujettie à rester parallèle à lu tangente mb', il est visible que cette droite ne cesserait pas de toucher l’ellipsoïde. 11 suit de là, comme on l'a vu au n° 174, page 429, que la tangente mb' est la caractéristique qui correspond, pour le plan langent en m , au glissement de ce point suivant la direction ma'.
Soient S la ligne géodésique issue du point m suivant la direction ma', et A l’enveloppe -d’un plan mobile Q assujetti à toucher l’ellipsoïde en chacun des points de la ligne S. L’enveloppe A , lieu des caractéristiques du plan Q, est une surface développable, et nous savons que, dans le développement de cette surface, la ligne S devient droite.
Considérons le point m , le plan Q et le demi-diamètre ob comme assujettis respectivement et simultanément, le point ma décrire la ligne S, le plan Q à toucher en m l’ellipsoïde, le demi-diamètre ob à tourner amour du centre o de manière à rester parallèle à la caractéristique du plan Q. Devenue mobile avec le point m la droite ob engendre un cène. Soient A' ce cône; Q' le plan qui le touche suivant la droite o6;S' le lieu des points b, lieu situé à lu fois sur l’ellipsoïde et sur le cône A’. Le plan Q' ne cesse pas
d'clre parallèle au plan Q, ni, par Toiiséquenl, de cou tenir la droite ba” menée par le pointé parallèlement à la tangente mu'. Mais, d’un autre cèle , la droite bu' est la directrice du point b sur la ligne S' et , comme elle se meut en restant parallèle à la directrice du point m sur la ligne S, les vitesses qui résultent, pour scs différents points, de la rotation du plan Q' autour de In droite 06 sont toutes perpendiculaires à ce plan * **. Il suit de là, sans autre intermédiaire, que la ligne S' est une des lignes géodésiques du cène A', qu elle devient droite dans le développement de ce cène ", et que, par conséquent, la perpendiculaire abaissée du point o sur toutes scs tangentes est constante en grandeur. L’égalité qui subsiste entre cette perpendiculaire et celle abaissée du point 6 sur le demi-diamètre ou implique, en conséquence, le théorème suivant :
filant donné, sur un ellipsoïde, un point quelconque m d’une ligne (jèodèsique S, si l’on mène deux demi-diamètres respectivement parallèles, l’un il lu tungente en m « lu ligne S, l'autre ù la tangente conjuguée, la perpendiculaire abaissée de l’exlrè-
* Celle condition cesse d’avoir lieu lorsque le plan oscillateur de la ligne S n’est point normal à la surface A. Dans ce cas, eu effet , taudis que le plan tangent en ni tourne autour de la caractéristique mb', la tangente nui' tourne dans ce même plan , comme on l’a vu au u° 212, page 315. Il s'ensuit que la directrice du |>oint b sur la ligne S' ne tourne pas seulement autour de la droite ub , mais qu’elle tourne en même temps autour de la uormulc eu b au cône A'. La conséquence évidente est que les vitesses de ses différents points cessent d’étre perpendiculaires au plan Q'-.En d’autres termes et plus simplement, il y a en même temps parallélisme d’une part entre les plans tangents tl , Q', d’autre part, entre les plans qui sont osculateurs, l’un en m à la ligne S, l’autre en b à la ligne S'.
** Étant donnés le point m et la direction de la ligne S en ce |M>inl , ou connaît la longueur ob et l’angle oba”. imaginons qu’on trace la droite ba” et que, sans changer les distances de ses différents points au |>oint o. ou l’applique sur l’ellipsoïde. La transformée de cette droite sera la ligne S’. Cela |>osé , si , pour chaque point de la ligne S', on construit le plan diamétral mené par la tangente en ce jioint et sou diamètre conjugué , il est visible que les extrémités de ce diamètre auront |>our lieu géométrique la ligue S à déterminer.
