MO

mité du second de res demi-diamètre s sur le premier est ronslante en grandeur.

Soit I* la perpendiculaire abaisscc du centre o sur le plan langent en mi à l’ellipsoïde. On sait que le volume compris entre les six plans tangents menés par les extrémités de trois diamètres conjugués est constant. De là résulte, évidemment,

P.D.II = cous1',

D étant le demi-diamètre dirigé suivant oa , et H la perpendiculaire abaissée du point b sur ce demi-diamètre. Mais on a déjà

Il =- cons1'.

• On peut donc écrire aussi ( I ) P.D — cons*'.

Le théorème exprimé par celle équation est dû à M. Jnachimstal. On peut l'énoncer, comme il suit:

filant donné sur un ellipsoïde un point quelconque m d'une ligne géodésique S, le produit du diamètre parallèle ù la tangente en m à la ligne S par la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en m est constant.

Il est entendu .pour ce théorème’, comme pour le précédent , qu'il s’applique à tous les points d’une même ligne géodésique, celle ligne pouvant, d’ailleurs, être tracée soit sur un ellipsoïde, soit sur un hyperboloïde.

On voit aisément qu'il existe une infinité de lignes geodésiques, correspondantes à une même valeur quelconque du produit PI). En général, ces lignes sont au nombre de deux pour un même point. Lorsqu'elles sont au nombre de trois, le point est un ombilic et les lignes géodésiques issues de ce point correspondent toutes à une seule et même valeur du produit P.D.

220. Si I on se reporte à la démonstration précédente, il est aisé de voir qu’elle s’applique aux lignes de courbure, tout aussi

bien , et mémo pins simplement qu’aux lignes géodésiqitcs de l’ellipsoïde et de l’hypcrboloïde. Supposons, en effet, que la ligne S, issue du point m suivant la direetion ma', soit une ligne de hourbure. II s'ensuit que la ligne S' est partout normale au \ génératrices reetilignes du cône. A' et que, par conséquent, le rayon vceteur ob est de grandeur constante *. De là résulte ee premier énoncé:

Etant donné sur un ellipsoïde un point quelconque m d'une ligne de cnurlnire S, si l'on mène deux demi-diamètres respectivement parallèles, l'un à la tangente en m à la ligne S, l'autre à la tangente conjuguée , ces deux demi-diamètres sont rectangulaires et le second est de grandeur constante.

Le reste s’achève comine au numéro précédent. On peut, en conséquence, énoncer aussi eet autre théorème :

Etant donné sur un ellipsoïde un point quelconque lu d'une ligne de courbure S, le produit du diamètre parallèle <i la tangente en m à la ligne S par la perpendiculaire aba issée du centre sur le plan tangent en m est constant pour tous les points de cette meme ligne.

Ces déductions sont, ainsi qu’on le voit , d une grande simplicité.

. Polaires conjuguées.

221. Reprenons les données du n" 219 à cela près qu’au lieu de ranger la ligne S parmi les lignes géodésiques, nous la supposions tout à fait quelconque, sous la seule condition d’appartenir à l’une ou l’autre des surfaces du second degré qui sont pour\ lies d’un centre. Quelle que soit la ligne S, elle ne cesse pas de déterminer, ainsi qu’on la vu, la ligne correspondante S'. De là résulte

' La construction indiquée dans la dernière note, page 532, [tour le tracé d'une ligne géodésique devient plus simple encore lorsqu'il s'agit du tracé d'une ligne de courbure. Dans ce cas, en effet, la ligne S’ n'est autre chose que l’intersection de l'ellipsoïde par une sphère concentrique de rayon connu. On déduit aisément de là l'équation des lignes de courbure.

entre ees deux lignes une dépendance mutuelle cl réciproque qui les lie de telle ffiçon que l une ne peut être donnée sans que l’autre ne s’en déduise immédiatement. C’est à raison de celte dépendance, et pour en rappeler le mode constitutif, que nous désignons les lignes S, S' sous le nom de polaires conjuguées. Nous nommons en même temps roues centraux de conjugaison les cônes dont le sommet est au centre de la surface du second degré que l’on considère et qui ont respectivement pour bases, l’un la ligne S, l’autre la ligne S'.

Cela posé, si nous prenons deux points ni et b, conjugués entre eux, et situés respectivement, le premier sur la ligne S, le second sur la polaire conjuguée S', il est visible que les déductions des numéros 219 et 220 impliquent les énoncés suivants :

Les plans osculateurs qui correspondent aux points m et b de deux polaires conjuguées S, S' sont parallèles entre eux. Il en est de même des deux plans qui touchent en ces points, l'un l'ellipsoïde on l’hyperboloïde donné , l’autre le cône central de conjugaison.

Lorsque la ligne S est une ligne géodésique de l'ellipsoïde ou de l'hyperboloïde , la polaire conjuguée est une ligne géodésique du cône central de conjugaison qui lui correspond.

Lorsque la ligne S est une ligne de courbure de l'ellipsoïde ou de l’hyperboloïde , la polaire conjuguée est une ligne de courbure du cône central de conjugaison qui lui correspond.

222. Le théorème du n" 219 conduit très-simplement à l’équation générale des lignes géodésiques de l’ellipsoïde *.

Supposons qu’on prenne pour coordonnées le double système des lignes de courbure correspondantes aux differents points de la surface. On aura généralement

1 cos’ « sin* »

* Les mônips déductions s'appliquent à l'Iiyperltoloïde.

( :>3fi )

R, R' et p étant les rayons de courbure qui appartiennent respectivement, pour un même point quelconque ni, les «leux premiers aux sections principales, le dernier à la ligne géodésique inclinée de l'angle i sur celle des sections principales dont le rayon de courbure est représenté par R.

Considérons la section faite par le centre de l'ellipsoïde, parallèlement au plan langent en m.On sait, conformément aux déductions du n° 172, page 425, qu'on peut substituer cette section à l'indicatrice. Cela revient à dire , qu’on peut remplacer dans l’équation (I) chacune des quantités R, R' et a par le carré du demi-diamètre dirigé parallèlement à la tangente correspondante. Désignons par A, B les demi-diamètres respectivement parallèles aux tangentes dirigées, pour le pointai, suivant les sections principales, ou , ce «pii revient an même, suivant les lignes de courbure qui se coupent en ce point. Le demi-diamètre parallèle à la tangente en m à la ligne géodésique que l’on considère, étant représenté comme ci-dessus par D, il vient, d’après ce qui précède,

1 eos* i sin* »

^ D* ~ A’ + Bs ‘

Prenons la perpendiculaire désignée par H au n” 219, page 553. Nous savons qu’elle est constante pour tous les points d’une même ligne girodésique, et que l’on a, d’ailleurs, en vertu d’une propriété connue de l’ellipse,

Klevons au carré les deux membres de l’équation (3) et inlroduisnns-lcs comme facteurs dans l’équation (2). On trouve ainsi

(4) . ... B* eos* « ■+- A* sin* « = II’ = eons1*.

Les quantités A et B sont données en chaque point par la direction qu’y affectent les sections principales, il s’ensuit quelles sont indépendantes de l’angle ». L’équation (4) suffit, en conséquence, à la détermination des lignes géodésiques «pii passent par

le point m et pour lesquelles In pcrpemliculairo H affecte l’une quelconque des valeurs qu’elle comporte en ec point. On observera que ces lignes sont, en général, au nombre de deux pour une meme valeur de la quantité II. Cette circonstance ne fait point obstacle à cc qu’on les distingue aisément l’une de l'autre, l'angle qu’elles font entre elles étant le même que celui que font entre eux, dans l'indicatrice centrale, les deux demi-diamètres dont la longueur est I).

On voit ainsi comment l’équation (4) représente, sous une forme à In fois très-simple et Ircs-remarquable, l’équation générale des lignes géodésiques de l’ellipsoïde. Cette équation a été donnée,, pour la première fois, par M. I.iouville, qui la ramène à la forme,

(U). ... f/.1 vos* i >' sin* « — f' — II* — cons'%

p étant le plus grand des demi-axes principaux de l'ellipsoïde. L’équation (îi) revient à

(p4 — a1) CO.V i + (/T — •/*) sin4 » = 114.

Elle doit , d’ailleurs, s’identifier avec l’équation (i). 11 en résulte «pic les variables qui figurent de part et d’autre dans les é«piations(4) el(îi), sont liées entre elles par les relations

(fi) B* = p* — u4. A4 — p4 — >4.

Nous montrerons, dans le numéro suivant, le sens particulier qui s’attache directement aux variables u, y, et comment il s’ensuit qu’elles satisfont aux équations (fi).

223. Considérons un ellipsoïde quelconque et représentons ses ilcmi-nxcs principaux , le plus grand par o, le moyen par V^4 — è\ le plus petit par V^p4 — c4. Soit, d'ailleurs,

l’équation de cet ellipsoïde.

Si nous désignons par u et v deux quantités, l’une comprise entre b et c , l’autre inférieure à b, et que nous prenions, d’une part, l’hyperboloïde & une nappe

d’autre part, l'hypcrboloïdc à deux nappes

^ b1— fl — U,r= ’

il est visible, qu’indépendamment de toutes valeurs particulières affectées séparément par chacune des trois quantités p, a, v, ces trois surfaces sont lioinofocales. On peut vérifier, en outre, que leurs intersections se font partout orlhogonalement ",

* Considérons deux quelconques de ces surfaces, la première cl la deuxième par exemple. Les équations de leur interseclion |>ouvenl s'écrire comme il suit:

fis'*' (p> -<*){?• -c*)~ ’ (/>* — — ft*) ^ (i»*-c*)(A‘* — <•*>

Si , d’ailleurs , on désigne par p et q les dérivées partielles pour la première surface,

on a ,

et , pour la seconde,

Il en résulte, pour condition de perpendicularité entre deux normales quelconques menées par un même point de l’intersection de ces deux surfaces,

r* -4- IJ* *+* 5* = O.

Supposons que l'ellipsoïde soit donné. Il en csl de même des quantités o ,li, r. Les quantités p, v restent néanmoins iudélcrminées et, si l’on en dispose de manière à les faire varier, soit ensemble, soit séparément, on réalise trois séries de surfaces qui se coupent toujours et partout à angle droit. Concluons, conformément au théorème de M. Dupin sur les surfaces orthogonales, (voir n" 183, page 431 ), que les intersections de l’ellipsoïde (1) avec chacun des hyperholoïdes (2) et (3) constituent, par rapport à l’ellipsoïde, les deux systèmes de scs lignes de courbure. Précisons davantage. Lorsqu'on se donne un point m pris sur l’èllipsoïde, on connait les trois coordonnées de ce point. Eu transportant les valeurs de ces coordonnées dans les équations (2) et (3), on détermine les valeurs correspondantes des quantités p et v. De là résulte la détermination complète des deux hyperholoïdes représentés par les équations (2) et (3) et, par conséquent aussi, celle de leurs intersections avec l’ellipsoïde. Ces deux intersections passent par le point m et constituent, par rapport à l’ellipsoïde, les deux lignes de courbure qui se croisent en ce point. Ces lignes étant prises pour coordonnées comme au n" 222, on voit

Substituons aux quantités x*. //• les valeurs fournies par les équations (1). L’équation (2) devient, d'abord ,

Tfl U ~ </>*-r*)(p*— r*)

on, après réduction,

ft* T* L &* + ï*

Il suit (le là que l’équation (2) est satisfaite indépendamment de toute valeur attribuée a la variable s , c'est-à-dire pour tous les points de l’intersection considérée. Le même calcul s’appliquant à deux quelconques des trois surfaces dont il s’agit, il en résulte que partout où elles se coupent c’est à angle droit.

comment elles sont déterminées en ehnqne point de l’ellipsoïde par les équations de condition

(4) [t — eons1' , v = eons1'.

Les détails dans lesquels nous venons d’entrer ajoutent un complément simple et satisfaisant à la solution du numéro qui précède. Pour donner à ce complément toute sa signification , il nous reste à montrer que les quantités n cl v sont les mêmes, de part et d’autre, ici et dans le n° 222, pape o37.

S'agit-il d’abord de déterminer en fonction des variables t* et y les coordonnées x , y, z d’un point quelconque de l'ellipsoïde? La combinaison des équations (I), (2), (ô) permet d'arriver sans peine aux valeurs suivantes :

p.p.y Vu- - b i VL* - ■/-

h L'ÿ — lr

S’agit-il ensuite d’exprimer en fonction de ces mêmes variables les valeurs des demi-diamètres représentés par A et par B dans le n" 222, page 536? On peut procéder comme il suit:

Considérons la ligne de courbure déterminée sur l'ellipsoïde par son intersection avec l’hypcrboloïde (2). On trouve aisément pour les équations de cette ligne,

fV ■** (p, c*)(c* — f**) * ' ’ (.•*—*-)(#.*— ft*) “ (f- r*j (e*-p*) ~

Soit mi un point de cette ligne et T la touchante en ce point. Les angles que les projections de la droite T sur les plans des zx et des zy font avec les axes des x et des y ont pour tangentes respectives, ainsi qu'on le voit aisément d’après les équations (G),

dx pV*.( e’-6’) s dy c *(ps— &*)(**-/>') t

' ‘ ’’ dz ~ 6V— «\> .«*) * ’ fl' ~ fc*(p*— O (r’— f**) V

De là résulte, cil subsliluaul aux quantités x, z 1rs valeurs fournies par les équations (b) ,

dx o. a Ve* — fc1 V r1 — y* ,{z ~ b.v V j^e l/c*— a*

c VJ^y Vf— b* y//— y* b VT— s V?=? l/fi^v

Menons par le centre île l'ellipsoïde une droite T’, parallèle a la tangente T, cl désignons par x’, y", c’ les coordonnées du point où cette droite vient percer l’ellipsoïde. Le dcini-diaiuètrc dirigé suivant la droite 1" est celui que nous avons représenté par A dans le n° page bâti. Ou a donc, eu premier lieu,

On a, d’ailleurs, d’une part,

et, d’autre part ,

(II)

De là résulte , immédiatement ,

( ÎH2 )

et, |wr suite,

rfut1 r* dzl + o*— r*

-b* \ dz

Substituant aux quantités ^ les valeurs fournies parles équations (8) cl réduisant, ou trouve, pour le numérateur de la partie soustractive du second membre de l’équation (14),

cV— r»)

(P*— «*)(«"— I**) (*=*) ’ et, pour le dénominateur de cette même partie,

Il s'ensuit que l’on a, toute réduction faite,

(15) A 4=pJ— v*.

Si l'on considérait la ligne de courbure déterminée sur l'ellipsoïde par son intersection n>ec l’hypcrboloïde (5), il est évident qu’en répétant les mêmes calculs, on arriverait à l'équation finale

L’identité qui subsiste entre les équations (15) et (16) du présent numéro et les équations (6) du n" 222, page 537, met en évidence la vérification qui nous restait à faire.

Formules générales relatives à la théorie des surfaces.

224. Reportons-nous aux considérations du n” 20!), page 509, et développons-lcs davantage.

Soient S une ligne quelconque d’une surface A; p un point sup-

posé mobile sur la ligne S; m le lieu aeluel du poinl p; U une droite issue du point p, entraînée par ee point et assujettie à rester normale à la ligne S; n un point de la droite D; i la distance du point n au point p.

Désignons par e la vitesse aetueilc du point p; par u celle du point n; par P le plan que déterminent la droite 1) et la tangente en m à la ligne S; par S', m' et p' les projections orthogonales de la ligne S et des points m et p sur le plan P.

La vitesse « résulte de deux composantes rectangulaires, l’une parallèle à u et située dans le plan P, l’autre perpendiculaire à ce plan et provenant de la rotation de la droite D autour de la tangente en m à la ligne S.

Nommons ® l’angle des vitesses r, u. La première composante a pour expression

H COS f.

Mais, d’un autre côté, le mouvement de la droite D dans le plan P sc compose d’une translation qui rend commune à tous les points de celte droite la vitesse v du point p, et, en outre, d'une rotation établie autour de ee point avec la vitesse angulaire qui anime la directrice du point p' sur la ligne S'. Soit \V' cette vitesse augulaire et b l’angle que la droite D fait avec la normale principale menée en m à la ligne S. Lu désignant par p le rayon de courbure qui correspond à ce même point, on a

YV

eos b

la quantité étant , comme on l’a \ u aux numéros 21 1 et suivants, le module de la eourburc géodésique affectée en tu par la ligne S, ou, ce qui revient au même, le module de la courbure affectée en tn' par la ligne S'.

Supposons le point n pris du côté de la concavité. La vitesse qu’il emprunte à la rotation Y\" est exprimée en grandeur par le produit