I. — Systèmes d'éléments cotés

1. Points et lignes à une cote. — Si des points dépendant d'un paramètre sont marques sur un plan» la valeur correspondante du paramètre étant inscrite à côté de chacun d'eux, ils constituent un système de points

Fig. I.

(ot) yo

à une cote {fig* i). Si les coordonnées x ely de ces points s'expriment en fonction du paramètre oc par

ces points sont distribués sur la ligne définie par l'ensemble de ces deux équations paramétriques, ligne qui est dite le support du système (a). Ce support est rectiligne lorsqu'il existe une relation linéaire entre les fonctions y et 9.

Dans ce cas, le support étant pris pour axe des .i-, et les points marqués sur cet axe étant définis par

on a ce qu'on appelle Y échelle de la fonction f{oS) (*). Si de même, dans un système de lignes dépendant d'un paramètre (système simplement

(') Les échelles pratiquement les plus utiles à considérer sont celles des fonctions a, loga et cosa, et celles qui s^en déduisent projectivement par la formule

Si d*ailleurs une telle échelle et celle de la fonction /(a) sont portées sur deux droites divergentes telles qu^au point commun à ces deux droites la cote soit la même sur Tune et Tautre échelle, ces deux échelles sont effectivement projectives Tune de l'autre, c^est-à-dire que les droites joignant leurs points de même co(e passent toutes par un même point, centre de projection (7*. de IV,, p. i5).

MAURICE d'oCAGNE.

infini), on cote chacune de ces lignes au moyen de la valeur correspondante du paramètre, on obtient un système de Ugncs a une cote {fifÇ. 9- V

Si inéquation définissant le système est

les lignes (a) sont tangentes à une certaine enveloppe E dont Téquation s'obtient, comme on sait, en exprimant que Téquation précédente a une racine double en a. La considération de cette enveloppe ne peut d*ail-

Fig. a.

lem*s, comme on le verra par la suite, ofirir d'intérêt pratique que si les lignes (a) sont des droites.

2. Points et lignes à deux cotes. — On peut aussi considérer des points dépendant de deux paramètres et les figurer sur un plan. Soient

•^=/(a, p), j = cp(a, p),

les équations définissant les coordonnées de ces points. Pour chaque valeur de a, la variation de ^ dans ces équations donne naissance à une courbe qui sera cotée au moyen de cette valeur de a; de même, pour chaque valeur de (3, la variation de a donne naissance à une courbe qui sera cotée au moyen de cette valeur de p. Un point correspondant à des valeurs particulières de a et ^ sera dès lors à la rencontre des courbes (a) et (P) cotées au moyen de ces valeurs particulières. Ainsi se trouve défini un système àe points à deux cotes {fig^ 3). On peut dire qu'un point à deux cotes est un point défini dans un système quelconque de coordonnées curvilignes

L'ensemble des systèmes (a) et (P) ci-dessus définis constitue le réseau (tu système fa, P).

Exceptionnellement, il peut se faire que les fonctions /"(a., j3) et 9(a, p) ne soient pas indépendantes, et que l'on ait identiquement

Dans ce cas tous les points (cl, ^) se trouvent sur ta ligne dont l'équation est

chaque point de cette ligne correspondant à une infinité de couples de valeurs de a et p. On dit alors que les points à deux cotes sont condensés

sur cette ligne qui est appelée leur support. Nous verrons un peu plus loin, après avoir parlé des lignes condensées, comment on peut figurer graphiquement un tel système de points cotés.

La figuration simultanée de lignes dépendant de deux paramètres n'est généralement pas possible sur un plan, attendu qu'à chaque valeur de l'un des paramètres corresj)Ondrait un système de lignes à une cote, et que la superposition des systèmes correspondant aux diverses valeurs attribuées à ce paramètre produirait un enchevêtrement absolument inextricable à la vue.

Il n'y aura exception que si toutes les lignes à tracer se réduisent graphiquement à un système simplement infini dont chaque ligne correspond

MAURICE d'oCAGNE.

alors à une infinité simple de couples de cotes. Cette circonstance se produit lorsque l'équation du système à deux cotes est de la forme

En effet, toutes les lignes (a, P) correspondant à des couples de valeurs de a et [3, pour lesquels la fonction 6 (a, P) a une même valeur t, sont alors coiiicidents. Les lignes (a, P) sont alors condensées en les lignes (t).

Comment, en ce cas, pourra-t-on figurer les divers couples de valeurs des paramètres a et p correspondant à chaque ligne (t)? Par le procédé bien simple que voici : à travers le système des lignes (t) définies par l'équation

traçons un système de lignes absolument quelconques que nous faisons dépendre de l'un des deux paramètres, oc par exemple, par une équation

telle que

Si maintenant nous nous fixons une certaine valeur pour (3 et si nous considérons tous les couples de valeurs correspondants de a et ^ résultant

de l'équation

nous voyons que les points de rencontre des lignes (t) et (a) correspondantes se trouveront sur une ligne, dont l'équation

résulte de l'élimination de a et ^ entre les trois précédentes, et qui pourra être cotée au moyen de la valeur choisie pour (3. En faisant varier cette valeur de P, on obtiendra un système de lignes ((3), défini par la dernière équation écrite, et qui, joint au système des lignes (a), choisi arbitrairement, fait connaître les divers couples de cotes afférents aux lignes du système (t) {fig. 4).

EXPOSE DES PRrNCIPES FONDAMENTAUX DE LA NOMOGRAPHIE. 7

On profitera d'ailleurs de l'aléa que présente le choix du système (a) en vue de la plus grande simplicité possible.

L'ensemble des systèmes (a) et (p) forme le réseau de cotes du système (f), et la ligne (ce, ^) n'est autre que la ligne {t) passant par le point (a., P) de ce réseau.

Inversement, si l'on se donne une ligne [t) et l'une de ses cotes a,

l'autre cote s'en déduit immédiatement; c'est la cote p du point où la ligne {t) considérée rencontre la ligne (a) du réseau.

Si les lignes condensées {t) sont des droites A parallèles ( fig. 5), leur

ensemble constitue ce qu'on appelle une échelle binaire ( ' ).

On voit maintenant qu'on peut définir un système de points condensés par la rencontre de leur support avec un systèmequelconque de lignes (()

(') L'emploi systématique de telles échelles a été proposé pour les abaques hexagonaux par M. E. Prévôt.

8 MAURICE d'oCAGNE.

condensées, et, en particulier, puisqu'on peut prendre pour ces lignes (t) les parallèles à l'un ou à l'autre des axes Ox et Oy, qui nous ont servi à définir ces points, par la rencontre de leur support avec une échelle binaire.

Remarque. — On pourrait de même définir les cotes d'un système de lignes condensées (t) au moyen d'un second système {(') muni d'un réseau de cotes et tel qu'il existe une correspondance univoque simple (par contact, par exemple) entre les lignes (() et les lignes (r'). Théoriquement, il ne semble y avoir là qu'une complication superflue ; pratiquement, cela peut permettre, le cas échéant, d'éloigner ad libitum le réseau de cotes du centre du tableau en vue d'une plus parfaite netteté.

3. Éléments à n cotes. — Il résulte de ce qui précède qu'un réseau de points à deux cotes provient de la rencontre de deux systèmes de lignes à une cote, et qu'un système de lignes condensées à deux cotes emprunte les cotes d'un réseau de points à deux cotes à travers lequel il est tracé.

Rien n'empêche dès lors de considérer les deux systèmes constituant

un réseau de points à deux cotes comme étant eux-mêmes des systèmes de lignes condensées à deux cotes définies au moyen d'un réseau ad hoc.

I^a répétition de cette opération permet, comme on voit, de multiplier autant qu'on le veut, théoriquement du moins, le nombre des cotes afférentes à un système quelconque d'éléments, points ou lignes, donnés.

La figure 6 donne, par exenij)le, la représentation schématique d'un système de courbes C à quatre cotes a, p, y, o. La courbe C correspondant à un système de valeurs des quatre variables est celle qui passe par le point de rencontre de la ligne condensée (a, P) et de la ligne condensée (y, S). Et l'on voit que, si la courbe C est donnée ainsi que trois de ses cotes, la quatrième s'en déduit immédiatement.

Si les courbes C étaient des droites parallèles, leur ensemble constituerait ce qu'on appelle imeéchelle multiple. Kn voici un exemple (') : supposons que les lignes (a, p) soient des parallèles à Oy, données par

et les lignes (y, è) des radiantes issues de l'origine O, et données par j- = a:<î-(Y, ô).

Les premières seront définies par un réseau de cotes dans lequel les

Fig. 7.

lignes (a), choisies arbitrairement, pourront être des parallèles à Ox; et,

C) Ce type particulier d'échelle multiple a été employé par M. Lallemand dans ses abaques hexagonaux.

M. dO. a

lO MAURICE d'oCAGNE.

de même, les secondes par un réseau de cotes dans lequel les lignes (y) pourront être des parallèles à O^*. On obtiendra ainsi la figure 7, sur laquelle les parallèles à Ojc passant par les points de rencontre des parallèles (a, p) à Oy et des radiantes (v, 8) constituent une échelle (a, p, y, ô)

donnée par

Si, au lieu de radiantes issues de l'origine, on avait, sur le réseau (y, 8), tracé des droites appartenant à un système simplement infini quelconque, leur équation eût été de la forme

et l'échelle multiple obtenue, de la forme

Il est inutile d'insister davantage sur ce sujet. Mais, de ce qui précède, résulte cette conclusion importante : analytiquement , tout élément à plus de deux cotes dépend de ces cotes peu* un enchaînement de fonctions de deux arguments.