II. — Représentation nomographique sur un seul plan

4. Éléments en contact. — Ayant défini des éléments à un nombre quelconque de cotes, on voit que le problème de la représentation nomographique sur un seul plan (c'est-à-dire sans élément mobile) se pose d'une manière générale comme suit :

Étant donnée une équation à n variables, établir^ si possible^ entre un élément à p cotes et un élément à n — p cotes, figurés sur un même plan, une relation de position pouvant se juger à simple vue et qui se traduise analytiqtiement par une relation entre les n cotes, prises pour variables, i/lepitique à V équation proposée.

EXPOSlé DES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA NOMOGRAPHIE. I I

Pour préciser cet énoncé quelque peu vague, nous admettrons le postulat que voici, dont un peu de réflexion permet de reconnaître la justesse.

La seule relation précise de position entre deux éléments y qui puisse être jugée à vue, c'est leur contact.

Pour donner à cet énoncé toute sa généralité, ^il convient de dire qu'un point est en contact avec une ligne lorsque ce point est situé sur cette ligne. En particulier, le parallélisme de deux droites rentrera dans la désignation du contact, pris dans le sens étendu oii nous Tentendoiis ici, si Ton considère qu'il peut se traduire par le fait pour Tune de ces droites de passer par le point situé à l'infini sur l'autre.

D'une manière générale, si les éléments désignés par les lettres Aet B sont en contact, nous exprimerons cette relation par la notation

AhhB.

Lorsqu'un élément E dépendra des cotes a, (3, y, ... , nous l'indiquerons par la notation

Si , sans spécifier les cotes a, [3, y, . . . attachées à l'élément E, nous voulons simplement faire connaître leur nombre /i, nous écrirons

De la sorte, la représentation nomographique ci-dessus définie s'exprimera par

Lorsqu'il sera spécifié que l'élément E sera un point nous ferons usage de la lettre P, Nous verrons plus loin l'intérêt qu'il yak considérer à part les cas où cet élément appartient soit à un système de droites paralèlles,

12 MAURICE D OCAGNE

soit à un système de cercles concentriques ; aussi réserverons-nous spécialement à la désignation de ces cas les lettres A et F.

3. Équations à deux et à trois variables, abaques. — Supposons tracés sur un plan deux systèmes quelconques de lignes à une cote

dont l'ensemble définit un réseau de points à deux, cotes {^a.^,a.^), et soit

t^{a.,,a.^) =0 une équation quelconque entre les variables a, et a.,. 11 est clair que tes

(f) points fa,,aj) dont le couple de cotes satisfait à cette équation sont situés

EXPOSÉ DES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA NOMOGRAPHIE. I v3

8ur une ligne L dont Téquation s'obtiendrait par réiimination de a^ et aj, entre les trois précédentes.

Le choix des équations (a,) et (a^) étant arbitraire, on peut toujours les prendre sous la forme

ce qui (lorsque, suivant l'habitude, on fait croître a^ el a^ par échelons

égaux) donne au réseau (a^^a,) l'aspect d'un damier (en grec à6a$)d'où

le nom &abac]ue donné à une telle représentation.

Voici {fig- 8), à titre d'exemple, l'abaque de l'équation de la probabilité

des écarts

N = iooo6(p), où

Si, l'équation étant écrite sous la forme

on définit le réseau (oCf,^,) parles équations

la ligne L devient une droite. La figure 9 indique cette transformation pour l'abaque de la 6gure 8.

Reprenant les systèmes quelconques (a^l et (a^) qui définissent cidessus le réseau («.1,^2) de points à deux cotes, donnons-nous maintenant une équation à trois variables

cp((X,,a,,(X3) = o.

A chaque valeur de a, correspondra une ligne L dont l'équation,

l4 MAUHICB d'ocaUNE.

proviendra de l'élimination de a, et a, entre les équations (et,,), (a,) et ré(]uation donnée. L'ensemble de ces lignes 1- constituera nnsystèiiie (et,)

(f) à une cote, et l'on voit que pour un système f/e valeurs fie et,, a,, a.^sotis-

Fij. .o.

/•lisant à l'équation donnée, /e point (a, ,0:3) sera en coritttt-t avec la

ligne (cl ^). Autrement dit, les lignes (^i), (a^) et (a,) correspondantes concourent en un même point, ce qui montre que le même diagramme coté [fig. lo) se prêtera également bien au calcul d'une quelconque des trois variables en fonction des deux, autres.

Ici encore, on pourra prendre les équations (a^ ) et (a,,) sous la forme

ce qui conduira à la disposition en abaque (') de la figure 1 1.

Fig. XI.

Remarque. — Le mode de représentation ci-dessus repose sur le contact d'un point et d'une ligne. Plus généralement, on pourrait envisager le contact de deux lignes; mais une telle extension ne présenterait aucun intérêt, car, outre que le nomogramme qui en résulterait serait graphiquement moins simple, il ne saurait s'appliquer à des équations analytiquement plus générales, puisque la méthode précédente est applicable à des équations à deux ou à trois variables absolument quelconques.

6. anamorphose géométrique. — Puisqu'on peut, dans tous les cas,

(*) Par extension du terme, on a pris Thabitude de désigner parle moi abaque toute espèce de diagramme colé se prêtant au calcul à vue. Nous pensons qu^l est plus rationnel, ainsi que Ta proposé M. Schilling, de réserver cette appellation aux. Tableaux cotés dont la disposition rappelle celle d^un damier, et d^appliquer aux représentations cotées de genre quelconque le terme de nomogramme.

l6 MAURICE d'oCAGNE.

constituer le système (a^,aj) au moyen de parallèles àOj:etOj formant un damier régulier, il ne semble pas a priori qu'il y ait lieu d'envisager d'autres systèmes (a^ja^). Mais l'intérêt qui peut s'attacher à d'autres choix résulte immédiatement de la remarque que,. dans certains cas, alors que le système (a^ ,aj,) régulier, défini par

conduirait à des lignes (a, ) plus ou moins compliquées, d'autres systèmes (a^,a2l également constitués de droites, mais autrement définies, pourront conduire à n'avoir pour lignes (a,) que des droites.

C'est la substitution d'un tel système (a^,aj) au système régulier dont la considération s'offre en premier lieu, qui a reçu de Lalanne, premier auteur de la méthode, en i846, le nom A' anamorphose géométrique.

Lalanne fît d'abord cette remarque à propos des équations de la forme ( * )

(^) Le problème consistant à reconnaître si une équation donnée peut prendre la forme (I) a été résolu par Je comte Paul de Saint-Robert. Pour la forme (II) le problème a été résolu séparément par MM. Massau et Lecornu. Les résultats peuvent s'énoncer ainsi : De Téquation donnée en a^^ a^, a,, on tire

Si l'on pose — =^, Téquation sera réductible au type (I) lorsqu'on aura P^

Si Ton pose

P\Pt ' PiPi àoL^doL^ ~~ ' du âu~~ *

Téquation sera réductible au type (II) lorsqu'on aura

âoLi âoii

Px '^ P^^ Pour les démonstrations, voir : 7'. û?e jV., p. 4i8 à 427.

qui se traduisent par un abaque à trois systèmes de droites parallèles lorsqu'on définit le système (a,,, a,,) par les équations

ce qui donne pour les lignes (a.)

L'équation de la multiplication, lorsqu'on l'écrit loga, + loga, = logo-i»

donne ainsi lieu à l'abaque de la figure i a.

Lalanne étendit aussi sa méthode aux équations de la forme

dont l'abaque, lorsqu'on définit encore le système (a.,,aj) au moyen des équations

MAURICE D OCAGNE

est constitué par les droites

M. Massau fît remarquer, en i884, que l'anamorphose la plus gêné raie s'applique aux équations qui peuvent se mettre sous la forme (* )