III
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et sont effectivement représentables par l'entrecroisement des trois systèmes de droites (')
7. ?iomo g ranimes h systèmes de cercles. — A notre tour, nous avons fait remarquer' qu'il était tout aussi intéressant, au point de vue de la simplicité de la construction, de considérer à part les équations représentables au moyen de systèmes de cercles, envisagés seuls ou associés à des systèmes de droites. Nous avons, à cet effet, considéré trois systèmes définis par des équations telles que
«. (^' +7*) + xfz -t- J?, -t- i>, = o,
(*) Le problème dont la solution a été indiquée ci-dessus pour les équations des types (l) et (II) reste à résoudre pour le type (III). M. Duporcq a loulefois fait connaître des conditions suffisantes (mais non nécessaires) de réductibililé à ce type. {T. de JV., p. 4^7)
(*) On trouvera un exemple d'abaque de ce genre au n* 51 du T, de N. (p. 109). Nous ne le reproduisons pas ici parce que, pour les équations de ce type, et en particulier pour Texemple en question, la méthode des points alignés dont il sera parlé plus loin fournit une solution beaucoup plus satisfaisante.
où, d*une manière générale, a,,^, ç,, ^,. désignent des fonctions delà seule variable a^. ('), et nous avons eflTectué Télimination sous forme symétrique de X ety entre ces équations par la méthode suivante :
Éliminant x^ -H 7* entre les trois équations précédentes prises deux à deux, on obtient
fa
Ta
ff»
Si Ton additionne ces équations après les avoir multipliées respectivement une première fois par cp,, ç^, cp,, et une seconde par/,,/^,/,, on obtient les deux suivantes :
Si, après avoir posé
(^ ) T. de N., p. 1 13. A cet endroit nous considérons les a/ comme des constantes. 11 n'est ni plus ni moins général de les regarder comme des fonctions des a,.
*20 MAURICE d'oCAGNE.
nous convenons de représenter par D^ D^, D^ ce que devient ce déterminant lorsqu'on y remplace les/,', les cp,- ou les ^^ par les a,, nous voyons que les équations précédentes peuvent s'écrire
Portant les valeurs de x et de y tirées de là dans Téquation du cercle (a,), nous avons
Or, on vérifie que
/;D^+cp.D^-h<]>,D^ = a,D.
Il vient donc finalement, pour le type des équations représentables au moyen de systèmes de cercles,
(IV) D)4-D^ + D^D=o.
Il suffit de prendre un ou deux des coefficients a^ égaux à zéro pour avoir, sur le nomogramme, un ou deux systèmes de droites.
Comme exemple d'une telle équation nous citerons la suivante (*) :
k' -{- kp sin cp cos <p — ^ cos* çp = o ,
qui se rencontie dans le calcul des murs de soutènement et qui rentre dans le type général (IV) lorsque, faisant correspondre respectivement ç, ketp àa^, a^ et ag, on prend
«, =o, /, =tang(p, cp, ==— I, ^i=o,
(1) T, de JV., p. ii5.
Le nomogramme obtenu, constitué parles droites (m) xtangçi — y^^o,
(k) — f + Ay^^-^o
et les cercles
(p) x' -hy' -~px=Oj
est représenté par la figure 1 3 .
Nous avons fait voir d'ailleurs (') que l'équation quadratique
à 3 variables la plus générale est représentable par deux systèmes de droites parallèles et un système de cercles bitangents à une conique, systèmes qui sont réels si la quadrique définie par cette équation a, parallèlement à l'un quelconque des plans de coordonnées, des sections du genre elliptique.
8. abaques hexagonaux. — Lorsque l'équation à 3 variables représentée est du type (I), son abaque se compose de trois systèmes de droites parallèles, respectivement perpendiculaires à Ox, à 0/ et à la bissectrice O; de l'angle xOy. Si l'on inscrit les cotes de ces trois systèmes de parallèles respectivement sur ces trois axes (fig. i4)i on obtiendra sur ceux-ci les échelles des fonctions
(>) T. de N., p. 465.
uu
MAURICE D OCAGNE
et Ton pourra ne conserver de l'abaque primitif que ces trois échelles, pourvu que l'on dispose de trois index concourants I^, Ij, I3 respecti-
Fig. 14.
vement perpendiculaires à ces trois échelles et pouvant être déplacés en consentant leur orientation.
Un tel artifice, proposé en 1 88 1 par M. Blum à l'occasion d'une application particulière, a été, en 1886, imaginé de son côté par M. Lalleniand (*) qui Ta très heureusement complété en prenant pour directions
Fig. i5.
des systèmes (a,), (a^) et [cl^) celles des diagonales d'un hexagone régulier (Jlg* 1 5), ce qui permet de construire l'échelle Oz avec le même
(^) La contribution personnelle de M. Lallemand comprend, en outre, nombre de remarques sur la disposition des abaques conçus diaprés ce principe, qui sont d'un intérêt trop exclusivement pratique pour trouver place ici. Nous renvoyons le lecteur à la section correspondante du T, de N. (p. 67 et suiv.).
EXPOSÉ DES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE La NOMOGRAPHIE. tlS
module que les deux autres. On trouve, en effet, bien aisément que les échelles correspondantes sont, en ce cas, données par
J^. Équations à plus de trois variables. — Nous venons de voir que le mode de représentation le plus général d'une équation à trois variables sur un plan consiste dans le contact de points à deux cotes avec des lignes à une cote. Il suffît donc de multiplier le nombre des cotes, suivant ce qui a été vu au n*' 3, pour obtenir la représentation d'équations à un plus grand nombre de variables. Mais on peut se borner à effectuer cette multiplication des cotes pour les lignes mises en contact avec les points à deux cotes. En effet, dans l'enchaînement des systèmes de lignes condensées, qui constitue le nomograinme obtenu comme on vient de le dire, on est toujours libre de considérer deux des systèmes de lignes, situés à une extrémité de la chaîne, comme constituant un réseau de points à deux cotes, et de rattacher, par ramifications successives, toutes les autres cotes figurant sur le Tableau aux lignes en contact avec ce réseau. On peut donc énoncer le principe suivant :
Le mode le plus général de représentation d'une équation à n variables, sur un seul plan, consiste dans le contact de points à 2 cotes avec dvs lignes an — 2 cotes, lignes qui, à partir de n = 4> ^o^f^ des lignes con-
DENSIÉES.
Il convient de remarquer d'ailleurs que pour passer d'un nomogramme à n variables à un nomogramme à /i -f- i variables il faut munir un des systèmes à une cote du premier, placé à une extrémité de la chaîne, d'un réseau décotes constitué par deux systèmes de lignes à une cote, dont l'un est arbitraire ainsi qu'on l'a vu au n° 2. Le nombre des systèmes figurant sur le nomogramme est donc augmenté de 2 et celui des systèmes dont on dispose arbitrairement, de 1. Appliquant cette remarque, à partir de Aï = 3, on peut compléter T énoncé ci-dessus de la manière suivante :
MAURICE D OCAGNE
Le nombre total des systèmes de lignes figurant sur un nomogramme à n variables est égal a un — 3, dont n systèmes cotés et n — 3 systèmes de liaison. Sur ces un — 3 systèmes, n — i peuvent être choisis arbitrairement.
En particulier^ pour une équation à 4 variables, le mode de représentation le plus général sur un plan consistera dans le contact de points à 2 cotes avec des lignes à a cotes. D'autre part, comme sur les 5 systèmes de lignes (4 cotés et i de liaison) figurant sur le nomogramme, 3 pourront être choisis arbitrairement, on sera toujours libre de constituer le système de liaison par des parallèles à Ox (') et l'un des systèmes cotés de chacun des réseaux unis par ce système de liaison, par des parallèles
Fig. i6.
àOj^, de sorte que l'abaque- de la figure i6 correspond à l'équation à 4 variables la plus générale représentable sur un seul plan. Une telle équation peut, comme on voit, s'écrire
(^) En constituant un système de liaison au moyen de droites parallèles, on a ravantap;e de pouvoir ad libitum faire glisser le long de ce système les réseaux quMl sert à relier, ce qui permet de mieux, dégager les parties distinctes du nomogramme.
EXPOSÉ DES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA NOMOGRAPHIE. y. 5
En résumé, si l'on examine la façon dont vient d*être indiquée la formation de nomogrammes à plus de v^ variables par substitutions successives à des systèmes à i cote de systèmes condensés à 2 cotes, on voit que les équations correspondantes seront construites en prenant une fonction de deux arguments, y remplaçant ceux-ci par des fonctions de deux autres arguments, et ainsi de suite, ce qui montre que toute équation rcprésentable nomographiquernent sur un seul plan doit pouvoir être résolue par une suite finie d'opérations portant chacune sur deux arguments au plus (*).
Pour atteindf^e à des modes plus généraux de représentation il faudra donc trouver le moyen de faire intervenir des systèmes d'éléments à 2 cotes non plus condensés, mais tous distincts; c'est ce à quoi on arrive grâce à rintroduction d'éléments mobiles ainsi qu'on va le voir.
III. — Représentation nomographique sur plusieurs plans mobiles
