SUPERPOSÉS

10. Systèmes de lignes a deux cotes engendrés au moyen d'un élément mobile. — Si toutes les lignes constituant un système à deux cotes peuvent être obtenues par les déplacements, sur le plan dunomogramme, d'une ligne de forme invariable, il est clair qu'il suffira de tracer celle-ci sur un plan transparent superposé au premier pour engendrer le système voulu, à la condition toutefois que le premier plan soit pourvu des repères nécessaires à fixer la position de l'élément mobile pour un couple de valeurs données des cotes correspondantes (^).

(■ (*) Alors que Teraploi de transformations de Tschirnhausen permet d'étendre ce mode

de résolution à des équations algébriques quelconques ]us(\\i\u 6® degré, M. Hilbert, dans une Conférence faite devant le Congrès des Mathématiciens en 1900 {Compte rendu du CongrèSj p. 91), a proposé de démontrer qu'il ne saurait avoir lieu pour le 7" degré. Ainsi qu'on le verra plus loin (n° 15) l'adjonction d'une simple droite mobile permet de résoudre nomographiquernent les équations du 7® degré.

(') Il y a lieu d'établir une distinction entre les éléments mobiles, tels, par exemple, que le transparent à index servant à la lecture des abaques hexagonaux (n® 8), qui remplacent des systèmes simplement infinis ou condensés, et ceux qui permettent d'engendrer des M. d'O. 4

'jA\

M\URICE I) OCAGNE.

Un premier exemple, qui se présente immédiatement à l'esprit, est celui d'un système de cercles de même rayon, à deux cotes. Les centres de ces cercles forment en effet un système de points à deux cotes, défini sur le plan fixe par un réseau (n*' 2). Il suffît dès lors de tracer sur le plan transparent mobile un cercle du rayon donné, avec son centre, pour lui faire prendre la position correspondant à un couple de cotes données en amenant son centre en coïncidence avec le point du réseau défini par ces deux cotes.

Grâce à l'introduction d'un élément mobile, il sera également possible d'engendrer un système de droites à deux cotes absolument quelconque.

Soit, en effet, le système le plus général défini par Téquation

•^'/(o^i»a,)+jcp(a,,aj-hij^(a,,a,)=o.

Suivant que, dans cette équation, on fait varier a^ en laissant 0L^ fixe, ou réciproquement, on obtient pour la droite correspondante une enveloppe cotée au moyen de la valeur fixe correspondante et que nous représenterons, dès lors, par (a,) dans un cas, par (a^) dans l'autre.

Fip. 17.

Ces deux systèmes d'enveloppes (aj et (a^) pourront être figurés sur le plan {Jlg> 17). Si donc on applique sur ce plan un transparent sur lequel est tracée une droite A (* ), de façon que cette droite soit tangente à la fois

systèmes doublement infinis non condensés. Les premiers introduisent plus de simplicité et de netteté dans la construction et la lecture de certains nomogrammes, qu^il est d\iilleurs possible de construire sans avoir recours à leur emploi; les seconds permettent d'établir certains modes de représentation qui seraient impossibles sans leur intervention.

(*) Cette droite mobile pourra être réalisée matériellement de toute autre façon, en particulier, au moyen d'un fil tendu ; mais, pour plus de commodité dans le mode d'exposition, nous regarderons toujours l'rlément mobile, quel qu'il soit, comme appartenant à un plan glissant sur le premier.

EXPOSE DES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA NOMOGllAl HIE. 27

h la courbe (a,) et à la courbe (o^-^), elle coïncidera avec la droite (a,,a2) définie par l'équation ci-dessus.

Un dernier exemple nous sera fourni par les images logaritluniques de M. Mehmke.

L'image logarithmique de la fonction

est la coût be obtenue en transformant celle qui représente cette fonction dans le système cartésien, au moyen des formules

Y = logj, X.-=logx.

C'est, en d'autres termes, la courbe dont l'équation est

En particulier, Tiniage logarithmique du binôme

est la courbe définie par

e = pc -^ qe .

Ces courbes, iorsqu*on y regarde petq comme des paramètres arbitraires, constituent un système doublement infini non condensé. M. Mehmke a remarqué que toutes ces images {p^q) peuvent être obtenues par translation dune même courbe (*).

Considérons, en effet, sur le plan mobile O'X' Y' dont les axes restent parallèles à ceux de OXY, la courbe G définie par

(*) Pour plus de généralité sur la théorie des images logarithmiques, voir T» de N», p. 876 et suiv.

MAURICE D OCAGNE

Nous allons démontrer que, lorsque tes droites D'^ et D.^ du plan O'X'Y', qui ont pour coefficients angulaires ni et n, passent respectivement par

les points

a? = o, J = Iog^, et

x=o, j = logijr,

du plan OXY, la courbe C coïncide avec l'image (/?, q).

Si nous appelons ^ et t) les coordonnées de 0' par rapport à OXY, nous voyons que les équations de C\ D\ et D'^ par rapport à ces mêmes axes, sont

Ces deux dernières droites ayant respectivement pour ordonnées à l'origine log/? etlogy, on a

log/? — T = — m^, iog^ — '^ = — ^^•

Portant les valeurs de t) et de ^ tirées de là dans Téquation de Ja courbe C prise sur OXY, on a

du, eri multipliant les deux membres par e

c'est-à-dire

Y __ ^mX-hloEp , ^/iX+log47

e =^pe -{-qe ,

ce qui établit la proposition.

Remarquons que les ordonnées à l'origine des droites D'^ et D^ qui définissent la position de la courbe (/?,r/), étant données par log/? et log^r, on ne peut prendre/? ni q négatifs. On doit donc considérer à part les

Fig. 18.

images des binômes différant entre eux par les signes de leurs termes. Ainsi la figure 18 montre les images logarithmiques des binômes a^+ i^

Fig. 18 bis.

^* — I et — X-+- 1 avec les index D'^ et D^ correspondants, la figure 18 bis

MAURICK D OCAGNE.

celles des binômes a;"* + x"^^ x~* — a;"% — .tr* -+■ uT' avec les index D'| et D^ correspondants.

Ces quelques exemples ayant fait ressortir l'avantage de l'introduction d'éléments mobiles, d'où découle la possibilité de faire usage de systèmes cotés non représentables d'une façon permanente sur un plan, nous allons chercher a déterminer le mode de représentation le plus général résultant de l'adjonction au plan fixe d'un plan mobile portant également des éléments, cotés ou non, et pouvant glisser sur le premier d'une façon quelconque (*).

11. Structure générale d un nomograinme h deux plans. — Si deux plans 11 et tt' sont superposés l'un à l'autre, leurs déplacements relatifs comportent trois degrés de liberté. Or, un contact établi entre un élément E appartenant au plan ti et un élément E' appartenant au plan t! équivaut à une condition. 11 faut donc la simultanéité de trois tels contacts pour fixer la position de l'un des plans par rapport à Tautre. Une fois cette fixation obtenue, au moyen des trois contacts, dits de position^ établis respectivement entre les éléments E^, Ej,, Ej du plan ir, et E^ E^, E^ du plan t:\ on pourra constater le contact, dit de résolution^ entre les éléments E^ et E'^ pris respectivement sur l'un et l'autre plan. Le mode d'emploi du nomogrammeîiinsi constitué pourra donc se schématiser dans la suite de symboles

E^^^HH E'/"'>, ei^'^me;/"'), e^m e'/"'), e;*'i-iE'/"^),

les indices supérieurs exprimant, en vertu de la convention posée au n"4.

(^) Nous répétons que même si rélément mobile est réduit à une simple droite nous le supposons tracé sur un plan indéfini superposé au premier (transparent en général, par conséquent). Si les déplacements utiles du plan mobile se réduisent à une translation de direction fixe, ou à une rotation de centre fixe, on pourra le réaliser matériellement au moyen d^une réglette, ou d'un disque, à glissière. C'est le cas des règles et des cercles à calcul qui, au point de vue général où nous nous sommes placés, appartiennent à la catégorie des nomogrammes.

EXPOSÏÎ DES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA NOMOGRAPHIE. 3l

le nombre des cotes afférentes aux divers éléments en présence. Si donc

ce noraogramme s'appliquera à un certain type d'équation à n variables.

Cette façon d'établir le type général des nomogrammes à deux plans appelle les remarques essentielles que voici :

1** Le mode de représentation réalisé par un tel nomogramme tenant à la simultanéité des quatre contacts symbolisés ci-dessus, on peut indifféremment prendre trois d'entre eux comme contacts de position et le quatrième comme contact de résolution et, par conséquent, l'une quelconque des variables correspondant aux diverses cotes peut être prise pour inconnue (*).

a^ La coïncidence de deux points P et P' ou de deux droites D et D', appartenant à l'un et à l'autre plan, équivaut à deux contacts, car, dans un cas, on peut considérer que deux lignes du plan t! passant par le point P' sont en contact avec le point P du plan tc, dans l'autre, que deux points du plan V situés sur la droite D' sont en contact avec la droite D du plan tt. Pour rappeler qu'une telle coïncidence équivaut à un double contact, nous écrirons donc

PBP' ou DBD'.

3° Prenant pour contacts de position ceux qui sont numérotés i , a, 4i et, par suite, pour contact de résolution celui qui est numéroté 3, supposons que les éléments E'p E'^, E'^^ soient trois cercles concen-

(*) On peut, exceptionnellement, faire correspondre sur un nomogramme plusieurs systèmes cotés à une même variable, et, par suite, faire correspondre à une équation à n variables un nomogramme k n-\-p systèmes cotés; mais il est essentiel de remarquer qu'on ne peut prendre pour inconnue quhme variable à laquelle ne correspond qu'un seul système coté. C'est ainsi par exemple que l'équation 5^ -h/?^ -h ^ ~- o pourra être représentée par un abaque hexagonal si l'on fait correspondre une échelle simple au premier et au troisième terme et une échelle binaire au second ; mais un tel abaque, sur lequel z figurerait dans la première et la troisième échelle, ne saurait se prêter au calcul de cette variable prise pour inconnue.

3*2 ' MAURICE d'oCAGNE.

triques F^, F^, l\ (qui pourront être confondus en un seul F') ou trois droites parallèles A'p A'^, A'^^ (qui pourront être confondues en une seule A'). On voit que, une fois les deux premiers contacts établis, le seul déplacement possible de tc' par rapport à tt est, dans un cas, une rotation dans laquelle le cercle V^ tourne sur lui-même, dans l'autre, une translation dans laquelle la droite A'^ glisse sur elle-même, et, par conséquent, que le contact numéroté 3 a lieu, dans l'un et l'autre cas, quel que soit le contact numéroté 4 q^i pcuty dès lors, être laissé indéterminé. La notation du nomogramme devient en ce cas

E, hhF'^, EjHhF'^, EjHhF'^,

et nous dirons que ce nomogramme appartient à une variété réduite.

L'indétermination introduite par la simultanéité de trois contacts dans lesquels interviennent des F' ou des A' peut d'ailleurs se traduire encore d'une autre façon. Les deux premiers contacts limitant les déplacements possibles à une rotation ou à une translation, si un troisième élément F'g ou A'jj est en contact à la fois avec les éléments Eg et E^, il ne cessera pas de l'être pour l'un ou l'autre de ces déplacements possibles. Dès lors, au lieu de prendre pour F'^ ou A'^^, comme on vient de le faire, un élément déterminé a priori du système (F') ou (A'), on peut précisément le déterminer dans ce système par la condition d'être en contact avec Eg une fois les deux premiers contacts établis . Pour rappeler que c'est un des contacts dans lesquels intervient cet élément qui le détermine dans le système auquel il appartient, nous mettrons sa lettre représentative entre crochets. Nous aurons ainsi un mode de représentation qui se dénotera (*)

e.^hf;, E,Mr;, E,M[r;], E,^H[r;j.

(*) On pourra de même identifier les éléments V\ et F, et déterminer à volonté la position soit au moyen de Tj, soit au moyen de r3. Pour marquer cette réciprocité, nous placerons également r'j entre crochets. Si nous prenons ainsi deux droites Aj et A^ dans un système parallèle et si nous les mettons en contact respectivement avec les points à une cote Pj et Pj d'une part, Pj et P^ de Tautre, nous obtenons le type de nomogramme k parai-

4° Enfin il est intéressant d'envisager à part les nomogramnies sur lesquels n'interviennent comme éléments cotés que des points à une cote, en raison de la plus grande netteté ei de la plus grande facilité d'interpolation qu'ils offrent. Ces points à une cote doivent alors être mis en contact avec des lignes sans cote ou lignes constantes . De tels nomogrammes seront dits appartenir à une variété ponctuelle.

12. Formation des types canoniques de nomogrammes à deux plans pour équations à n variables. — Si, pour simplifier l'écriture, nous représentons chacun des huit éléments intervenant dans un nomogramme général à deux plans, simplement par le nombre des cotes y afférentes, nous voyons que la notation symbolique de ce nomogramme sera la suivante :

z/^M//,^, n^^n,^, n^^HiU^, n.^rt^.

Dès lors, pour avoir tous les types de nomogrammes à deux plans pour n variables, distincts, par la répartition des cotes entre les huit éléments en présence, il faut trouver toutes les solutions entières positives ou nulles (un élément sans cote étant dit constant) de l'équation

satisfaisant aux conditions que voici :

1° On ne doit pas pouvoir passer de Vuwt à l'autre de ces solutions par échange de deux des quatre couples /?^, n. (ce qui reviendrait à changer simplement le numérotage des contacts), ou par inversion simultanée de l'ordre des nombres n^ et rî. entrant dans chaque couple (ce qui reviendrait à interchanger les deux plans superposés).

lèles mobiles de M. Beghiii (7^. de N., p. 241) qui, d'après la couvenlioii ci-dessus, se dénote

p,«[A',], 1',«[a;], r>,HH[A'i, p,hh[a;].

34 MAURICE d'oCAGNE.

2^ Aucune solution ne doit contenir ^/v;/.9 couples composés de deux zéros, attendu que trois contncts entre éléments constants rendent les deux plans invariables l'un par rapport à l'autre, et, par suite, léduisent le nomogramrne h un seul plan.

Le dénombrement de ces solutions constitue un problème difficile de partition qui a été résolu parle major Mac-Mahon (*); etToTi peut, comme nous l'avons fait précédemment (^), fonder une classification des nomogrammesà deux plans, pour chaque nombre de variables, sur la considération des solutions rpii viennent d'être définies.

Nous allons avoir recours ici l\ un autre mode de classification, qui se lie peut-être plus étroitement à l'essence même du sujet ('). Ce mode de classification n'envisage que h\ répartition, parmi les huit éléments en présence, de ceux qui sont cotes et de ceux qui ne le sont pas, et qui sont dits constants. C'est, en effet, là ce qui caractérise véritablement la structure du nomogramme. Il suffit ensuite, dans chaque type obtenu, et qui peut être dit type canonique^ de faire varier les nombres de cotes des éléments cotés pour engendrer des nomogrammes applicables à un nombre quelconque de variables ( *).

Le nombre des éléments cotés ne pouvant être inférieur à deux ni supérieur à huit, nous allons hii donner successivement chacune des valeurs contenues dans cet intervalle, et, en représentant par o un élément cou-

(*) Bull, de la Soc, math, de France, l. XXVI, p. 56. La solution donnée à cet endroit ne tient pas compte de la seconde condition limitative énoncée ci-dessus, qui n^avaitpas été posée à Fauteur, et, par suite, le nombre Nde types obtenu dans celte solution, pour le cas

de n variables, doit être diminué de e(- )4- i, nombre des partitions à deux termes du

nombre n :

Pour /i = 2, 3,^4> 5, 6, 7, ...,

on a N = 2, 5, i6, 29, 64, no, ....

(*) T. de N., p. 4o3 et suiv.

(^) Nous avons proposé ce mode de classification dans une Note spéciale {Comptes rendus, l. CXXXVI, 1908, p. 33).

(*) Par ex^emple, grâce à cette classification, tous les nomogrammes à points alignés rentrent dans un type unique, celui qui est désigné plus loin par (3i),.p, alors qu'avec la classification précédente ils se rattachaient, suivant le nombre des variables y intervenant, dans des types distincts : \\\ pour trois variables, VIÏJ pour quatre variables, etc.

KXPOSÉ DES PRINCIPES FONDAMEN^TAUX DR LA NOMOGRAPHIE. 35

stant (c'est-à-dire k o cote) qiielcoiHjne, former pour rhacune de ces valeurs tous les modes distincts de réj)artirion des o eu tenant compte des conditions formulées ci-dessus.

Chaque type canoni(|ue ainsi formé étant représenté par un chiffre gras indiquant le nombre des éléments cotés y intervenant, affecté d'un indice d'ordre lorsque ce nombre donne lieu à plusieurs sohitions, voici le Tableau complet de tous ces types, au nombre de dix-neuf (* ) :