I4 HH

/? 1 hH /l'j

/laHH /l'a

/I3 HH /l',

/i 4 HH n\

Ce Tableau appelle quelques observations.

( ' ) On pourrait rallacher à ce Tableau le type générai des noinogrammes à un seul plan» déHiii au n® 9, en lui faisant correspondre la nolalion

(2o) 2HH/2 — '2, OhhO Oi-hO OhhO.

36 MAURICE d'oCAC.NE.

En premier lieu, il est clair quetoi/s les nomogrammes à deux plans vour n variables sont compris dans les types dont le nombre des éléments cotés est au plus égal à n. Par exemple, pour le cas de quatre variables on aura tous les types du Tableau ci-dessus jusqu'à (4^) inclusivement.

IjCS types de nomogrammes comportant la variété réduite^ définie dans la troisième remar(|ue du n" H, sont évidemment ceux sur lesquels figure un contact entre éléments constants, ce contact pouvant être rendu indéterminé si Ton choisit les trois éléments de Tun des deux plans, intervenant dans les trois autres contacts, dans un système (F) ou (A). Ces types sont indiqués sur le Tableau ci-dessus parla lettre R mise entre parenthèses au bout de la ligne. Nous les distinguerons par la lettre r ajoutée en indice extérieur, par exemple, (3,),..

Enfin ceux qui, en vertu de la quatrième remarque du n** 11, sont susceptibles de la ^variante ponctuelle, lorsque tous les nombres de cotes y entrant sont pris égaux h i , sont désignés par la lettre P mise aussi entre parenthèses au bout de la ligne. Nous les distinguerons par la lettre /> placée en indice en dehors de la parenthèse. Par exemple (3,)^, (3^)^^^,.

Il est intéressant d'envisager à part les nomogrammes sur lesquels l'élément mobile se réduit à une simple droite. Celle-ci devant être considérée comme une A, le type correspondant doit être de variété réduite; d'autre part, cette A étant un élément constant, il faut que les nombres de cotes correspondants soient o. En d'autres termes, les nomogrammes cherchés ne peuvent appartenir qu'aux variétés réduites des trois premiers types ci- dessus. Les deux premières s'appliquant à des équations à deux variables n'ont à être envisagées, en quelque sorte, que pour mémoire. La troisième, qui s'applique à des équations à trois variables, est d'un plus haut intérêt.

Sa variété ponctuelle est constituée par les nomogrammes h points alignés sur lesquels nous nous étendrons plus loin (n** 14).

13. Équations à deux et à trois variables. — Pour les écpiations à

deux et à trois variables, la représentation sur un seul plan s'appliqnant, comme nous l'avons vu, à une équation /y^/f?/ro;^/^^/^, Tintroduction d'un pian mobile ne peut avoir pour objet d'atteindre des cas autrement insolubles, ce qui aura lieu, au contraire, à partir de quatre variables. Mais cette introduction du plan mobile aura l'avantage de conduire, dans nombre de cas, à des solutions pratiquement plus satisfaisantes que celles offertes par un seul plan.

Pour ce qui concerne le cas de deux variables, on obtient des exemples de nomogrammes à deux plans en remplaçant, sur un abaque du type donné par la figure 8 ci-dessus, l'ensemble des deux systèmes de

parallèles aux axes, soit {)ar deux index 1'^ et T, tracés sur un transparent d'orientîition constante, et perpendiculaires respectivement aux axes gradués OX et OY (Jig' 19), soit par un index mobile O'X' perpendiculaire à OY et portiint la graduation de OX {/ig. '20).

MAURICK I) OCAGNE.

Si, dans le premier cas, on appelle O' le point commun îi 1'^ et I^, et Y le point h Tinfîni sur OY, on voit cpie la notation du nomogranune est

cpii rentre dans le type (2,; ci-dessus.

Fig. 2o.

Dans le second cas, X^ étant de même le point à Tinfini sur OX, on a la noUition

(a,)hH(yX^ Li-.(a.y, OYhhO', X^^0'\\

(jui rentre daiisle type (2.^), et il est bien évident cpTune équation quelconque à deux variables est leprésentable de Tune ou l'autre façon.

De même, les types (3) conduisent à des modes généraux de représentation des équations à trois variablts lorsqu'on y laisse indéterminé un des trois éléments cotés en contact. On ()eut s'en rendre compte de la niituière suivante ;

Si l'on considère tous les couples de valeurs des vnrial)les a, et a^ correspondant à une valeur doiniée de la variable 0*3 en vertu de Téquation considérée, les éléments cotés correspondant à Tun de ces couples, joints à quatre éléments constants, permettent de constituer les trois contacts de position ainsi que Téfément F/, du plan Ti\ qui devra être mis en contact avec Télément encore indéterminé (cl^) du plan u, le(juel élément E' occupe ainsi, sur le plan tt, une position bien déterminée. L'enveloppe de ces positions (ou leur lieu, si Télément E' se réduit à un point), lorsqu'on envisage tous les couples (a,, (Xj) répondant à la valeur aj considérée, <lonne précisément Téiément (a,) cherché.

Il est facile de former des exemples de tels nomogrammes généraux |>ourles trois types (3).

Si, notamment, on construit pour chaque valeur de a, un nomogramme du type de la figure 19, on obtient un système de lignes (a,) remplaçant la seule ligne constante L, et la notation du nomogramme devenant

(a.)^i;, (aj^i;, (<x.)«o', y.H.i;,

on voit qu'il rentre dans le type (3 J ( * ) .

Lorsque les lignes (a,) sont des droites parallèles, il suffit de les remplacer aussi par un index l'^ mis en contact avec l'échelle (0*3), perpendiculaire à sa direction, pour obtenir, avec des axes à 120°, les abaques hexagonaux (n'*8), qui rentrent dès lors dans le type (3,).

Si, de même, pour chaque valeur de (a,) on construit un nomogramme du type de la figure 20, on obtient un nomogramme qui se dénote

(aJ^O'X', (a,)HH(a.)', OY^O', X.^O'X', et qui rentre dans le type (3^) (^).

(*) Les échelles centrales additionnelles des abaques hexagonaux de M. Lallemand pour le calcul des profils de remblai et de déblai apparliennent à ce type spécial (7". de A^,

(*) Comme exemple du type (30 on peut encore citer les abaques polaires de M. G. Pesci

{T. de N.y p. 119 à 12a).

4o MAURICE d'oCAGNE.

Supposons enfin que le transparent porte des lignes (0^3), dont Téquation rapportée à 1'^ et J'^, pris comme axes O'X' et O' Y', soit

Si nous faisons passer O'X' et O'Y' respectivement par les points j)^ = — CL^et a:= — 0L^ des axes O Y et O X * nous avons pour Téquation des lignes (7.3) rapportées à OX et O Y,

/(X-f- a,, Y-ha^. a'3)=o, et, par suite, pour celle de ces lignes qui passe par Torigine O,

On obtient ainsi, pour cette dernière équation, un nomogramme qui se dénote

(a.)MO'Y', (ajMO'X', O.H(a,)', X.^O'X', et qui appartient, par suite, au type (83).

14. Nomogrammes à points alignés (*). — Ainsi que nous venons

(') T, de N., Chap. IlL A la suite du Mémoire, paru en 188/», dans lequel nous formulions pour la première fois le principe de ceUe méthode, les applications s^en sont multipliées de telle façon que nous avons été amené, pénétrant dans les moindres détails, à lui consacrer dans noire Traité un Chapitre tout entier, illustré d'exemples d^application ayant été tous déjà mis à l'épreuve de la pratique.

Il est d'ailleurs remarquable qu'en dépit de la particularisation relative du type des équations auxquelles elle s'applique cette méthode s'est trouvée propre à rendre d'importants services pour la représentation de certaines lois empiriques (loc. cit,, section IV), et même pour la détermination de la forme analytique qui pouvait leur être donnée (/oc. cit., n<»87).

Récemment, le capitaine Lafay en a fait une remarquable application à l'équation de Van der Waals (Feuilles autographiées du Cours de Physique de la première division de l'Ecole Polytechnique en 1 902-1903, p. i[\ à 28).

De nombreux exemples d'application se rencontrent encore dans le Mémoire de M. Soreau, cité plus loin à propos des nomogrammes à double alignement.

Comme vaste ensemble d'applications de ce genre, nous citerons encore le Manuale del

d'en faire la remarque, le principal intérêt de Temploi d'un élément mobile, lorsque les variables ne sont qu'au nombre de trois, est de conduire, dans des cas spéciaux, à des solutions plus avantageuses que celles oii n'intervient qu'un seul plan. C'est ainsi que, lorsque cette introduction permet d'obtenir une variété ponctuelle, il y a lieu d'y recourir, la netteté d'un tel nomogramme étant très supérieure à celle d*un abaque où s'entrecroisent plusieurs systèmes de lignes cotées, et l'interpolation à vue s'y faisant avec une bien plus grande précision.

Or, ainsi que nous l'avons vu à la fin du n** 12, la variété ponctuelle la plus simple dans le cas de trois variables est celle qu'on obtient au moyen

Fig. ai.

d'une seule droite mobile, c'est-à-dire celle qui est constituée par trois systèmes de points à une cote entre lesquels on prend des alignements (fig* 21). Sa désignation, en vertu de la convention faite au n° 12, est (Si)rp'

Il est bien clair que le type le plus général d'équation ainsi représentable est celui que nous avons déjà rencontré au n"" 6 et que nous récrivons ici :