kil.mèt., A
valeur dont nous avons déjà indiqué, dans le chapitre !«", § 4, le sens
précis et qui s'accorde très bien avec les résultats des expériences connues.;
M. Person (Comptes rendus. T. 39) trouve exactement cette valeur, et les expériences si variées de H. Joule conduisent à la moyenne 423,55. Les recherches de Him et d'autres observateurs conduisent à des nombres qui ne diffèrent que peu de ceux-ci, de sorte que cet ensemble de résultats confirme de la manière la plus remarquable la justesse des considérations sur lesquelles reposent nos formules.
Dans toutes nos recherches ultérieures, nous poserons pour ---
la valeur tirée de Téquation (31).
A Taide des données précédentes, nous pouvons enfin déterminer d'une façon plus précise la fonction C de Camot.
La deuxième équation fondamentale de la théorie nous a donné :
dp dv
En substituant ici les valeurs trouvées par les équations (23), (24),
(26) et (28). il vient :
- rp y c,v p
ou C =: -~^. ■—: Mais les équations (22) et (30) donnent :
^ =a-+-tet — -— i- = A
R -- ' ' - R on a donc : C = A (a h- t), (32)
Cette expression, si remarquablement simple, de la fonction de Carnot est due à Qausius.
M. HoiUmann avait déjji montré que la fonction de Camot a une forme analogue à l'équation (32), sans toutefois préciser. II. Helmholtz (sur la production de la force^ page 87) s'est prononcé plus nettement à cet égard, en comparant les formules de Clapeyron et de M. Holtxmann.
Nous avons dit (Chap. I«') que, quand on connaît la fonction C, o n arrive aisément aussi à la fonction de température désignée par T . En effet, nous avions, d'après l'équation (19), page 30 :
-j— j; en posant dans cette équation la valeur de G , on obtient : = — âr-» ®^ ®^ intégrant :
Ct'ht T
Ainsi, dans les équations générales du chapitre I"', T ne signifie rien d'autre que la température absolue , et la fonction de Carnot «st liée à celle-ci par la relation : C = A T. (34)
Ces dernières données sont d'une grande importance dans la théorie mécanique, car les deux fonctions C et T sont, comme nous devons le faire remarquer encore une fois , des fonction; de température identiques pour tous les corps * .
* Remarque I. Noas sommes arrivés 8az*résoltats ci-dessos en admettant que les gas permanents obéissent & la loi de Mariotte et de Gay-Lossac, et que les capacités caloriflqnes à pression et à volume constants sont invariables. Si on ne voalait accepter que la première supposition et admettre que généralement e, et c sont des fonctions de la température , on pourrait déterminer de plus près, comme je vais le montrer, la forme de ces fonctions. Nous avons trouvé
etY =
Si Ton différencie la première équation par rapport à v, la seconde par rapport à^ avec la condition que c et e, sont des fonctions de t, on a c/X c Vf dût \ Ct V dct
et
dv rfV
R R Ww y H K dt \ dv J
R K \ dû J R R d/ V
dp fi K \ dp
en substituant les valeurs connues de f
qoe
dt dp
dt
dp
j et faisant attention
/ dY dX\ =r a -4- f J la première équation fondamentale f A = — -j — I
a-ht rf(c — c,)
donne, à l'aide des équations précédentes: A -=
K K dt
ou ARrf/ = (c — c,)rf/-H(a-HOrf(<? — c,)=d [(a-*-0 (c — ^)] d'où il découle par Tiatégration, et par une simplification facile :
c — c, =ARh -
Ncms pourrions introduire maintenant ces valeurs «e C et T dans les équations générales de la théorie mécanique de la dialeur , applicables k toufi les corps et telles que nous les avons données dans le chapitre V'^. Mais comme nous ne nous occupons ici que des gaz permanents, nous devons transformer de suite convenablement ces équations.
Supposons qu'on fournisse de la chaleur à Tunité de poids du gaz permanent, et que par suite le vohime s'accroisse dedv.lst pression de d jo et la température Aedt. En utilisant les valeurs que nous
avons (Atennes pour X, Y, C, -r— et -r— • les équatitos ( 1) ,
dp dv
(I a) et (t b) donnent, à Faide de quelques transformations faciles :
d Q = -^ (Cl V dp -h cpdv) (35)
dQ^c,dt^iJ^ll±Mï (36)
dQ=cdt^ kn{a-^t) -^ (37)
où n serait une cooMiate è détamilndr «ttoora qaatt à son feigne el quant à sa valear. Si, comme M. Regnault Ta troayé , ta valeur de c est constante^ noas aurions d'après l'équation («)
ce qui est une foactioa très simple de la lemilérature.
En acceptaal oes résultats et en les combinant avec la seQonde équation fondamendale(IUa), on trouverait pour la fonctioD de C^rnot
valeur qui ne diiTère de celle du texte que par le terme constant n.
L'équaUon (y) peut aussi s'écrire feous la forme : C = A (a -H — + m» ou
en posant a -+- ^— = a'
où la valeur de a* est déterminée dôs qu'on connaît n. On voit que les suppositions précédentes ne changeraient rien à la forme dç la fonction de Gamôl^ mais que a' + 1 ne serait plus ce que nouii avons appelé la température abéolue. Quoique les développements précédents aient un caractère plus général que
Ces trois équations, dont la première a déjà été donnée plus haut, sont identiques. Nous emploie^ns , pour la résolution des divers problèmes, celles qui dans chaque cas nous mèneront le plus vite à notre but.
Aixisi qu'il résulte de remarques antérieures, et ainsi que nous rapprend un regard jeté sur ces équations, aucune ne peut s'intégrer, tant que le sens de quelques unes des quantités qui y figurent n'est pas connu. Ces équations donnent la quantité de chaleur à fournir du dehors, qui est formée de deux parts, comme l'indique déjà l'équation dQ = dli -h Xpdv (38), l'une d U indiquant la quantité de chaleur employée à augmenter la chaleur interne II, l'autre k pdv indiqus^nt la quantité de chaleur employée pour le travail externe. »
Nous devons enfin faire observer que l'emploi des trois équations ci-dessus exige implicitement qu'il s'exerce du dehors contre le gaz une résistance continuellement égale à sa pression : car ce n'est que dans cette condition que les équations générales du chapitre \^^ deviennent valables.
Les expressions précédentes conduisent à une loi qui répand la plus vive lumière sur les phénomènes que présentent les gaz.
cenx du teziB> ytii8q«e noos n'ayons pris que la loi de llariotte et de Ga^-Lussac poor base, nous sommes cependaat conduits à admettre par plusieurs motifs que Cl est aussi bien une constante quee, et que, par conséquent, dans les formules précédentes n= » et a' ^s=:a,ce qui les ramène à la forme des dcpationa du texte. Ces motifs, sont : d'une part, que les équations du texte, surtout l'équation. (&!)» s'accordent très bien avec les résultats expérimentaux; d'autre part, que les développements ultérieurs concernant la constitution interne des gaz nous conduiront à des conclusions auxquelles oq ne peut faire aucune objection plausible. Il importe d^ailleurs dé rappeler encore une fbis que tous les développements précédents reposent sur une base qui n'est qu'approximativement correcte, sur la Hi de Kariotte et de Gay-Lussac.
* hemarque %. On arriverait exactement aux équations des numéros (85) à (87), en supposant, comme dans la Remarque l,c^c, = AR + nR: (a -h /)• L'équation (86) garderait sa forme, et l'on aurait dans les équations (80) et (87), au lieu de a, a' ayec la significaHoii indiquée dans cette remarque.
L'équation (22) donne : p = — • -, et si l'on met cette valeur
dans réquatiou (36), il en résulte pour tous les cas
dQ = Cidt'¥' kpdv (39)
Si nous comparons maintenant cette formule avec l'équation ( 4), nous trouvons
d D — Cl d «, (40)
ou Cl désigne par conséquent la chaleur spécifique à volume constant. Quels que soient donc les changements que nous fassions éprouver à un gaz; qu'il soit dilate ou comprimé, échauffé ou refroidi selon des lois arbitraires , l'accroissement ou la diminution de la chaleu/r interne sera toiiyours déterminé, pourvu que l'on connaisse la température initiale et la finale. Si donc k désigne la premièi^de ces températures et U la seconde, la variation de la chaleur contenue dans le gaz sera, comme on le trouve par Tintegration de l'équation (39) :
Cl («2 — *l).
Et de même, nous sommes obligés de conclure de cette équation que la chaleur totale contenue dans. le corps, la chaleur interne de l'unite du poids du gaz est :
U = ci(a-hn. (41)
puisque nous sommes obligés d'admettre qu'au zéro absolu, c'est-àdire à la température t = — a = — 273, la chaleur interne est nulle. La chaleur spécifique à volume constant peut aussi s'écrire sous la
forme
dU
Mais la chaleur à amener du dehors se trouve par l'intégration de l'équation (38)
Q = Ci(^-ei)-hA \pdv (43)
\pdv
Dans le nombre infini de cas où l'intégration de cette équation est possible, nous allons choisir les plus importants.
Écha/uffement d'v/a gaz, à volvme C(ynsta/nt,
Soient v le volume de l'unité de poids, ^i la température initiale, k la température finale ; comme le volume est constant, on a d v = 0 et la chaleur à fournir du dehors devient, par l'équation (43) :
0 = ci(fe»-n) (44)
comme nous aurions pu l'écrire directement.
L'équation (4) donne pour ce cas d Q = d U ; et par conséquent si Ui est la quantité de chaleur initiale, interne et Us la quantité finale, on a Q = Ua — Ui , c'est-à-dire que la chaleur fournie n'est employée qu'à accroître la éhideur interne.
n est à peine nécessaire de faire remarquer que le terme d'échauffement s'applique tout aussi bien dans le sens négatif que dans le sens positif. Ainsi dans le cas précédent, si fe < fe , 0 = Uî — Ui serait négatif, c'est-à-dire qu'il faudrait refroidir le gaz àvolume constant ou lui enlever la quantité de chaleur
Écha/uffement d'tm gaz, à pression consUmte.
Soient j9 la pression du gaz , i;, et V2 le volume initial et le volume final, tt et U les températures correspondantes. Puisque p est constant, on a dp = 0 et l'équation (37) donne : dQ = cdt. Bn intégrant de tt à t,, il vient
équation qu'on eût pu écrire directement , par suite du sens qu'a c. L'équation (42) permet de trouver aussi la quantité de chaleur à fournir, puisqu'on peut en intégrer le second membre, ce qui donne
Q = c, (â,-^) -hfLpiv^-v,) (46)
La partie c, (^ — ^.) exprime la quantité de chaleur contenue dans le gaz , l'autre partie répond à la quantité consommée en travail. En faisant éq. (45) = éq. (46), on a :
pour la chaleur consonmiée en travail; le travail lui-même, est :
OU d'après l'équation (30) :
p(Va-v,) = H.(^-^) 1*7)
On voit iinmédiatemeiit par Ui que, dans le cas j^]?éQéde«t, jl e$t
inutile, pour détenniqer le trayail fourni p^ }p ^ , de pomi^tre la pression p et les volumes t;, qtt;, du gaz, mais qu'il suffit de connaître les températuiies imti^es e]; finales* Suftpqçc^ns, jij^r,^^ pie , fpie dans un cylindre qoi^ ayqps u^ kjil. d'air à IpO» et que nous cb^uilions cet air jusqu'à 200^, en le ^(^ajot poo^r on fiv^t un piston sous une pi:e$^^p pppst^n^. I4 qMaf^ité totale de c^d^ à fournir, sera :
Q = ç[t,- 1,] == p.2377 I20p — 400) ;?= 23,77 ^jalûp^. ' La cireur qu^ le çaz nçpi^^ille, ^st :
D, - Ui = ^ ( t,- *i 1 = p.lp87 (200 " 4QW =; 16,67 ^lorîQS, \a chalQwr CQ]pyer,tie pp trav^ est :
Aî?(v,-vt)=(c--Ci)(«2~(i) = 0,QÇ9(2P0-ipp);ff6t9ç«tei^^
Et enfin le travail fo\irni par le g99 est :
p (t>, — Vi) = R (fe - ti) = 29,272 (200 - 100) = 2927^- ,2.
Si nous renversions l'opération en comprima/nt le gaz à 200» avec une pression constante, et si sous refroidissions ainsi jusqu'à cent degrés, le trayail dépensé pour la compression serait 2927^- ,2 ; la chaleur totale à soustraire serait 23,77 calories ; la dialeur rradue par le gaz serait 16,87 calories , et enfin la (Valeur due au travaii serait 6,9 calories.
Si la température de l'imité de poids du gaz reste constante pendant le changement de volume, on a ^I ^ = 0, et la chaleur à amener pendant l'expansion est, d'après l'équation (39) :
dÇ^zzzkpAv d'après l'équation (36) :
dQ==AR (a^O^-i^ *«^
La écnàparateon avec Téqnatioa (38) donne d D ^ 0. La première et la dernière de ces imB équations nons apprennent que la ch€deur mntêmie 'éans le gaz redie invcpriaible^ et que, par conséqaent, toute la chaleur fournie du dehors est convertie en travail externe , lorsque l'expansion du gaz se fait à température constante. D'après ridée que nous devons avoir de la constitution interne des gaz , ce résultat si frappant nous donne une raison de plus d'admettre l'exactitude de nos suppositions premières, et de dire que non seulement la capacité calorifique à pression constante, mais encore celle à volume constant sont des quantités constantes. Clansius (Ann. dePogg. , tome 79) part de cette proposition pour arriver à ceitte conséquence que 6 et Cl sont éonstants, ce que les expériences dé M. Regnault constatent, du moins quant à c. Pour les ^ai liquéfiables, la proposition que nous avons trouvée précédemment n'est plus valable : c'e$t ce qui résulte d'ailleurs déjà de ce que ces gaz ne peuvent point obéir à la loi de Mariette et de Oay-^Lnssac.
Ciomme t est constant, l'équation (48) nous permet maintenant de détemuner la quantité de chaleur à fournir lorsque le volume passe de vi kvt , et Ton trouve :
Q = ÂR(a-h^)logn. -^ (49)
Si la pression est au commencement px et à la M pi, on a anssi* r
piVt=Pii}i^=^1i(U'ht) et par suite* d'après l'équation (48) :
Q^kpiVi logn. -^ = A pf vj logn. — - (50)
Comme toute la chaleur est transformée en travail, il s^ensuit aussi qu'en désignant ce travail externe par F, on a : Q = A F, et par ooDséqpient :•
F = pit;ilogn. =p2V»logn. (51)
équation qui est connue depuis longtemps et qui découle directement de la loi de Mariette.
Si, à l'inverse , le gaz devait être ramené par la compression de
vs à «;i à température constante, Téquation (Si) donnerait le travail à dépenser et l'équation (50) ferait connaître la chaleur à soustraire pendant ce travail. La chaleur interne resterait la même « comme précédemment '.
Phénomènes calorifiques qm accompagnent la variation de tolume d'im gaz, soumis à une résistance externe toujours égale à sa pression, auquel on n'ajoute ni ne soustrait de chaleur.
Supposons un cylindre imperméable à la chaleur contenant une unité de poids de gaz, et demandons-nous ce qui se passera lorsque, par le mouvement en avant et en arrière du piston, le gaz sera comprimé ou détendu et consommera ou fournira ainsi du travail.
Gonmie il ne doit ni s'ajouter ni se soustraire de calorique, Q et d Q
seront nuls et l'équation (35) donnera :
o = -=r- [CiVdp-^cpdv) ouo = t;<ip-f' — pdv. H Ci
' Refnarque 8. Si, conformément à la remarque 1 , noos sapposons C| , constant d'après les recherches de Regnault^ mais si nous adoptons pour e la fonction indiquée, il en résultera, d'après la remarque!, pour le cas de l'équation (48) :
•u> selon la signification de a' (remanfue 1) :
dv \ rf» . . ^ dv
hR •
J -h»R = Aprf»-lr
ce qui signifie que , si n était positif, une pdrtion de la cfaaletflr fournie pendant l'expansion à température constante serait employée à élever la chaleur interne et que, par suite, la totalité de la chaleur ne serait pas consommée pour le travail . L'intégration de la dernière équation donnerait :
Q = (AR(a-hO-hiill) log.-î^.
La partie AR (a + 0 ^o?* » V^^ nous désignerons par Q', serait em-
v« ployée au travail externe, la seconde nR log. — — = 0" le serait au travail
interne; on aurait lUnsi r
nQ' (a-f-OQ nO
A(a-hO û'-h/ '' (a' -ht) A
Mai^il faut se souvenir que pour les gaz permanents on a en tous cas n:=o et a' =ra.
Nommons « le rapport — des deux capacités calorifiques, et divi-
sons la seconde équation par j) i; : il vient : 0= — ^ -+-« ; ce
qui donne en intégrant depuis i;i eipi jusqu'à ViBtpt
Ainsi donc, quand un gaz se détend ou est comprimé sans addition ni soustraction de cbaleur, le volume et la pression varient de telle sorte que pi; '^ reste constant pendant le phénomène.
Cette loi, due à Poisson, a été déterminée depuis par d'autres auteurs et par des voies différentes.
De l'équation (52) il résulte : -^^ = /"-^V""* ; etenayant
égard à l'équation (22), si nous désignons par ^i et ^t les températures répondant à i;i et à i^s , il vient :
JL±iL = (^\'^' (53)
équation qui nous donne, comme on voit , les variations de la température en fonction de celles du volume. Enfin il résulte aussi de
de réquation(22) : ^' - =r= J^. ^'^^. ce qui donne, en substituant dans (31) :
JL±^ ^ (JlX'^ (54)
a -h *i \ Pi J
Ces équations , connues depuis longtemps , nous font connaître complètement ce qui est relatif aux variations de volume, de pression et de température d'un gaz, dans les conditions indiquées. Nous aurions pu tirer directement les delix dernières (53 et 54) des équations (36 et 37), en y posant dQ = o et en les intégrant.
D est extrêmement important de déterminer maintenant le travail , positif ou négatif, dû à l'expansion ou à la compression du gaz.
Puisqu'ici Q => o, l'équation (43) donne :
0 = Ct (fe— *i) H- A
ypcit;;
le ti^avail externe exécuté par le gaz, çendant qu'il se détend de vx à V2 est donc
V = \pdvc^--^(h-tt) (55)
et la chaleur consommée en travail est ci (fi — ^a ) = — ci (h — *i ).
Mais , ainsi que l'indiqueiait la con^dération de Téquation (40) ,
cette dernière équa^o;n ne doju^ ai^trç chose que la yari^tioa de. la
chaleur interne (Ju ga,z j le sig^e — nous appread qu'il disparaitài^,
la chaleur, qui çst consomqkée ppur 1^ tiiavail; e\ réqjmatipn (55)
npus dit, en consëq;uence, qijuB tpu,t le trava^ exécuta ]^ar\e &^ est
dû à la chaleur qui s'y trouvait antfiriçureii^ent.
L'équation (55 peut se mettre sous la forme :
p Qi{a-^h) r a-^h "]
^ A l^ a^kX
ou, si nous remarquons que Vi pi = R ( a4- ^ ) et si nous utilisons
les équations (53) et (54) :
ou bien :
= ml
'=Tir'^4'-(f)""
Mais , d'après (30), A R = c — ci ; le facteur --^' devient donc
AR
^ =c -;;;;qp (oH x =-^ = i ,41 pour l'air) ; et les deiw éqju^,-
tiens précédentes peuvent s'écrire par suite >:
C'est. sous qette forn^^q^i'on dpQD^ habitppUqmeqtiQ^éqji^tÎPP^; cependant pour l'usage pratique, la. fonp^ (54) cptja pluS'G0Qunp4e, puisqu'elle n'exige comme connues que les températures.
Nous allons, par un exemple, préciser plus clairement tout ce qui précède.
SnpjMMôll»' im cyHnttre (îôiifeïraiil? !*"• tf air àl ii =si »>> et à pi ^ ^r"^ Itàmmi cet afr s$é défendS^à 1^- sttAs additièh de chalefUr et dé ^soiWe que la charge du^ ^dton ftesé à chaque ihârtant équilibre ^Jatensiondugaz. L'équation (54) donne pour liatetiipéràtaré finale :
^'eau se refroidit donc de 30*» à 3<>,7 au-dessous de 0^.
U chaleur éonvertie en travail est Cl (ti ^ ti) =rr 0.1687 (30 -^ (- 3,7)) = 0,1687. 33,7 = 5^'»\ 685. ^'^iwf'cbïiséqliëiit lé travail fôiinli par lé gàk est
4SV"^\ â->-,683==24'i0*-\ 5.
^ détente, en volume, est
J^^JPL, £±ii = 1,333..... oude3à4.
vi pi' a^-^t\
^^^^^'^'«-ènes que présente un gaz lorsque, sans addlition ni sous-
^ ^'^^^^Éon de chaleur, il se trtnwe soumis tout d'un coup à v/ne
f^^^'^^i^m escteme plus gra/nde ou plus petite que sa pression
^^^^^^tvotiÈ riri cylîriflrë coiitenant une unité de pôidà d'air 'à une pï»xc^;j-^ p, à une température t et à un volume v, dans lequel puisse semovtrvoir sans frottement un piston dont la charge soit d'abord en ^^^^x^ avec p : substituant tout d'un coup à cette charge une ^ ^ ^^<Mstante et égale àp i . Si pi > p, le gaz éprouvera une compn»^^^jj . . â pi < p, il se détendra, te demande quels seront* le ^^ ^*^^^ et la température, lorsque le gaz se sera détendu de p à p i , ^ ^\i'(m ne lui donne ou ne lui enlève de chaleur. (Par des raisons ^^^tU^esplus lotn^ on suppose expressément le piston sans poids,)
^H «1 la température finale ; la diminution dèchalèuf IcîteTties^a; *^^^»^l^âqMti<rii (40) : Oiit^t\): Coinmeon'tfam'a(jotttém sous-
trait de chaleur, cette quantité aura été consommée en travail. Si v, est le volume final, et puisque p» est constant, ce travaU sera: Pi (Vi-v); la chaleur qui y répond sera: Ajj,{vi-«). Drésulte évidemment de ceci :
Ci{t~ti) = A.pi[Vi—v) (58)
L'équation (22) donne d'ailleurs : piVi=R{a+h) etpw=A (a-4-«).
En en tirant la valeur de v,- v et la mettant dans l'équation (57), on a:
c. (<-ï.) =AR ({a+t)-J^ {a + t) )
ce qui permet de calculer «t , ou la température finale du gaz. En réduisant, et en faisant attention à l'équation (30), il vient
f , AR « — «j
A l'aide de h et de la valeur donnée pi. on trouve aisément le volume final, et Ton a pour la détente :
Enfin, nous avons pour le travail externe produit : *
P = -X-.0-tO (61)
A l'aide de l'équation (59), et en posant encore x = — = l 41
pour le rapport des capacités calorifiques, cette formule devient :
OU plus simplement encore en parlant de l'équation (22)
F=P:zPi.v (63)
Notre problème est ainsi complètement résolu. Il est clair de plus que les expressions précédentes s'appliquent aussi au cas où la contre- pression constante pi est supérieure & la pression initiale p du gaz , et où celui-ci par conséquent est comprimé sans addition ni soustraction de calorique.
Supposons, par exemple, que la pression initiale du gaz dans notre
cylindre soit de li."- , et sa température de ZQ^ ; supposons qu'il soit soumis tout d'un coup à une pression de 1*** : quelle sera la température finale si, pendantrexpansîon, le gas est soumis à la contrepression constante de 1*** ? L'équation (59) donne :
L'équation (60) donne pour la détente :
cl l'équation (61) donne pour le travail produit :
On voit d'après cela que l'abaissement de température n'est pas
dussi considérable ici que dans le problème précédent, où le gaz
avait i surmonter une contre-pression à chaque instant égale à sa
P^pre tension.
^ problème que nous venons de résoudre me semble avoir une
^^Portance toute particulière. Les conditions admises doivent se
^u Ver remplies , lorsqu'un gaz s'échappe d'un réservoir dans un
^i^^co où existe une pression constante , c'est-à-dire, par exemple,
'"^^d le gaz s'élance dans l'air libre. L'équation (59) nous donne
^^*s la température du gaz au moment où sa tension est devenue
^^^^ à celle de l'atmosphère externe, ce qui toutefois ne peut avoir
1^ ^ïïi'à une certaine distance de l'orifice d'écoulement. Les équa-
^^^ (61) i (63) donnent le travail exécuté par le gaz jusqu'à ce mo-
"^^^l* Mais du problème présent on ne peut rien conclure quant à
^ ^^tiipérature qu'a le gaz immédiatement près de l'orifice, pas plus
ailleurs que quant à la manière générale de se comporter du gaz
•^^dant l'écoulement, et (ce qui est très regrettable d'ailleurs) pas
P^^^ par conséquent que quant à la vitesse d'écoulement du gaz. La
^^^liition du problème complet ne nous fait connaître que l'état
^^^^ du gaz, et les résultats précédents n'empêchent en rien d'ad-
^^ttre avec M. Weisbach que la température du gaz, immédiate-
^^ïit à l'orifice d'écoulement, doit se calculer à l'aide des équations
*^ problème précédent, § 18.
Tout ce qor précëds' s'applique aussfF ifu cak^qtt^ ïMé avoDsradniis^ priinlttvesnmt, et cpn couoeme un gas^ renfermé dams un e^Ëndie, repoofisaiit par sa détei^ ua ptefen sans poids et sovimis i mie contre-pression constante' j3i, pendant c^tte'délenlè. t.e piston sn» poids recule dans ce cas avec une Vitesse tdle que le gaz, pendant sa détente, ne peut le suivre assez i^apidetnent , et ne peut exercer contre lui qu'une pression pi égâle^ à la contfe-pressibn et motadite, par conséquent, que celle qU'U^eîercerait à chaque instant si le piston était en repos (ou s'il reculait lentement], pendant toute la durée du phénomène. Le gaz, en tous cas , se trouve dans un état particulier, qui n'a pu être déterminé jusqu'ici, et sur lequel les calculs ci-dessus ne peuvent rien nous apprendre, puisqu'ils ne déterminent que l'état final.
Si le piston n'est pas scms poids, les choses se passent autrement : il recule plus lentement, la pression du gaz est sans cesse plus grande' que la contre-pression, et l'excès de cette pression est employé à* donner l'impulsion à la masse du piston. Enfin, si cette masse est relativement très considérable , le piston recule avec une vitesse assez petite pour que le gaz puisse le suivre complètement et exercer sur lui' une pression répondant à chaque instant à sa température et à soil volume actuels : dans ce cas , les données du problème g 18 s'appliquent complètement aussi.
Gomme cas spécial, nous pouvons encore admettre que la contrepression constante pi contre le piston sans poids soit iluUe : le tiuvail externe exécuté par le gaz est alors évidemment nul aussi, et l'équation (58) nous donne ci{t — ti) = Oonti =z t\ c'est-à-dîrè que la température du gaz reste constante. Le même cas se jJrésentèrait'eiicore si un gaz se précipitait dans uil espace vidé d^air. îles expériences de M. Joule confirment pleinement cette assertion : elles montrent en efilet que quand on met uii réservoir vide en communication avec un autre plein d*air , la température fiinale est Ta même que la température initiale, en dëpii de l^éxpansion. Nous disons expressément la température finale ; car il peut et il doit survenir dès
— «Wî —
changements de température pendant que l'air se répand dans le réservoir d'abord vidie.ourpendantqn'fl fepeusse, suas contre-pression, un piston sans poids. La théorie et les expériences de M. Joule démontrent seulement jusqu'ici que le gaz atteint sa température initiale, lorsqu'il est revenu au repos.
NOTE DU TBADUCTEUR.
n s'agit ici de la belle expérience de Joule que j'ai déjà décrite, page 101 de la 3"^ partie. Je croisi devoir analyser cette importante question plus àifond quesne l'a faittmon ami Zeuner.
Ce qui est dit dans le texte de l'égalité de la tempérartore flnalb^ et initiale du gaz apris et avant son écoulement d'un réservoir dans l'autre , ne doit s'tntendre que de It température moyenne de la masse entière, et nompas du tout de e^e du gaz dans^chaqm véservoir en particulier.
La capacité calorifique à volumeooustant étant supposée rigoumi** sèment inivambl0^,Qt indépendante d^spiQssioQs (oeiqui n'est qa'aip<^ groximi^f : ¥oyez la 5°^ partie) , il est évident qiie oette' lempéfaituDei moyenne doit rester invariable, puisqu'il ne se Qroduitwcuntnivail QKterne positif ou négatif. J'ai montré, déj^ , pair un raisonnement trè9 siople^ dégae^ de toute, fiormule, que cette iovarîabilitô déiivedfune. Gpœpcngation qWi^!oBèi)eentnerabaissemeQtda.tempéiatiiraiproduit Qar, la raréfaction du gaz dans le réservoir d'abord plein, de gsu^rcomr primé, et la^ compreesion.qiii s'opère dans. leréservoir vide.. Déterra minons maintenantces conditions analytiq^ement et soiusrformariT goureuse.
Soient P la pression initiate , i la température initiale, n le poids dti ga2 en A\, d satcapadté à volume >ooiistant« a^ densité' à'P 'et à 0®; A et B les capacités des réservoirs. Soient aussi p* , fb- , U , tb , <r. , et /b les pressions, températures et densités , qui pendant récoulement se correspondent en A et en B.
Lorsqu'on A la pression sera devenue p. , la température et la densité corre^emdantes seront :
lo
Le poids du gaz sera :
en A TT. =Aer. =Aa(^\
enB in, = n— TT. ==Aa|i- (-y-)"!
La densité en B sera :
Et la température sera donnée par l'équation
w^ ci(i~t. ) = (n — w, ) ci[th — t), d'où Tt, (i — e. ) : (n-^7r«)H-i=fc .
puisque l'élévation de température en B doit toqours compenser exactement l'abaissement en A. A l'aide des valeurs de a et h^ il sera facile dé déterminer aussi la pression ph répondant eaikpmen A. A la fin de l'écoulement, c'est-à-dire, lorsque les pressions se sont équilibrées en A et en B, on a j9b = p. , et cette pression finale est encore facile à déterminer. En effet, puisque la température moyenne de la masse totale ir, -4- (n — tt , ) est toujours i, il en résulte que la pression finale est la même, lorsqu'on a d'un côté U et de l'autre H , que si l'on avait des deux côtés i. On a donc pour cette pression
Les températures, les pressions, les densités finales en A et en B, sont donc respectivement :
*-=(2^3-^HièB)
^• = PtTb- ^ = PtTb
Le problème est ainsi complètement résolu sous toutes ses formes.
Je n'ai pas besoin de dire qu'il est absolument impossible de faire une vérification expérimentale, même très éloignée, de l'exactitude desdonnéesanalytiquesqueje viens de développer. Tous les raisonnements précédents supposent que les réservoirs  et B sont absolument imperméables au calorique, ou, en d'autres termes, qu'ils ne cèdent aucune trace de chaleur au gaz, pendant l'écoulement. Or ceci est tellement loin de la réalité que si l'on essayait de répéter rexpérience de Joule, au point de vue où je viens de l'étudier, on arriverait aux anomalies apparentes les plus désespérantes. Je dis on arriverait; il est plus correct de dire : je suis arrivé. Ëa effet , avant d'avoir songé à l'emploi jdu diaphragme dont je parle (page 103), j'avais essayé de comprimer de l'air sec dans des réservoirs de ouivre dediverses formes, et de le laisser se précipiter dans d'autres du même métal, mais vides, i travers des tubes munis de robinets plus ou moins grands. Eh bienl les parois prenaient ou cédaient si rapidementde la chaleur ^u gaz, que je n'ai pu arriver àrien qui ressembl&t, même de loin, à des résultats réguliers.
Q.-A. HmN.
n •• et ti.
Revenons encore une fois sur lesconsidérations, présentées dans le premier chapitre, qui nous ont conduits à la deuxième équation fondamentale de la théorie mécanique.
Nous avons supposé qu'un corps, d'un volume 0 A =b t;i et à une pression Aa=:p (Qg. 8), se détendait, à température constante, jusqu'au volume OB^vi ; il a fallu pour cela la quantité de chaleur Q prise à un corps Ki à la température ^i , et mis en contact avec lui. Nous avons ensuite permis au corps de se détendre encore de 0B=t=t;|àOC=ct;i, sans toutefois lui donner ou lui soustraire de chaleur : sa température ainsi s'est abaissée à ^i. Nous avons
- tso -
comprimé le corps de 0 C = vj àO D = vs » en maintenant sa température ti constante par suite du contact avec un corps Ki qui s'est emparé de la chaleur devenue libre , de telle sorte , qu'en le comprimant enfin à son volume primitif i; . sans addition ni soustraction de chaleur, nous l'avons ramené à sa température et à sa pression initiales t et p, La chaleur interne était alors revenue à sa valeur .initiale, et la chaleur convertie en travail avait pour expression A F = Q — Qi, où F est le travail gagné et représenté par l'aire abcd.
Nous avons trouvé les relations suivantes :
DÛ t et Ti étaient des foiickic»» inoomiaefl de e et ^i. Goiûiite noas «avons maintenant que ces fonctions ne sigoiflent autre cbose que les températures absohies T= a^teili=^a^ti^ noud pouvons «dire aussi :
et
AF = Q.lz:iL=Qi. luiL (68)
et ces équations sont encore valables pour tous les corpe.
Hais supposons maintenant que le corps intermédiaire soit un gaz. D'après l'équation (49), la quantité de chaleur nécessaire pour que le gaz se détende de t; à i^i , & température constante, est
Q = AR(a^01ogn. -^ " (69)
Cette même équation (49) nous donne pour la ohaieur rendue au coipsKa
Qi»AR (an-^)logn. -^ (.?0)
On en parlant de (§7) et (69)
Qî=AR(a-h«i)logn. ^ (71)
Deoes éqifôtions, ttrâsaHe -^ =ît ^ , et enfin potir le travail externe gagné :
tii
RmiarquonsBicore que Téipiation (54) dcmne : — ^ ( t-^tx ), pour
le travail rendu par le gaz pendant qu'il se détend de OB = Vi â 0 C = vi et que tel est aussi le travail dépensé pour comprimer le gaz de 0 D = Va à 0 A = v ; les deux surfaces ADdétetBCcft sont donc égales , et le travail gagné que Représente abc d est égal aussi à la différence deÂB6aetDGcd.
Pour transformer de la chaleur en travail , nous pourrions imaginer une série complète d'autres opérations analogues aux deux précédentes, et dans lesquelles, chose essentielle, le corps intermédiaire reviendrait toujours à son état initial.
S tf •
Je siiis revenu au cas que no^ veacuis d^xamiaer prtnoipaleinent, pafoe que les éqoalioas obtenues (67) et (68) peuve&t, si Ton n'y fiiit attention, oondidie aiséfflent k des conclusions erronées.
Nous avons trouvé qu'une quantité Q de chaleur a été soustraite M eerps Ki ; qu'une quantité Qi a été rendue au corps Kg et que la quantité Q — Qi a été consonunée en travaD exterae rendu. Si maint^Mffit nous admettons que les corps Ki el Ki se sent trouvés en contact immédiat assez longtejipps pour que la quantité Qi de chaleur ait pu passer directement du corps chaud au corps froid , il est clair que nous aurons opéré un transport de chaleur sans avoir gagné de travaQ. On pourrait donc conchire que par ce transport il s'est fait une perte de chaleur : «puisque si à ce transport direct nous avions substitué Pt^ration décrite plus haut, nous aurions pu gagner en même temps, comme tovail, la quantité Q— Qi de chaleur et qu^B^ cette dermëre quantité est à considérer comme une perte
représentée, d'après l'équation ( 68), par A F = Q — — p . » Cçtte
çQQlçlusjion toutefois serait fausse, car lorsque le corps %^ gagn^, par un transport di^rect , la quantité dQ chaleur Qi , le ûorp4 Ki ne perd
non plus que cette quantité de chaleur, tandis que dans Topëration ci-dessus il cède la quantité plus grande Q. La quantité Q — Qi n'est par conséquent pas perdue, mais se trouve contenue dans le corps Kl et est encore disponible pour la production de travail aussi bien que la quantité de chaleur Qi transportée au corps Ks .
Mais de ce que le transport direct n'entraîne aucune perte de chaleur, il ne résulte pas du tout qu'il soit sans inconvénient dans les machines. Nous allons nous occuper spécialement de cette dernière considération, car les recherches auxquelles elle conduit sont de la plus haute importance, lorsque nous nous occupons de l'utilisation de la chaleur dans la machine à vapeur.
Admettons que la dernière opération que nous avons décrite se fasse avec un corps quelconque à la température U Le corps se dilate d'abord à température constante en contact avec un corps Ki et reçoit de celui-ci la quantité de chaleur Q ; on lui permet ensuite de se détendre sans addition ni soustraction de calorique jusqu'à ce que sa température baisse à t% ; puis on comprime le corps à température constante h , au contact d'un corps Ks dont la température est h de telle sorte qu'ensuite une compression plus grande faite sans addition ni soustraction de calorique le ramène à son état primitif. La quantité de chaleur transformée en travail est ici, d'après l'équati^ (68) :
AF = Q. -i=r- C'^)
Exécutons maintenant notre opération d'une autre manière.
Mettons d'abord le corps Ki en contact avec un corps Ks d'une température ^i (^i étant ici plus grand que h et plus petit que t) assez longtemps pour qu'il cède au dernier la quantité de chaleur Q. Puis recourons de nouveau à un corps intermédiaire à la température ti , et faisons-lui subir les mêmes opérations ; laissons-le, en contact avec le corps K2 , et par suite à la température t, se dilate jusqu'à ce qu'il ait reçu de K2 la quantité de chaleur Q ; laissons^le ensuite se' détendre sans addition ni soustraction de chaleur jusqu'à ce que sa température soit aussi tombée à ti , puis, en contact avec le corps
Ks , et par conséquent à la température constante 1 2 . comprimons-le de teHo sorte que, quand nous l'aurons finalement ramené, sans addition ni soustraction de calorique, à son volume initial, il se retrouve aussi d'ailleurs à son état primitif.
Si nous nonunons Fi le travAU gagné, la quantité de chaleur transformée en travail sera pour ce cas
AF.=rO. AZLà ' (74)
a -f- fi
Les équations (73) et (74) peuvent aussi s'écrire sous la forme :
(Opération I) A F = Q ( 1 - ±±Jf\ (75)
(Opération II) AFl = Q(l-^-^^ (76)
Ces équations nous montrent qu'aussi longtemps qu'on a ^ < i et que la température h est la même pour les deux opérations, le travail gagné est plus petit pour la seconde opération que pour la première. On en conclut que, lorsque les températures t et h sont données, il est désavantageux en pratique de transporter d'abord la quantité de chaleur Q d'un corps Ki à une température t sur un autre corps K« à une température plus basse h pour transformer alors seulement en travail la quantité correspondante de chaleur. C'est donc une règle pratique de faire ensorte que le corps intermédiaire ait, autant que possible, la température de la source de chaleur Ki , et que par conséquent l'intervalle de température k — U soit le plus grand possible.
La dernière utiUsation désavantageuse a lieu, en réalité en effet, dans la machine à vapeur, où la chaleur de l'air très chaud du foyer agit d'abord par transport sur l'eau de la chaudière, dont la température est bien inférieure.
L'eau, à l'état de liquide et de vapeur, est id le corps intermédiaire, et si nous supposons que celui-ci est soumis exactement à l'opération décrite plus haut et que l'expansion de la vapeur peut être poussée assez loin pour qu'elle atteigne la température du conden-
seur, nous comprendrons pins clairement encore tout ce qui précède, à l'aide de l'exemple suivant :
Soient ^ = 40*» la température du condenseur, t = iOOO® celle du foyer, ^i = 110«, 145« et 180« celle de l'eau dans la chaudière. Si Q est la quantité de chaleur qui pénètre dans la chaudière en un temps donné, le travail gagné, par rapport à cette quantité Q , sera à cause de a = 273 et d'après l'équation (74)
ti= 100 145 180
AFi
Tandîsque, d'après (73) , le maximum de travail est- = 0,754.
F Le rapport -— est donc pour ces diverses valeurs de t:
^ = 0,243 ; 0,332 ; 0,410. Toutes ces valeurs nous montrent
F combien est défectueux l'emploi de la chaleur dans une machine à
vapeur, même parfaite, telle que nous l'admettons ici , par ce fait
seul que la température de l'eau dans la chaudière s'écarte beaucoup
de celle de lasource de chaleur. En réalité il s'y ajoute encore d'autres
imperfections, et, comme nous le verons dans le chapitre suivant,
l'utilisation de la chaleur est , dans la machine à vapeur , encore
bien plus imparfaite que ne l'indiquent les derniers chiffres.
