CHAPITRE II

vàniiiUTiQiiisi.

$ 4, •— Objet, uDiié et dïTisioDs de la icience «lathénutU^e.

Lei antthteattqneB ou la matiiématiqae, MtiTant Condor* cet et M. Comte, est donc la première des seienoes, étant celle où les phéiUMnènes considérés sont les plus abstraits, les plus généranx et les pins simples. Elle comprend trois classes de phénomènes et, par suite, de lois : celles du nombre , de retendue et du mouvement. Ce qui constitue Tunitéde la science, c*est la réduction toijjours possible à de pures questions de nombre, de toute question d*étendue et de mouvement La possibilité constante de cette réduction est la propriété exclusive de ces deux ordres de questions; ce qui détermine à la fois l'étendue et les bornes de la science mathématique.

L*unité en étant ainsi constituée, elle se trouve naturellement comporter une définition générale qui, embrassant toutes ses parties, en donne cependant une idée nette et précise. Cette profonde définition, due à M. Comte, est que la science mathématique se propose constamment de détermi^ ner les grandeurs Us unes par les autres d*afn'èê les rela^ tians précises qui existent entre elies, La définition habituelle est que les mathématiques ont pour objet la mesure des grandeurs. Mais mesurer, n^est que comparer une grandeur à une autre de même nature prise pour unité. Cette définition ne peut donc donner qife ridée d'une opération mécanique, technique, plus ou moins difficile à exécuter suivant Pexactitude que Ton voudra obtenir, et non d'une science profonde et compliquée résultant d'une immense série d*opérations intellectuelles.

LA PHUOMPHtB HATQRELLE. M

cf«t qoe hi Térftable objet det mathématfquM est bien « Bl Tofi ¥eat, la narare des grandeurs» maSs la mesure iadbfeete. En réalité, la nesure dlneela» eonsiBtaat dans la eûmperaieon tmniédlate à une qtnntltA de aiéne natwe prise pour Qnfté» exige des eondltlons très-ransment remplies* et qui ne le eoDt pas pour me foule de grandeorsqa^fliKms importe extrêmement de eonnaftre. â wai dire» eette mesafs directe n*est qu^exeeptionnellement possible. Le véritable bnt des mathématiques est donc alors de déduire des grandeurs qui peurent être directement mesurées, celles qui ne peuvent l^tre. De tontes les quantités considérées en mathématique, lignes, surfaces, rolnmes, temps, vitesBes et forces, c*est évidemment la ligne droite dont la mesure directe et immédiate est la plus facile. Or, pour montrer à quel point cette mesure est, le plus souvent, impossible directement, etpourdonner tout de suite une idée desprofondeset savantes combinaisons nécessaires pour y suppléer, il suffit de citer quelques grandeurs eflTectivement mesurées: la distance de la terre au soleil qui est d'environ 86 millions de lieues, le rayon de la terre d'environ 1500 lieues, etc. Enfin, sans remonter Jusqu^aux données astronomiques, si indispensables cependant à connaître pour tant de raisons, nos moindres constructions n'exigent-dles pas constamment la détermination de certaines lignes d^près d'autres, seules immédiatement connues, au moyen des relations propres aux figures que forme la combinaison des unes et des autres?

C'est donc par le moyen des relations précises existant entre les grandeurs susceptibles d^être mesurées directement, et celles qui ne peuvent Têtre, que la science mathématique déduit celles-ci de celles-là. Ces relations sont évidemment les lois des phénomènes, que constituent les grandeurs effectives des différentes quantités qui y entrent. Or, de la définition même de la science résuite immédiatement qu'elle doit se diviser en deux parties bien distinctes corres-i

pondant à celles de la solution complète de toute question mathématique. L'une a pour but de trouver les relations entre les différentes quantités à considérer; Tautre, ces relations étant trouvées, d'en déduire les grandeurs inconnues. U est évident que la première partie ne peut résulter que d'une étude propre du phénomène, et que la seconde ne dépend plus que des, relations auxquelles il a donné lieu. Quelle qu'en soit l'origine, qu'ils aient représenté d'abord des lignes, des surfaces, des volumes, des temps, des vitesses ou des forces, les signes qui entrent dans une relation une fois obtenue n'y représentent plus que dés nombres, et tel est alors le sens des lettres employées. La première partie de la solution de la question est donc achevée quand la loi du phénomène est découverte, et la seconde commence alors et se continue Jusqu'à ce que l'on soit arrivé à une ou plusieurs grandeurs numériques, toujours finalement le but de toute recherche mathématique.

M. Comte applique aux deux parties de la science ainsi définie les qualifications de concrète et d'abstraite. Il est clair qu'une étude peut être abstraite ou concrète à bien des degrés différents; et la mathématique, qui est éminemment une science abstraite, peut donc encore être divisée en mathématique concrète et en mathématique abstraite : ces qualifications n'ayant plus alors qu'un sens relatif à Tune par rapport à l'autre de ces deux parties du même tout. La mathématique concrète comprenant la recherche des lois des phénomènes d'étendue et de mouvement, c'est-à-dire la géométrie et la mécanique, la mathématique abstraite comprendra seulement les spéculations sur les nombres, sur les grandeurs indéterminées : tel est le domaine propre de l'analyse mathématique , ou du calcul, en prenant ce mot dans son acception la plus étendue, et, par suite, embrassant l'arithmétique, l'algèbre, le calcul différentiel et intégral.

LA PHILOSOPHIE NATURELLI. 97

S â. -< Calcul ou analyse.

Les idées de nombre sont certainement plus abstraites, plus uDiverseUes et plus simples, que celles même d'étendue, qui, à leur tour, le sont plus que celles de mouvement. Nous pouvons encore dénombrer, quand nous ne pouvons constaterni môme concevoir aucune forme, comme par exemple» dans le cas des étoiles et de nos pensées. La première de toutes les sciences est donc le calcul, dont le point de départ est toujours la connaissance de relations précises, c'est- Mire d^équations^ entre diverses grandeurs; relations ou équations qui sont les lois des phénomènes, et dont la découverte est le but et le terme de la mathématique concrète.

D'après ce rôle de Téquation en mathématique, il n'est pas étonnant que Ton ne puisse réellement comprendre que par son étude approfondie, Tobjet et l'enchaînement des dlflTérentes parties de l'analyse. L'exacte définition en est: expression d'égalité entre dilTérentes fonctions des quantités considérées; entre des fonctions de nombres, les uns connus, les autres inconnus. Qu'est-ce alors pour un nombre qu'être fonction, et fonction abstraite d'un autre? Telle est la conception logique qui est, pour l'esprit humain, la source de sa plus haute puissance déductive. Pour un nombre, être fonction abstraite d'un autre, c'est en dépendre, mais de telle sorte que l'on y puisse passer de cet autre par une simple opération d'arithmétique. La dépendance d'un nombre à un autre comporte, en effet, deux modes très- ^tincts auxquels s'appliquent encore parfaitement les dénominatipns de concrète et d'abstraite. Ainsi, en prenant un exemple qui se présente constamment dans les arts, la température d'un fourneau dépendra évidemment delà quantité de combustible brûlé, en sera donc fonction ; mais H n'y a pas d'opération d'arithmétique qui> exécutée sur le nombre représentant le combustible brûlé, puisse en faire condurei

00 f>9^UiiU$ r4R7»'

IndépendantimeDt de toute observation, les degrés de chaleur correspondants. G^est là un exemple d'une dépendance entre jHmibresétabU^paraDcaspbymquedétermioé^^tfCOQséquemmenti d*UQd dépepditBce concrète» çn opposition avec ia dé- P«odaoa0 alwtrAit^ permettant de passer, par une simple oçér^tioa toglquei à» la yaleur d'ua nombre conçu pomme varlMd indépendaotfl» k 1» yaleiu* correspondante de celui qui est ^o»ça comnu» variable fonction. Anssi Ugran^e .définit lUie foBetipn me çicpremm (k calcul* 1^03 fon<*'tion3 sont simples ou composées ; ceUes><^i étant des fonctions de fonctions susceptibles d'être ainsi indéfiniment compliquées, mais toujours se formant de la même manière« Les fonctions simples, qui sont les éléments de toutes les autres, sont en petit nombre et toutes comprises dans le tableau ci*dessous. La lettre y y représente le nombre qui est fonetion de celui que représente la lettre x; et a représente un nombre qui reste ^in^^ qui est donné et connu, et qui sert ji définir lé mode de dépendance des deux autres, A chaque fonotien directe est réunie la fonction dite inverse, c*e8t4-dii*e ceUe où l'on passe de 1» variable indépendante à la variable fonction par ^opération d'arithmétique inverse à celle par laquelle fe f$4t )e m^e passade (|M9 }ft fonction directe i

l"4ic«i}le \y=^o,-\-x. . . » fonction somme.

\y=a — a?.. . . fonction dlflfÊrence.

/y=ax, .... fonction produit 2* couple } a

(»===5* • • * » * fcnotii)n quotientf

ty«i^ foncÉion puissance.

3* «oupie l »r

^ \y=:^x, ...» fonction racine.

4* couple 1^°°** fonction exponantidlô.

^ ^yariogâf. . . • fonction logarithmique* 5e ^^ jg {y^mii4i. » t ; fonottû» o}r4?i?laire direçto.

^ Kyvs. «reMn =s a») UmSm^ oircul^e m^x^*

LA pRtioirojmiif ntttnkLhE. 99

Le Caractère fotiâftiitefitftl Qe ijonë \m mùàêà M Mp^nâAAco ainsi indiqués est que Toù passe de Ton à Tàutre nombr» varia* ble par ttti tAlml qui ëtst ft effectuer eu chaque cas ^ ou bien qui, se trouvant trop IdU^et eompllquéf a étéi à rafanoe^ effectué tlné fois pour toutes^ et sur assef de oombrea pour pouvoir être eefi^é TêtTé p6ur toui. On n'a plUs alors t qu'A chercher lé résultat daus û^ tables oonatruttes et disposées éë manière ft le denner le plus comuiodéinent possible.

Telles dont lés fbuctiond slifiples abstraites. Leur petit nom* bre fait tout de suite eôuipreûdre leur lusuffisanoe néoessair» peur représenter m reiatioui préolfteii auxquelles donBent lieu les pUéflomëUeë naturels i et| en eenséquenoe» Twioes^ site dlffioulfé dé la mise en équation des problèmei. Mais c'ejri uniquemeut lorsque ren a établi les lois des phénomènes à raide ded funotions entièrement composées des seuls éléments analytiques Ci-dessus énumérés que le problème de* Vient vraîiflënt abstrait, et se réduit à une question de nombre.

Quant ft augmenter le nombre des éléments analytiques^ c*edt peut-être possible, mais assurément fort difficile. Tous led procédés euiployél pour eréer eeux que Ton donnait sont épuisés, et l'en ne voit pas quels nouveaux poutraient être imaginéiâi Pour y suppléer donc et faciliter la mise en éqUa*' tien deâ problèuies, on a eu recours ft Partifice suivants o'est^ ne pouvant obtenir d'équatibns entre les fonctions des quantités qui sont immédiatement les données et les inconnues d'une question, d'en chercher de plus faciles à obtenir» entre des fonctioni dé quantités auxiliaires, liées aux grandeurs appartenant directement &la question» de telle sorte que Ton puisise ensuite passer de ces premières relations à celles que^ rcn a déânitlvèment en vue. C'est ce qu'a permis de faire avec le plus grand succès l'analyse transcendante, dite généralement calcul différentiel et intégral, qui constitue le plus puissant moyen d'investigation qu'ait imaginé l'esprit humain pour pénétrer les secrète de la naturCi

Cette analyse transcendante a été conçue sous trois formes différentes par Leibnitz, Newton etLagrange : dans la première conception, les quantités auxiliaires introduites sont les éléments infiniment petits, ou les différentielles des divers ordres des quantités primitives ; dans la seconde, ce sont les limites des rapports des accroissements simultanés de ces quanjtités ; enfin, dans la troisième, ce sont leurs dérivées ou les coefficients, à un facteur constant près, des puissances de Tac* croîssement de la variable conçue comme indépendante dans le développement, suivant ces puissances, de Taccroissement de la variable fonction. Ces trois conceptions ont chacune des avantages et des inconvénients qui leur sont propres, et qui sont relatifs, soit à la perfection logique, soit à la facilité des applications ; mais dans toutes trois, non-seulement le procédé général est toujours le même, mais encore les quantités auxiliaires introduites sont exactement identiques.

La résolution des problèmes conduit alors, suivant que Ton adopte Tune ou l'autre de ces trois conceptions, à des équa tiens différentielies, à des équations aux limites, ou à des équations dérivées. Dans ces relations entrent donc les quantités auxiliaires introduites pour pouvoir mettre le problème en équation, et qu'il faut éliminer. De là la nécessité des deux calculs, différentiel et intégral, dont se compose l'analyse transcendante ; ayant Tun pour but de trouver les relations entre les grandeurs auxiliaires correspondantes aux relations entre les grandeurs primitives ; et l'autre, inv^sement, les relations entre les grandeurs primitives d'après celles qui existent entre les grandeurs auxiliaires. Un exemple mettra en évidence la nécessité générale et le rôle de chacun d'eux dans la solution des questions mathématiques. L'équation différentielle la plus simple à laquelle donne lieu le problème de la rectification des courbes est :

LA PHILOSOPBU NATURELLE. 101

S est la lODgaeor de Tare, a; et y les coordonnées de son extrémité variable. La relation finale à laquelle on doit arriver ne devant être qu'entre s et x, il faut éliminer la différentielle dy au moyen de la relation connue entre y et x. C'est le calcul différentiel qui permet de passer de cette relaà celle entre dy et dx au moyen de laquelle Téquatlon infinitésimale est ramenée à ne plus contenir que ds etdx.îje ealcul Intégral doit alors conduire à Téquation entre s et x. Ainsi donc le rOledu calcul différentiel dans la résolution des problèmes (outre qu'il est la base du calcul intégral)^ c'est de permettre d'éliminer, au moyen des relations données, les différentielles que l'on a dû introduire pour pouvoir mettre le problème en équation, et qui ne doivent pas figurer dans i'équation différentielle définitive. On voit ainsi, dans la solution des problèmes, la nécessité générale des deux calculs différentiel et intégral. Mais, dans quelques cas exceptionnels, naturellement les plus simples et cependant très-importants, l'un ou Fautre suffit à la complète transformation des équations transcendantes en équations algébriques. C'est le calcul différentiel quand les grandeurs cherchées entrent directement dans les équations qui ne contiennent alors différentiellement que des fonctions connues : ainsi il arrive pour le problème des tangentes. Dans d'autres cas, les équations ne contenant que les différentielles des fonctions cherchées sont immédiatement propres à Tintégration ; et telles sont celles auxquelles donne lieu le problème des quadratures.

Ainsi nous devons actuellement supposer que, partis d'une seule équation différentielle, en ne supposant qu'une inconnue, nous sommes arrivés à une équation algébrique, c'est-à-dire à une équation ayant directement lieu entre les grandeurs connues, les données de la question, et l'inconnue. Ce qui reste alors à faire pour achever la solution du problème comprend encore deux parties très-distinctes: l'une algé-

109 DBUXIÈHI PARTIJS,

brique, Tatitrô arithmétique. La preniièbe détermiuë queller fonction défi quantités connues est llpconnu^) la sâoenée calcule la ?àleur de cette inconnue.

L'algèbre a dono pour objet la résolution des équationsi et Tarithmétique Tévaluation des fonctions, l^tie équation n'e&tratne là valeur d'une ineonnue que eomme oofiséquencl^i c'ést^ft'^dire implicitement. Le but et Id rôle de ralgèbre sont alors de passer de oette foime iniplioitë de rin« oniinueà sa fdrmë explicite, en mettant en évidenob au thdjren des quantités oonnùei^ le itiode de isA foi^ôiation ^ d'est>lk-dire montrabt quelle fonction elle est de oes quantités : et tel est refibt de larésolution des équatfonsi LecaléUl arithmétique n'a plus alors qu'à évaluer les fonctions, et Àohôve la question en conduisant au nombre, objet final de là rëoherche.

AiQsi, pour iH§8ôudre un problème de Inâthématiquei il y a d'abord à trouver et à poser son ëquatioû. Le pltiii souvent elle sei^a différentielle; l'analyse ti^nscéndantO) comprenant le calcul différentiel et intégral, qui sont, en général) Futi et l'autre nécessaires à cet eâbt , donne alors le moyen de passer ft Téquation algébrique^ Pu* l'algèbre en trànsfbrme oeUe^i de manière à mettre en évidence la fonction qu'est Tia^ connue des données de la question : le calcul arithmêtiquô en fournit la valeur*

Tel est) en partant de TéqUàtion^ l'objet propre et Ten^ ohaînement dès différentes parties de l'analyse. Ayant ainsi défini et passé ed revue, autant que le comporte un ouvrage comme celui-ci , les différentes parties de la mathématique abstraite, nous avons à examiner de la même manière la mathématique concrète ) dont l'équation^ point de dé|Hirt de là première, avons^-nous dit) est le termes

§ 3. 7~ Géométrie.

Après les idées de nOmbrei celles d'étââdue sont lel plust abstraites, les plus généi^leset, par suite, les plus simples;

LA PHILOftOPtttB HAtOMLLK* 108

et Itt géd&iétrié Se ti*ô)ité ainsi âe¥61r dttttrTe imitiédiaMment l^analysè. Mais âe Tune à l^atîtfe la dlfiéi^tMa est ooDsIdéra* ble et tranchée. Eii efR)t, ëi Tanâlyse eat une ëcieaoe purement logl(}ae, la géottiétHe eat réallemeni una rtclenoa ûiitûMlë, ayaiit pouf point de départ tta eertain nombre de phénomènes pHMitift, Qui, ne pouvant atre établis par aii-> ctin ^aisotlneI&ent , né Sont Ibndés que sur Tobservatlon. 1^1 est le téf itablê bàfaétéK de oeux qtt*on y appelle des âjciomés, qtii » reposant ëiir une induction tellement facile qu'elle passe in&perçue,Sont définis: des térités évidentes par elles-mômes.

La définition dé la géométrie exige Texposltion préalable de deux dônoeptions fondamentales sur lesquelles répose toute la sclencô» La première est celle de Tespace : elle consiste à envisagea retendue dans un milieu indéfini , que nous regardons comme Contenant tous les corps de Tuniret^, au lieu de la considérer dans les tsorps ettx-mémes. L'extrême importance de cette conception rient de ce qu*elle permet d^étndier les phénomènes géométriques en faisant abstraction de tous les autres, qui, dans les corps réels, les accompagnent constamment , sans dépendant exercer sur eux aucune influeiicéi

La seconde conception préliminaire M celle des diffé* rèhtes sortes d'étendue ï volume, surfàe^, ligne et même point Quoiqu'il Soit évidemment impossible de concevoir aucun Corps absolument privé dé Tune quelconque des trois dimensiotidi longueu^, largeur» épaisseur, lès questions géo« métriques dans Une fbule de cas^ même d*uné Utilité immé-' diatè, Ue dépehdént que dé déUX dimensions considérées séparément de la troisième^ ou d'une seule dimension con^ Sidérée séparément des deux autres. D*un autre côté, in* dépendamment dé ce motif direct, Tétudé de TétendUe à uuë seule dimèUsion $ et eUëuitô ft deux f ddhstituê un pré-* liminaire indispensable h Tétude des corps eomplets, ou a

trois dimensions, dont la théorie immédiate serait trop compliquée. Tels sont les deux motifs généraux qui obligent à considérer retendue par rapport à une ou à deux dimensions, avant de Tenyisager relativement à toutes les trois ensemble.

C'est afin de pouvoir penser d'une manière permanente à rétendue dans deux sens, ou dans un seul, <]ue Tesprlt humain se forme les notions générales de surface et de ligne. Il suffit pour cela de concevoir la dimension que Ton veut éliminer comme devenue graduellement de plus en plus petite, les deux autres restant les mêmes, jusqu'à ce qu'elle soit parvenue à un tel degré de ténuité qu'elle ne puisse plus fixer l'attention. C'est ainsi qu'on acquiert naturellement ridée d'une surface, puis celle d'une ligne^ en renouvelant pour la largeur ce que l'on a d'abord fait pour Tépaisseur. Enfin, par une troisième opération analogue, on parvient à l'idée d'un point , ou d'une étendue considérée uniquement par rapport à son lieu , abstraction faite de toute grandeur, et destinée par conséquent à préciser les positions. Les surfaces ont d'ailleurs évidemment la propriété générale de circonscrire les volumes; et de même les lignes, à leur tour, circonscrivent les surfaces, et sont limitées par des points.

Ces préliminaires posés, la définition générale de la géom<ïtrie, lui donnant pour but la mesure de l'étendue, peut être maintenant comprise dans toute sa portée. L'idée de mesure emportant celle de comparaison immédiate , mécanique, à une grandeur de môme espèce, n'est admise en géo^ métrie que pour la ligne droite, de telle sorte que l'objet de la science relativement aux surfaces, aux volumes, aux lignes courbes, est d'en ramener la comparaison à celle de telles lignes. Ainsi, étant données et définies des lignes courbes, des surfaces et des volumes, la géométrie doit faire connaître quelles lignes droites devront être directement mesurées, et quelles seront ensuite les opérations ultérieures à exécuter sur les nombres ainsi obtenus, pour qu'on puisse en con-

LA PHILOSOPHIE HATUBILLI. 105

dure, par exemple, le nombre de mètres des lignes courbes, de mètres carrés des surfaces, de mètres cubes des volumes que la question était de mesurer.

Quant aux lignes droites, restimation n'en doit être regardée comme directe qu'autant que Ton y peut porter Tunité linéaire. Comme nous Pavons dit, c'est ce qui est le pios souvent impossible pour nombre de celles qu'il nous importe de connaître. Il doit donc y avoir une étude géométrique distincte ayant pour objet de déterminer les lignes droites les unes par les autres, d'après les relations propres aux figures qu'elles sont susceptibles de former. Ce problème fondamental est susceptible de deux solutions générales de nature tout à fait distincte, Tune graphique, l'autre algébrique.

La première consiste à rapporter à volonté, c'est-à-dire à construire, soit avec les mêmes dimensions soit avec d'autres plus commodes, les figures contenant, avec les lignes connues, les lignes inconnues et cherchées, de manière que ces dernières puissent y être directement mesurées. Ainsi nous verrons en astronomie qu'Aristarque de Samos estimait la distance relative du soleil et de la terre à la lune en prenant des mesures sur un triangle construit de façon à être semblable au triangle rectangle formé par les trois astres à l'instant où la lune se trouve en quadrature. Cette exacte reproduction d'une figure à la même échelle ou à une échelle différente, ne présente pas de grande difficulté théorique lorsque toutes les parties de la figure proposée sont comprises dans le même plan. Mais si elles sont situées dans des plans différents, comme il arrive le plus souvent, par exemple pour toutes les questions de géométrie à trois dimensions , la solution graphique donne lieu à une difficulté générale qui lui est propre : celle de substituer aux diverses constructions en relief, presque toigours impossibles à exécuter, des cons^uctîons planes donnant les mêmes résultats.

Tel est Tabjet de lagêoiliêtfle desci-iptire, qtie, pl# UB© vue ûë génie, Monge à créée et côtistitttêe bh un ôarps de doetrf fie dis* tînct et homogène.

Dans la i^ltitloti algébrit|ti$, toujotif lâ bien pins Kmgm^ pénible et complitiuéë à tous égards^ mais Susceptible d'une exactitude dont la solution graphique ne peut mèuie approêhef 9 c'est pal" dé pufes Opérations dé OAloul que le^ graindeurs inôonfiUës et ohèrchées doivent uê déduire de oelleit que Yen peut directement mesuren Toutes les figures reo« tiligfieiii étant àêôoiiiposabies en triangles, Il suffit^ pour déteftninef lest uM pftf leâ ttutrei les divers élétaents de celles-là I de le savoir faire pour ceux-ci t dC \k Tobjet si pat* suite la définition de la trigonométriei

Tels sont, en aperçu, les deux procédés généraux par le** quels on parvient ft eonnsdtre la grandeur de lignes droites que Ton ne peut directement mesUreri En revenant maintenant aux autres formes, il faut ramener toutes les mesures qui leur sont relatives à celles des lignes droiteôi Ct le prin" cipe fondamental de leur étude est de oensidéreri non pas seulement celles que peuvent oïïtir les eorps de la naturel mais toutes Celles que Tob peut concevoir. C'est seulement l'étude des fbrmei hypothétiques les plus simples « qui a mis en état de surmonter les difiloultés que présentait la connakh sance des. formes effectivement réalisées; et ce u'est qu^en étudiant toutes les /brmes ImUginables que l'en peut être sûr d'y trouver dans le nombre celles qui exieitent

Mais, dans la composition effective de la géométrie i une foule de recherches consistant dans Tétude des diverses propriétés i e'est^à-dire des différents modes de génération ou de définition de chaque forme, paraissent n'avoir nullement pour objet la mesure de l'étendue. Deux eonsidérations fondamentales prouvent la relation intime i d'ailleurs directe ou indi^ recte, d'une telle étude avec les questions de mesuroi

La première est que le succès de la recherche des rectiôeo-

LA ^mf^MPmê VA7PPELLE. i07

ibmàfi» qmirUur^ et des outetures, qui con9titue Toty^t fin«l (to Ift géométrie, «^rait certiMjjement à p^u près iigpossibto Ai une ligiui o'étaii coooue quq par un$ «9u1q de «es propriétéjiy Bt Ton P9M même dire que te principale difllcuUé des questioue deçegeure oon«i«te A employer, doos cliaque cas, la projeté qpi 9'adi^to le mieux i la nature du problème proposé, M second lieu, ce o'est qu'A la condition de connatlk*e le plus grand nombre possible de propriétés d*une ligne que you peiil légitimement espérer la reconnaître quand elle sera effactivemient réalisée» si du temps d^^ Kepler ou n'avait «onnu de Tellipse que sa propriété d'être la «action oblique d'un cùUQ ipircnlaire par un plan, j^m^is il n'aurait pu la reconnaître ponr l'orbite des planètes, fit sj on n'avait j/tmais connu (]e laippbère d'autre propriété que son caractère primitif 4 Voir tous ses points paiement distants d*un point intérîeuri comment aurait^n jamais pu découvrir que la sur* face àê )a terre ét^t spbérique 7

La géométrie, devant donc embrasser toutes les formes imaginables et découvrir toutes les propriétés de chaque (orme, est susceptible d'être traitée suivant deux plans es- «tentteUement distincts^ L'i^n, qui a été celui des anciens» consiste à grouper enfiemble toutes les qnestions qui concernent une m^ne (biwei l'autre, qui est celui des modernes depuis Desc^rtes, consiste à réunir, dans un même point de vue, toutes les recbercbes semblables, à quelques formes diverses qu'elles se rapportent d'ailleurs, La géométrie des anciens était donc spéciale, tandis que çejle des modernes est, au

C0ptrair9f gén4rQi£^

^onmolmmit les problèmes qui constituent l'objet déBpitif d# Ja géométrie, c'est-à-dire les rectifications, les quadratures et les Gubatures, sont communs à. toutes les formes, mais il en est de même pour les recherches essentielles relatives aux diverses propriétés des lignes et des surfaces, telles que Jes ^esjjons des tangentes et; des plans tangents, ]a

théorie des courbures, etc. La géométrie moderne consiste à abstraire, pour, la traiter à part d'une manière générale, toute question relative à un même phénomène géométrique dans quelque corps qu'il puisse êb-e considéré. L'application des théories universelles alors construites n*^est plus ensuite qu'un travail subalterne à exécuter dans chaque cas particulier suivant une règle invariable dont le succès est certain d'avance.

La supériorité de la géométrie générale sur la géométrie spéciale est évidente d'elle-même, mais il Test aussi que d'abord c'est celle-ci qui seule a pu surgir. La géométrie générale n'eût point été possible, on n'en n'eût même pas senti la convenance sans une longue suite de travaux spéciaux sur les formes les plus simples. En outre, cette géométrie est entièrement fondée sur la transformation des considérations géométriques en considérations analytiques équivalentes, ce qui exige d'abord que Ton sache représenter analytiquement les sujets mêmes dans lesquels résident les phénomènes, c'est-à-dire les lignes ou les surfaces étudiées. Et pour cela il est nécessaire que la science, dès longtemps cultivée, ait réussi à établir, relativement aux phénomènes considérés, quelques équations, point de départ de cette représentation. La première dif^culté a été alors de réduire, à de simples Idées numériques, toutes les notions géométriques qui rentrent évidemment dans les trois catégories suivantes : la grandeur, la forme et la position. La première de ces notions revient Immédiatement à celle de nombre ; la seconde est toujours réductible à la troisième, car la forme d'un corps résulte évidemment de la position mutuelle des différents points dont il est composé : toute la difficulté se réduit donc à ramener les idées de position, ou de situation , à des idées de grandeur.

Telle est, d'après la conception de Descartes, la conséquence de la détermination complète do la position d'un

LA PHILOSOPHIE NATUBELLK. 109

point» devant rester dans un même plan , par la grandeur de deux coordonnées qui en donnent les distances à deux positions fixes qui sont généralement celles de deux droites. Dans le cas où le point occupe une position quelconque dans Tespace, sa détermination résulte de la grandeur de trois coordonnées telles par exemple que ses distances à trois plana fixe& Il s*ensuit alors que, par quelque propriété qu*une ligne soit définie, elle pourra toigours être représentée par une équation entre les deux coordonnées de chacun de ses points, si elle est plane; et, si non, par deux équations entre les trois coordonnées de chacun d^eux. Une surface sera représentée par une seule équation entre les trois coordonnées de ses différents points.

Les lignes et les /lurfaces étant ainsi représentées analy tiquement^ il devient possible de concevoir que toutes leurs propriétés, toutes les questions auxquelles elles donnent lieu, doivent nécessairement comporter une interprétation semblable. Le but de la science est alors essentiellement de déterminer quelle est, en général , Texpression anal.vtique de tel ou tel phénomène géométrique, et, réciproquement, de découvrir l'interprétation géométrique de telle ou telle considération analytique. C'est ainsi, en déterminant les modifications algébriques qui, dans les équations des lignes et des surfaces, correspondent aux phénomènes géométriques, que Ton a pu réduire toutes les questions de géométrie générale à de pures questions d^analyse. Mais le détail d*une telle transformation, même quant aux questions générales les plus importantes, ne peut trouver place ici : et il doit nous suffire d'avoir indiqué la conception fondamentale qui en est la base, et d'en avoir fait comprendre la réalité.

Ayant ainsi exactement défini les différentes parties de la géométrie, montré leur but propre, leur nécessité respective et leur enchaînement, il nous reste, pour avoir complètement passé en revue la .mathématique concrète, ot» par

suite, toute la science mathématique, à examiner de la même manière la mécanique rationnelle.

$ 4, — Mécanique.

Les phénomènes du mouvement qu^étndie la mécasiqtié sont moins généraux et moins simples que ceux de retendue. Tous les corps ne sont pas toujours en mourement, tandis qu'ils ne cessent jamais d'offWr les trois attributs géométriques : grandeur, forme et situation. Et si IMmmobilité, quand elle existe, n'a jamais lieu que parce que les mouyements que tendent à prendre les corps sont détruits ou empêchés, il n'en est pas moins vrai que les corps peuvent n'être alors étudiés que quant aux phénomènes d'étendue, sans aucun égard aux mouvements détruits. Au lieu que, la pression ou force que produit un corps maintenu en repos, aussi bien que le mouvement qu'il prend effectivement, dépendant généralement de sa forme, l'étude de la force ou du mouvement suppose l'étude de la forme, La mécanique vient donc après la géométrie dans Téchelle de la simplicité décroissante.

Le point de départ de l'étude du mouvement en lui-même, indépendamment des corps et des circonstances qui nous le présentent, est un artifice logique aussi nécessaire que l'institution de l'espace en géométrie, mais d'une bien plus haute difficulté. Cet artifice consiste à concevoir tous les corps de la nature comme inertes ^ c'est-à-dire comme absolument incapables de prendre ou de modifier par eux-mêmes aucun mouvement Et alors, quand on en veut considérer les déplacements effectifs, on remplace, par des mouvements extérieurs qui leur sont communiqués, tous ceux qu'ils tendent à prendre spontanément Si l'on ne faisait point ainsi d'abord complètement abstraction de toute modification qu'an corps peut apporter aux mouvements qui lui sont commun!*

LA PBlbOSOPlHI NATDBELLE. lii

qaéa, iiflsndt impossible d'établir, en mécaDiquc* la moindre propriété générale, et de distinguer et comparer entre ellea tes ëUérmiim sortes de mouyanents.

Meus sfons tu» en géoratoie^ qne le raisonneoient dorait y

»^f pevr base et pour point de dépwt quelques fait»||éné-

nuiindénontrables et directement émanés de Tobs^vation :

ils y sont tellement simples et laeiles à déeonvrfr qu^oa les

^ éridents J'eox-mèfces. eette Hième néeessité d'une base

ex|)érimentale doit se faire sentir bien plus forteuieat eueore

en mécanique qu'en géométrie , puisque la science devient

phis compliquée et moins abstraite; et en même temps elle

ésAia'f trourer bien plus difficile k établir. En effet, au lieu

de qn^ues axiomes comme en géométrie, elle eomprend

trois grands faits générais ou lois qui , obserrés dans des

«ireoDstances et des cas de plus en plus nembreux, ont pu k

la fin être, par induetlen, eaititoment généralisés»

U premi^^ de ces lois du mourement^ désignée généraleiBent, mais mal, sous le nom de loi dMnertie, jt^ été découverte par Kepler. Elle consiste proprement en ce que tout (H>rps soumis ft Taetiott d'une force ui^que qui agit sur lui instantanément, se meut eonstammoit en ligne droite ^ avec iffie vitesse invariable. Au lieu de se borner à regutier ^tte le! eoofmfe un fait observé, on a prétendu la désaontrw en disant qijie le corps devait suivre la ligne droite parce 4û^n n'y a pas de néson pour qu'il s'écarte d'un eôté plnt6t ^ de fikfx^Q de sa direction primitive. Mais dire qu'il n'y & pas de raison veut simplement dire que l'on n'en voit pas; ^t, justement, le fait lui-même (le corps ne ebangeant pas sa érection et sa vitesse pHmttîves) peut seul prouver qu'effectivement il n'y a pas de rafison pour qu'îles ebangent La Térîta!^ démonstration de cette loi est l'incontestable et ^eHe observation que, dans tous les f^bénomènes de mouvement que nous offre la nature, toute AaodMcation en direction et en Vitesse à m mouvett^^t teitlal «si toujours due à

la combinaison de ce mouvement avec quelque influence active ou passive.

La deuxième loi du mouvement, découverte par Galilée, est celle de rindépendance ou delà coexistence des mouvements. Elle consiste en ce quMn corps se trouve toujours à chaque instant, en vertu de différents mouvements qui lui sont communiqués à la fois, au même point de Tespace où il se trouverait si chacun de ces mouvements lui avait été communiqué séparément et successivement De cette loi résulte immédiatement que tout mouvement, exactement commun à tous les corps d*un système, n'altère en rien les mouvements particuliers des différents corps les uns à l'égard des autres, mouvements qui doivent s'exécuter et produire les déplacements relatifs, comme si Tensemble du système était immobile. Quant à la véritable démonstration de cette loi, elle résulte de sa vérification constamment observable dans tous les phénomènes de Tunivers, dont l'économie serait bouleversée de fond en comble s'il en était autrement. Quelle existence, en effet, comparable à ce qui s'y passe, serait alors possible sur un vaisseau, par exemple, et sur la terre elle-même, qui parcourt en une seconde 30,000 mètres environ de son orbite?

La troisième et dernière loi du mouvement, due à Newton, consiste en ce que, toutes les fois qu'un corps est mû par un autre, il exerce sur lui une réaction constamment égale à Paction, si Tune et l'autre sont convenablement mesurées. Cette égalité se manifeste dans tous les phénomènes de communication du mouvement, soit que les corps agissent les uns sur les autres par impulsion, pression, traction ou gravitation réciproque. Mais cette loi fait alors naiti;e une notion nouvelle, celle de la masse ou quantité de matière d'un corps, qu'elle donne aussi le moyen de mesurer. En effet, dans régalité entre Faction et la réaction, c'est le produit de la masse par la vitesse échangée qui est égal de part et d'autre ; de teJle sorte que, dans le mouvement communiqué,

LA PBILOSOPmX NATOHELLS. 113

les circoDstances étant les mêmes, à diiTéreiits oorÎM par nn autre, la vitesse que prendra chacun d^eox sera toi\|ours en raison inverse de sa masse*

Telles sont les trois lois physiques du mouvement, bases nécessaires mais suffisantes de son étude mathématique, c*est-à-dire purement rationnelie : il s*agit actuellement d'en préciser Tobjet et d'indiquer les conceptions fondamen« taies d'où résulte la possibilité d'une telle étude.

Toute ligne pouvant être représentée par une ou deux équations, il est clair qu'un mouvement quelconque doit pouvoir, par suite, être représenté par un choix convenable d'équations, puisqu'il est complètement défini quand, outre la nature de la ligne parcourue, on connaît encore le temps employé à en décrire les différentes parties. Dans le cas du mouvement rectlligne, sa représentation par une équation entre l'espace et le temps se conçoit immédiatement ; et, réciproquement, il en est de même de la représentation par un mouvement rectlligne de toute équation entre deux variables, en prenant Tuned^elles pour le temps, et l'autre pour l'espace parcouru. Or, si nous supposons deux ou trois mouvements rectiiignes coexistants, représentés chacun par une équation, il est aisé de voir, d'après la loi de Galilée, qu'en général il en résultera un mouvement unique curviligne (dans deux cas particuliers très-importants, ainsi que nous allons voir ci-^rès, le mouvement composé reste rectlligne), et que les équations de la courbe décrite s'obtiendront en éliminant le temps de celle des mouvements rectiiignes. Par suite, inversement, nous pouvons donc concevoir tout mouvement curviligne comme résultant de deux ou trois mouvements rectiiignes, suivant qu'il a lieu ou non dans un même plan. Le problème général de la mécanique est alors, ou de trouver le mouvement curviligne résultant de mouvements rectiiignes connus et donnés : par exemple , celui des projectiles en conséquence de Timpulsion initiale et de l'action

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LA PBILOSOPHIJB NATURELLE. 115

Cetta vitesse çooslaote qui résulte d'un mouTement unique une fois communiqué h un corps d*après Ift première loi du mouvement, donne l'Idée, la notion, d'une force d'impulsion. Une force se définit une cause de mouvement; mais, comme Ton ne peut dire qu'une cause est double, triple, etc. , d'une autre, il faut toujours admettre que les forces se mesurent par leurs effets. Ainsi , quand on dit qu'un corps est sollicité par une force d'impulsion double, triple d'une autre, enfin égale h un nombre, cela veut dire simplement que ce nombre représente la vitesse que le corps doit prendre par suite du Biouvement qui lui est communiqué.

Le mouvement uniforme, qui est le plus simple de tous et qui, en réalité, ne se rencontre jamais dans la nature, au moins comme résultat de forées d'impulsion, sert à en concevoir de plus compliqués et de plus réels, où la vitesse, au lieu de rester constante, varie d'une manière continue, de telle sorte que, comme l'espace, elle doit être fonction du temps. Tels sont las mouvements dits variés. Mais alors dans de tels mouvements, pour définir et se représenter la vitesse h un instant quelconque, il faut supposer qu'à partir de cet instant toute modification cesse, et que le mouvement devient uniforme. La vitesse du mouvement à Tinstant considéré est alors Tes* pace qui serait parcouru pendant l'unité de temps dans ce mouvement hypothétique. En la concevant comme fonction du temps, la modification la plus simple qu'elle puisse éprouver est d'augmenter constamment d'une quantité égale pendant le même temps, ou, autrement dit, de croître proportionnellement au temps; le mouvement est alors dit uniformément varié. Dans un t^ mouvement, si, d'un moment à l'autre , l'intervaUe de temps est supposé infiniment petit, Taugmentation de vitesse doit être aussi, évidemment, infi* niment petite.

De même que le mou vmnent laniforme donne l'idée de forces d'impulsion I de même le mouyement varié doi^ne celle de

forces contiDues, dites forces accélératrices ou retardatrices, quel^on peut concevoir comme communiquant, en des intervalles de temps infiniment petits, des impulsions infiniment petites. De telles forces produisent toujours dans le corps qu^elles sollicitent, pendant son mouvement même, une augmentation finie de vitesse en un temps fini. Or, il est clair que cette augmentation , pour un même temps, peut être constante ou variable : si elle est constante, c'est que la force continue Test aussi ; si elle varie, c*est que cette force est elle-même variable. Dans le cas où elle est constante, qui est celui du mouvement dit uniformément varié, Taugmentatioa de la vitesse rapportée à l*unité de temps sera évidemment sa mesure, en même temps qu*en réalité sa définition; et la comparaison de deux mouvements uniformément variés se réduira à celle de cette seule grandeur qui définit complètement chacun d*eux.

Diaprés la définition même d*un tel mouvemwt, il est évident, comme nous Tavons dit, que la vitesse y croît proportionnellement au temps. On peut donc ainsi la connaître à chaque instant sans qu'en réalité Bile soit jamais effectivement réalisée» puisqu*il faudrait pour cela qu*à Tinstant même où elle est acquise son augmentation cessât, que la force continue n'agît plus et que le mouvement devînt uniforme.

Mais, outre la vitesse qui est donnée immédiatement par la définition même du mouvement uniformément varié, il reste encore à connaître Tespace en fonction du temps. Or, il est facile d*y arriver d'après la loi du mouvement due à Galilée; et une construction géométrique très-simple prouve que, les vitesses étant proportionnelles aux temps, les espaces parcourus doivent croître comme les carrés des temps employés & les parcourir, ce qui donne , eùtre l'espace et le temps , une équation de la forme esaf*. Le mouvement uniforme et varié est alors complètement connu ; l'observation et l'ex-

périence montrent qa^abstraction faite de la réslataace du milieu, c*e8t celui des corps pesants à la surface de la terre. Il en résulte donc que Taction de la gravité qui le produit est une force constante et continue.

Ainsi» leur définition physique ayant permis de trouver réquation qui dans chacun d'eux lie Tespace et le temps, voilà deux mouvements complètement connus : les mouvements rectilignes uniformes et uniformément variés. Par suite l*est aussi celui qui résulterait de la coexistence de ces deux-là, la direction étant la même, puisque, d'après la loi de la composition des mouvements, l'espace parcouru doit y être à chaque instant la somme des espaces que chacun d'eux aurait fait parcourir, étant communiqué séparément au corps; et la vitesse, la somme de la vitesse d'impulsion que suppose le mouvement uniforme et de la vitesse acquise en vertu du mouvement uniformément varié.

Ce mouvement, composé d*ua mouvement uniforme et d*un mouvement uniformément varié, est le plus simple de tous les mouvements possibles composés et variés; et il sert, par suite, de terme de comparaison auquel on rapporte tous les autres pour y concevoir les différentes grandeurs qu'ils présentent k considérer. En un tel mouvement, l'augmentation de la vitesse dans l'unité de temps, ou, en général, dans le même temps, est donc constante. En un mouvement rectiligne quelconque, ellesera, au contraire, constamment variable, et dépendra du temps : elle en sera donc fonction.

Le mouvement uniformément varié donne l'idée, la notion , d'une force constante, et le mouvement varié , non uniformément, celle d une force variable. Mais alors, pour se représenter ce que signifie à un instant déterminé la grandeur de cette force qui varie toujours, il faut supposer qu'à partir de cet instant elle devienne constante; et cette grandeur est , dai^ le mouvement hypothétique et uniformément varié qui alors aurait lieu , l'augmentation de vitesse acquise pendant-

lie DIOIlÈn PAKTII»

l^tittfli ai liinpt. Aioai, quind oa iuj^pûse tta teri^ attinfr tûn un point par une force variant en raiâon inversa du carré de la dfstanee à eè point» eela veut dire que i si Faction que le point exerce sur le, corps dans les différentes positions de eelttiMSi devenait constante, ce corps prendrait» à partir de chacune d^elles, des mouvements uniformément variés» ûû racorcrissement de vitesse pendant l'unité de temps varierait de Tune à l'autre en raison inverse de la distance qui existait entre lepolnt et le corps à Pinstant où Taotion du point serait devenue constante» Un second artifice du même genre indique» pour un mouvement reotiligne et varié d-une tnanlère quelconque , comme nous Tavonavu pour un mouvement uniformément varié, ce qu'est la vitesse à un instant déterminé. On conçoit qu*à cet instant le mouvement de<» vienne uniforme ; et la vitesse en question du mouvement rectiligne quelconque sera celle de ce mouvement uniforme supposé.

Ainsi nous voyons que, dans un mouvement rectiligne quel^ cohque, il y a & considérer, outre Tespace et le temps» la ?i« tesse et la force ; et que, comme Tespàce) ces dernières quantités sont des fonctions du temps, qui toutes doivent ôtre connues pour que le mouvemment le soit Gompiétement Et comme» si Ton a la relation entre Tespaee et le temps» le mouvement est complètement défini , il fftut donc que les relations qui lient la vitesse» la force et le temps, en soient des conséquences et s^en puissent déduire ; et, réci]^^uement, celles-ci doivent entratner la relation entre l^space et le temps. Le problème pr^imlnaire mais fondamental de toute la théorie du mouvement estalors d*indiquer le moyen de passer des unes aux autr^.

or, h ce sujet, 11 est démontré que, d'après les définitions, ci-dessus données, de la vitesse et de la force, l'espace étant une certaine fonction du temps, la vitesse en est la fonction dérivée première» ou coefficient dilTérentiel ; et que la force

LA PBIUMOPHIB NATDUKLLE. 119

cot doniiito à ebaque io9t»iit par la dérivée pramière de la vitesse, on la dérivée seeoode de \9k fonoUoa qa^ res|)aoe est dtt temps,

il est aisé de voir maiateQaDt quelles sont les différentas questions de mécanique relatives au mouvement reotiiigne, et comment toutes se réduisent à de purs problèmes d'analyse. £n effet» les ciFopQstiiaces de l'accomplitsemeat d*un moavement faisant connaître soit Tespaoe , la vitesse ou la force en fonction du temps, soit même une équation entre toutes ces quantités, ou quelques-unes d'entre ellesi en déduira ebacune d'elles n'est plus, d'après les relations ci-dessus indiquées, qu'un problème de calcul différentiel» ou» le plus souvent, de calcul intégral, mais qui, par suite de l'extrême imperfeetion de ce dernier» ne sera d*ailleurs complètement résoluble que rarement

J'ai dit qu'en général les mouvements rectiiignes composés conformément à la loi de Galilée, aboutissaient à un seul mouvement curviligne. En effet si les mouvements coexistants sont uniformes ou uniformément variés» ils donnent, étant composés, des mouvements de même nature qu'euxmenues, c'est-à-dire rectiiignes, et unifbrmes ou uniformeméat variés. Et les vitesses et les forces de ces mouvements étant celles qui résultent de la règle du parallélogramme, cette règle se trouve ainsi rigoureusement démontrée. Dans le mouvement curviligne, la vitesse et la force sont celles qui résultent des vitesses et des forces des mouvements rectiiignes , éléments du mouvement curviligne : la vitesse est constamment dirigée suivant la tangente à la trajectoire , mais la direction de la force peut être quelconque relativement à la courbe ; et cette vitesse et cette force reviennent évidemment à deux mouvements rectiiignes, Tun uniforme, l'autre varié, par lesquels le mouvement curviligne peut être è cliaque instant regardé comme produit.

Nous avons vu que Tobjet de la mécanique était la composition et la décomposition des mouvements : c*est -à-dire, étant connus des mouvements élémentaires, nécessairement rectiligneS) de trouver le mouvement composé qui résulte de leur coexistence ; ou bien , le mouvement composé étant connu, de trouver les mouvements élémentaires susceptibles de le produire. Mais il est clair que, les mouvements simples devant être, bien plus fréquemment que les mouvements composés, connus par Tobservation , le problème fondamental de la mécanique est, en réalité, la composition des mouvements bien plutôt que leur décomposition. Ge problême comprend deux cas distincts d'où résulte ia division principale de la science : celui où les mouvements élémentaires se détruisent mutuellement; puis le cas où , se composant sans se compenser, ils produisent un mouvement effectif. De là ia statique et la dynamique ; la première devant ôtre évidemment pius^ simple que la seconde.

Aussi, au lieu d'être d*abord regardée comme un cas particulier de la dynamique et comme en dérivant, a-t*elle été conçue là première, et directement créée par la découverte des conditions d'équilibre du levier due à Archimède. Mais, ce point établi, elle est restée statîonnaire, et n'a ensuite avancé qu'après la création de la dynamique : en s'appuyant alors sur les conceptions propres à celle-ci. ILeur application à rétude de l'équilibre devint facile dès que Ton eut compris que les forces n'étaient en réalité que des mouvements empêchés; et cette manière de concevoir la statique, comme cas particulier de la dynamique, est la plus simple et la plus claire en même temps que la plus féconde.

La question qu'elle doit résoudre est donc de déterminer dans quel cas des mouvements coexistants doivent aboutir à un mouvement nul;, ou» autrement dit, à quelles conditions, d'après les circonstances dans lesquelles ils ont lieu , doivent satisfaire des mouvements pour se détruire mutuel^

LA PHILOSOPHIE HATURILLE. 121

lement. Or la première de toutes c*e8t qa*il8 soient de même nature : des mouvements uniformes peuvent se détruire entre eux ; des mouvements variés, de même; mais des mouvements uniformes et des mohvements variés ne peuvent Jamais se détruire. Ainsi les mouvements capables de se corn-' penser sont précisément ceux qui produiraient un mouv^nent rectfJigne s'ils ne se détruisaient pas, et ils se composent entre eux par la règle du parallélogramme. On voit donc comment la statique dépend do cas exceptionnel et le plus simple de la composition des mouvements. •

En statique comme en dynamique* on suppose d*abord les forces ou mouvements sollicitant un point mathématique , c'est-à-dire une quantité de matière, une masse, existante sans dimensions ; on passe ensuite à des cas se rapprochant plus de la réalité, en cherchant, d'après un tel point de départ, les conditions d'équilibre, ou les différents mouvements, de systèmes de points dont les liaisons sont conçues de manière & ce qu'ils approchent le plus possible des corps de la nature. Ainsi , pour arriver aux coips solides , OQ étudie, après ceux d^un point, l'équilibre et le mouvement d*un système dont les points soient tellement liés que sa forme doive rester constamment invariable. Ce n*estpas sans doute exactement, mais c'està peu près, le cas des corps solides. Après ce système, on en considère d'autres de formes moins fixes, diversement flexibles et élastiques, et Ton arrive ainsi presque graduellement à Tétude qui, d'après Tinfinité des forces et des mouvements alors à considérer, est la plus difficile et la plus compliquée de toutes : c'est celle d'un système susceptible de prendre toutes les formes, et composé d'une infinité de molécules indépendantes, mais devant toujours former une masse continue, d'ailleurs incompressible ou compressible. Telle est la définition , en mécanique rationnelle, des fluides liquides ou gazeux.

D'après ce que j'ai dit précédemment sur la représentation

122 DBDKtÈH C PARTII!.

dds midui^eiiiênta reetillgiies ot eurviligiies par deâ équatldns ; BUT le Bens des grandeurs, vitesse et force, qui, outre l^espace et le temps, sont à considérer dans tout mouTement ; enfin sur la manière dont elles se déduisent les unes des au- ' très dans les mouvements rectilignes, et se composent eatre eHes, il est certes aisé de comprendre comment toute question de composition et de décomposition de mouvement so réduit h de purs problèmes d'analyse. Ainsi, étant données trois forces par les trois fonctionB du temps qui à chaque instant en déterminent la valeur, la double intégration de chacune d'elles fera connaître complètement \^ trois mouvements rectilignes d^où résulte le mouvement curviligne cherché. La détermination de sa trajectoire, et^ à chaque instant, de sa vitesse et de sa force, ne dépend plus alors que de calculs algébriques. Les mêmes formules qui donnent la solution générale de la composition des mouvements d(mnent évidemment aussi celle de leur décomposition , qui seulement présente à effectuer les calculs inverses. Mais, & vrai dire, à un très-petit nombre d'exceptions près , pour tous les cas qui se présentent effectivement, ces calculs sont ignorés et Inexécutables : aussi la constitution de la mécanique rationnelle n'est-elle réellement satisfaisante que quant aux théories générales; c'est d'ailleurs le plus important

En dynamique, on passe du cas d'un point à celui de plusieurs, plus ou moins liés entre eux, en un mot, d'un système , au moyen du principe de d'Alemb^. Les équations d'équilibre auxquelles doivent nécessairement satisfaire les mouvements qui sont la différence entre les mouvements communiqués et les mouvements effectifs ( puisqu'ils sont à chaque instant détruits), deviennent alors les équations du mouvement Les résultats de la statique, qui ont leur point de départ dans les plus simples notions de la dynamique, servent donc à en faciliter et à en permettre même, les recherches les plus difficiles et les plus compliquées, toute

LA PnUMOPint MAfORBLLE. il3

question de mouvement étant ainsi ramenée à une question d'équilibre.

Après Texacte définition de Tot^et et de la nature des calculs différentiel et intégral, algébrique et arithmétique, définition qui nous les a montrés, dans cet ordre, successivement nécessaires à la solution des hautes questions mathématiques, nous avons vu les différents cas de la mesure de ]*étendue, ou les différentes manières de les traiter, se répartir, sidva&l Imf difficulté ou leur perfection logique, daoB la géométrie élémentaire ou spéciale « dans la géométrie descriptive, la trigoaométrle , la géométrie analytique ou générale. Arrivant ensuite à Tétude des phénomènes du mou« vement, noua avons vu la mécanique rationnelle avoir essentiellement pour but la composition des mouvements simples, et, à Tocoasion, la décomposition des mouvements composés, puis comment Tune et Tautre sont ramenées à de pures questions d^analyse. Les deux cas, où, en conséquence de la eoeiistence des mouvements, le corps reste en repos, ou bien se meut, donne la division bien tranchée de la science en statique et en dynamique.

Tel est Tensemble ainsi que Tenchaînement des différentes parties qui composent la mathématique, science la plus simple, la plus abstraite I mais aussi la plus avancée, la plus constituée de toutes, et qui Justifie ainsi son nom de science par excellence. De Timmense quantité de ses résultats acquis par de purs procédés logiques et ne 6*appuyant que sur un t^ès-pettt nombre deprincipes et de matériaux extérieurs, vient la difficulté supérieure de son étude, de son intelligence et de sa possession complète. Mais cette science sera éternellement la seule et mAle école où s'apprendront Fart difficile du Ndsonnement et de la déduction prolongée, les conditions, les propriétés, et, malgré ses inconvénients et ses dangers, la puissance de rabstraetion; enfin la netteté et la précision danâ les Idées et dans les conceptions.