CHAPITRE IL

VàTHiVATIQUXS.

S 4 . ~ Objet , unité et divisions de la science mathématique.

Les mathématiqiies oa la mathématique, aolTant Ck>iidorcet et M. Comte, est donc la première des sciences» étant celle où les phénomènes considérés sont les pins abstraits, les plus géntoinx et les pins simples. Elle comprend trois classes de phénomènes et, par suite, de lois ; celles du nombre, de retendue et du mouvement. Ce qui ccmstitue l*umté de la science, c*est la réduction toujours possible à de pures questions de nombre, de toute question d^étendue et de mouvement La possibilité constante de cette réduction est la propriété exclusive de ces deux ordres de questions; ce qui détermine à la fois l'étendue et les bornes de la science mathématique.

L*unité en étant ainsi constituée, elle se trouve naturolie* ment comporter une définition générale qui, embrassant toutes ses parties, en donne cqsendant une idée nette et précise. Gette profonde définition, due & M. comte, est que la science mathématique se propose ix>nstammait de détemU» ner les grandeurs les unes par les autres diaprés les rela* tiùns précises qui existeni entre elles. La définition habituelle est que les mathématiques ont pour objet la mesura des grandeurs. Mais mesuror, n'est que comparer une gruideur à une autre de même nature prise pour unité. Cette définition ne peut donc donner que Pidée d'une opération mécanique, technique, plus ou moins difficile à exécuter suivant l'exactitude que Ton voudra obtenir, et non d'une science profonde et qpmpliquée résultant d*une Immense série d'opérations intellectuelles.

LA PHlLOflOTHlS RATUIIELLE. 96

C*êgt que le véritable objet des mathématiqiieeest biec» si Ton reut, la mesure des grandeurs , mais la mesure in* directe. En réalité, la mesure direete»ooiisi8la&t dans la comparaison immédiate à une quantité de mtae nature prise pour unité, eiige des conditions très-rarement remplies, et qui ne le sont pas pour une foule de grandeurs qu'il nous importe extrêmement de connaître. A vrai dire, cette mesure directe n'est qu'exceptionnellement possible. Le véritable but des mathématiques est donc alors de déduire des grai^ deurs qui peuvent être directement mesurées, celles qui ne peuvent Fètre. De toutes les quantités considérées en ma* thématique, lignes, surfaces, volumes, temps, vitesses et forces, C*est évidemm^t la ligne droite dont la mesure directe et immédiate est la plus facile. Or, pour montrer & quel point cette mesure est, le plus souvent, impossible directement, et pour donner tout de suite une idée desprofondeset savantes combinaisons nécessaires pour y suppléer, il sufiSt de citer quelques grandeurs effectivement mesurées: la distance de la terre au soleil qui est d'environ 36 millions de lieues, le rayon de la terre d^environ 1500 lieues, etc. Enfin, sans remonter jusqu'aux données astronomiques, si indispensables cependant à connaître pour tant dé raisons, nos moindres constructions n'exigent-elles pas cmistamment la détermination de certaines lignes d'après d'autres, seules immédiatement connues, au moyen des relations propres aux figures que forme la combinaison des unes et des autres?

Cest donc par le moyen des relations précises existant entre les grandeurs susceptibles d'être mesurées ■ directement, et celles qui ne peuvent l'être, que la science mathématique déduit celles-ci de celles-là. Ces relations sont évidemment les lois des phénomènes, que constituent les grandeurs effectives des différentes quantités qui y entrent. Or, de la définition même de la science résulte immédiatement qu'elle doit se diviser en deux parties bien distinctes corres-

96 DEUXliME PARTIE.

pondant à celles de la solution complète de toute question mathématique. L'une a pour but de trouver les relations entre les différentes quantités à considérer; Tautre, ces relaticms étant trouvées» d*en déduire les grandeurs inconnues. U est évident que la première partie ne peut résulter que d*une étude propre du phénomène, et que la seconde ne dépend plus que des relations auxquelles il a donné lieu. Quelle qu*en soit Torigine, qu'ils aient représenté d'abord des lignes, des surfaces, des volumes» des temps, des vitesses ou des forces, les signes qui entrent dans une relation une fois obtenue n'y représentent plus que des nombres, et tel est alors le sens des lettres employées. La première partie de la solution de la question est donc achevée quand la loi du phénomène est découverte, et la seconde commence alors et se continue jusqu'à ce que l'on soit arrivé à une ou plusieurs grandeurs numériques, toujours finalement le but de toute recherche mathématique.

M. Comte applique aux deux parties delaspience ainsi définie les qualifications de concrète et d'abstraite. U est clair qu'une étude peut être abstraite ou concrète à bien des degrés différents; et la mathématique, qui est éminemment une science abstraite, peutdonc encore être divisée en mathématique concrète et en mathématique abstraite : ces qualifica* tiens n'ayant plus alors qu'un sens relatif à Tune par rapport à l'autre de ces deux parties du même tout. La mathématique concrète comprenant la recherche des lois des phénomènes d'étendue et de mouvement, c'est-à-dire la géométrie et la mécanique, la mathématique abstraite comprendra seulement les spéculations sur les nombres, sur les grandeurs indéterminées : tel est le domaine propre de l'analyse mathématique , ou du calcul, en prenant ce mot dans son acception la plus étendue, et, par suite» embrassant l'arithmétique, Talgèbre, le calcul différentiel et Intégral.

LA PHILOSOPHIB KATURELLB. 97

% %• — Calcul ou analyse.

Les idées de nombre sont certainement pins abstraites, plus universelles et plus simples, que celles même d^étendue, qui, à leur tour, le sont plus que celles de mouvement. Nous pouvons encore dénombrer, quand nous ne pouvons constater ni même concevoir aucune forme, comme par exemple, dans le cas des étoiles et de nos pensées. La première de toutes les sciences est donc le calcul, dont le point de départ est toujours la connaissance de relations précises, c*estàr-dire di équations^ entre diverses grandeurs; relations ou équations qui sont les lois des phénomènes, et dont la découverte est le but et le terme de la mathématique concrète.

D'après ce rôle de Péquation en mathématique, il n'est pas étonnant que Ton ne puisse réellement comprendre que par son étude approfondie, Tobjet et Tenchaînement des dilTérentes parties de Tanalyse. L'exacte définition en est : expression d'égalité entre différentes fonctions des quantités considérées ; entre des fonctions de nombres, les uns connus, les autres inconnus. Qu'est-ce alors pour un nombre qu'être fonction, et fonction abstraite d'un autre ? Telle est la conception logique qui est, pour l'esprit humain, la source de sa plus haute puissance déductlve. Pour un nombre, être fonction abstraite d'un autre, c'est en dépendre, mais de telle sorte que l'on y puisse passer de cet autre par une simple opération d'arithmétique. La dépendance d'un nombre à un autre comporte, en effet, deux modes trèsdistincts auxquels s'appliquent encore parfaitement les dénominations de concrète et d'abstraite. Ainsi, en prenant un exemple qui se présente constamment dans les arts, la température d'un fourneau dépendra évidemment delà quantité de combustible brûlé, en sera donc fonction ; mais il n'y a pas d'opération d'arithmétique qui^ exécutée sur le nombre représentant le combustible brûlé, puisse en faire conclure,

98 OSVXiiM» FAATIX'

indépendamment de toute observation, les degrés de chaleur correspondants. C'est là un exemple d*une dépendance entre nombres établlepar un caspbysique déterminé» et,con0équemmeatt d^tine dépendance ooncrète« en opposition avec la dépendanœ abstraite permettant de passer, par une simple opération logique, de la valeur d'un nombre conçu comme variable indépendante! à la valeur correspondante de celui qui est conçu comme variable fonction. Aussi Lagrange définit une fonction une expression de calctiL Les fonctions sont simples OU composées { celles-ci étant des fonctions de fonctions susceptibles d'être ainiA indéfiniment compliquées, mail» toujours se formant de la même manière. Les fonctions simples, qui sont les éléments de toutes les autres, sont en petit nombre et toutes comprises dans le tableau ci-desB0us« La lettre y y représente le nombre qui est fonction de celui que représente la lettre x; et a représente un nombre qui reste fixe» qui est donné et connu, et qui sert à définir le mode de dépendance des deux autres. A chaque fonction directe est réunie la fonction dite inverse, o'est*&-dire celle où Ton passe de la variable indépendante à la variable fonction par l'opération d'arithmétique inverse à celle par laquelle se fiUt le même passage dans la fonction directes

l"COtlt>la J2/=^ + ^- • • * fonction somme.

jy=a— a:. . . . fonction différence.

çy=zax fonction produit.

2* couple \ a . ^. ^. ^

iy^-z» • • • * r fonction quotient.

tys^af. . , , , » fonction piiissattce*

., c^ypi^ I y— ^ fonction expon€«ïtîellé#

f^rtf logjr« » * • fofictlon logarithmique;

5* couole (y^*^^ * * « fonction circulaire directe. ( 1/ X arcdrfn ssa^ foneiipn circulaire inverser

LA PHIUMOPHIS HATimBLLB. M

Le cametère fondamental de tous les modw de dépendance ainsi indiqués est que l*on passade l'un à rautre nombre variable par un calcul qui est à efltoetuer en chaque cas ; ou bien qui» se trouvant trop tonget compliqué, a été, à Tavanœ, effectué une fois pour toutes, et sur asses de nombres pour pouvoir être œnsé Tètre pour tous* On n'a plus alors, qu'à chercher le résultat dans des tables construites et disposées de manière à le donner le pli^i commodément possible*

Telles sont lofe fonctions simples abstraites. Leur petit nombre fait tout de suite comprendre leur insuffisance nécessaire pour r^résenter les relations précises auiquelles donnent lieu les phénomènes naturels ; et, en conséquence, Texoessive difficulté de la mise en équation des problèmes* Mais c'est uniquement lorsque Ton a établi les lois des phénomènes à l'aide des fonctions entièrement composées des seuls éléments analytiques ci-dessus énumérés que le problème devient vraiment abstrait, et se réduit à une question de nombre.

Quant & augmenter le nombre des éléments analytiques, c'est peut-être possible, mais assurément fort dlffîdle. Tous les procédés employés pour créer ceux que l'on connatt sont épuisés, et l'on ne voit pas quels nouveaux pourraient être imaginés. Pour y suppléer donc et faciliter la mise en équa^ tien des problèmes, on a eu recours à l'artiâce suivant: c'est, ne pouvant obtenir d'équations entre les fonctions des quantités qui sont immédiatement les données et les inconnues d*une question, d'en chercher de plus faciles à obtenir, entre des fonctions de quantités auxiliaires, liées aux grandeurs appartenant directement àla questioui de telle sorte que l'on. puisse ensuite passer de ces premières relations à celles que l'on a définitivement en vue* C'est ce qu'a permis de faire avec le plus grand succès Tanalyse transcendante, dite généralement calcul différentiel et intégral, qui constitue le plus, puissant moyen d'investigation qu'ait imaginé l'esprit humain pour pénétrer les secrets de la nature.

Cette analyse transceodante a été conçue sous trois formes différentes parLelbnitz, NewtonetLagrange: dans la première conception, les quantités auxiliaires introduites sont les éléments infiniment petits, ou les différentielles des divers ordres des quantités primitives ; dans la seconde, ce sont les limites des rapports des accroissements simultanés de ces quantités ; enfin, dans la troisième, ce «ont leurs dérivées ou les coefficients, à un facteur constant près, des puissances de Taccroissement de la variable conçue comme indépendante dans le développement, suivant ces puissances, de Taccroissement de la variable fonction. Ces trois conceptions ont chacune des avantages et des inconvénients qui leur sont propres, et qui sont relatifs, soit à la perfection logique, soit à la facilité des applications ; mais dans toutes trois, nonnseulement le procédé général est toujours le même, mais encore les quantités auxiliaires introduites sont exactement identiques.

La résolution des problèmes conduit alors, suivant que Ton adopte Tune ou l'autre de ces trois conceptions, à des équations différentielles, à des équations aux limites, ou à des équations dérivées. Dans ces relations entrent donc les quantités auxiliaires introduites pour pouvoir mettre le problème en équation, et qu'il faut éliminer. De là la nécessité des deux calculs, différentiel et intégral, dont se compose Tanalyse transcendante ; ayant Tun pour but de trouver les relations entre les grandeurs auxiliaires correspondantes aux relations entre les grandeurs primitives; et l'autre, inv^^ment, les relations entre les grandeurs primitives d'après celles qui existent entre les grandeurs auxiliaires. Un exemple mettra en évidence la nécessité générale et le rôle de chacun d'eux dans la solution des questions mathématiques. L*équation différentielle la plus simple à laquelle donne lieu le problème de la rectification des courbes est :

ik

LA PHIL080PBU NATURILLE. 101

5 est la longueur de Tare, â; et y les coordonnées de son extrémité variable. La relation finale à laqueUe on doit arriver ne devant être qu^entre 5 et x^ il faut éliminer la différentielle dy au moyen de la relation connue entre y et x, G*est le calcul différentiel qui permet de passer de cette relaà celle entre dy et dx au moyen de laquelle Téquation infinitésimale est ramenée à ne plus contenir que dsQidx.h^ calcul intégn^ doit alors conduire à Péquation entre $ et x. Ainsi donc le r<Hedu calcul différentiel dans la résolution des problèmes (outre qu^il est la base du calcul Intégral)» c^est de permettre d^éliminer, au moyen des relations données, les différentielles que Ton a dû introduire pour pouvoir mettre le problème en équation, et qui ne doivent pas figurer dans réquation différentielle définitive. On voit ainsi, dans la solution des problèmes, la nécessité générale des deux calculs différentiel et intégraL Mais, dans quelques cas exceptionnels, naturellement les plus simples et cependant très-importants, Tun ou Tautre suffit à la complète transformation des équations transcendantes en équations algébriques. C'est le calcul différentiel quand les grandeurs cherchées entrent directement dans les équations qui ne contiennent alors différentiellement que des fonctions connues : ainsi il arrive pour le problème des tangentes. Dans d'autres cas, les équations ne contenant que les différentielles des fonctions cherchées sont immédiatement propres à l'intégration; et telles sont celles auxquelles donne lieu le problème des quadratures.

Ainsi nous devons actuellement supposer que, partis d'une seule équation différentielle, en ne supposant qu'une inconnue, nous sommes arrivés à une équation algébrique, c'est-à-dire à une équation ayant directement lieu entre les grandeurs connues, les données de la question, et l'inconnue. Ce qui reste alors à faire pour achever la solution du problème comprend encore deux parties très-distinctes : l'une algé-

103 DBUXlàlfB PARTIB,

brique, Tautre arithmétique. La première détermine quelle foaction des quantités connues est Tinconnue; la seconde caioule la valeur de cette inconnue.

L'algèbre a donc pour objet la résolution des équations, et rarithmétique Tévaluation des fonctions. Une équation n*entratne la valeur d'une inconnue que comme conséquence. c'est-lHiire implicitement. Le but et le rûle de l'algèbre sont alors de passer de cette forme implicite de rin<connue à sa forme explicite, en mettant en évidence au moyen des quantités connues le mode de sa formation , c'est-è-dire montrant quelle fonction elle est de ces quantités : et tel est reflet de larésolution des équations. Lecalcul arithmétique n*a plus alors qu'à évaluer les fonctions, et achève la question en conduisant au nombre, objet ûnal de la recherche.

Ainsi, pour résoudre un problème de mathématique, il y a d'abord à trouver et & poser son équation. Le plus souvent elle sera différentielle; l'analyse transcendante, comprenant le calcul différentiel et intégral, qui sont, en général, l'un et l'autre nécessaires à cet effet , donne alors le moyen de passer à Téquation algébriquOé Par l'algèbre on transforme celle-ci de manière à mettre en évidence la fonction qu'est Tinconnue des données de la question : le calcul arithmétique en fournit la valeur.

Tel est, en partant de l'équation, l'objet propre et l'enchainement des différentes parties de l'analyse. Ayant ainsi défini et passé en revue, autant que le comporte un ouvrage comme celui-ci , les différentes parties de la mathématique abstraite, nous avons è examiner de la même manière la mathématique concrète, dont l'équation, point de départ de la première, avons*nous dit, est le terme.

S 3. — Géométrie.

Après les idéea de nombre^ celles d'étendm sont les plus abstraites, les plus généraleset, par suite, les plus simples;

LA PBILOSOraiB RATUBXLLE. 108

et la géoiiiôt3*le 8e trowe ainsi devoir saitire immédiatement Tanalyse. Mais de Tune à l'autre la différence est considérable et tranchée. En effet « si Tanalyse est une Science purement logique, la géométrie est réellement une science naturelle, i^ant pour point de départ un certain nombre de phénomènes primitif, qui, ne pouvant être établis par au^ cun raisonnmnent , ne sont fbndés que sur robservation. Tel est le véritable caractère de ceux qu'on y appelle des axiomes, qui , reposant sur une induction tellement facile qu'elle passe inaperçue, sont définis: des vérités évidentes par elles*mèmes.

La définition de la géométrie exige l'exposition préa* lable de deux conceptions fondamentales sur lesquelles repose toute la science. La première est celle de l'espace : elle consiste à envisager retondue dans un milieu indéfini, que nous regardons comme contenant tous les corps de Punivers, au lieu de la considérer dans les corps eux-mêmes. L'extrême importance de cette conception vient de ce qu'elle permet d'étudier les phénomènes géométriques en faisant abstraction de tous les autres, qui, dans les corps réels, les accompagnent constamment , sans cependant exercer sur eux aucune influence.

La seconde conception préliminaire est celle des diffé** rentes sortes d'étendue : volume, surface, ligne et même point. Quoiqu'il soit évidemment impossible de concevoir aucun corps absolument privé de Tune quelconque des trois dimensions: longueur, largeur, épaisseur, les questions géométriques dans une foule de cas, même d'une utilité immé~ diate, ne dépendent que de deux dimensions considérées séparément de la troisième, ou d'une seule dimension considérée séparément des deux autres. D'un autre côté, indépendamment de ce motif direct, l'étude de l'étendue àr une seule dimension , et ensuite à deux , constitue un préliminaire indispensable à Tétude des corps complets, ou à

trois dimensions, dont la théorie immédiate sendt trop compliquée. Tels sont les deux motifs généraux qui obligent à considérer retendue par rapport à une ou& deux dimensions, avant de Tenvisager relativement à toutes les trois ensemble.

G^est afin de pouvoir penser d'une manière permanente à l'étendue dans deux sens, ou dans un seul, que l'esprit humain se forme les notions générales de surface et de ligne. H suffit pour cela de concevoir la dimension que l'on veut éliminer comme devenue graduellement de plus en plus petite, les deux autres restant les mômes, jusqu'à ce qu'elle soit parvenue à un tel degré de ténuité qu'elle ne puisse plus fixer l'attention. C'est ainsi qu'on acquiert naturellement l'idée d'une surface, puis celle d'une ligne^ en renouvelant pour la largeur ce que l'on a d'abord fait pour Tépaisseur. Enfin» par une troisième opération analogue, on parvient à l'idée d'un points ou d'une étendue considérée uniquement par rapport à son lieu, abstraction faite de toute grandeur, et destinée par conséquent à préciser les positions. Les surfaces ont d'ailleurs évidemment la propriété générale de circonscrire les volumes; et de même les lignes, à leur tour, circonscrivent les surfaces, et sont limitées par des points.

Ces préliminaires posés, la définition générale de la géométrie, lui donnant pour but la mesure de l'étendue, peut être maintenant comprise dans toute sa portée. L'idée de mesure emportant celle de comparaison immédiate , mécar nique, à une grandeur de même espèce, n'est admise en géométrie que pour la ligne droite, de telle sorte que l'objet de la science relativement aux surfaces, aux volumes, aux lignes courbes, est d'en ramener la comparaison à celle de telles lignes. Ainsi, étant données et définies des lignes courbes, des surfaces et des volumes, la géométrie doit faire connaître quelles lignes droites devront être directement mesurées, et quelles seront ensuite les opérations ultérieures à exécuter sur les nombres ainsi obtenus, pour qu'on puisse en con-

LA PHILOflOFBIS HATURBLLB. 105

dure, par exemple, le nombre de mètres des li^es cour* bes, de mètres carrés des surfaces, de mètres cubes des volumes que la question était de mesurer.

Quant aux lignes droites, resUmation n^en doit être re* gardée comme directe qu'autant que Ton y peut porter Tunité linéaire. Ck>mme nous Tavons dit, c'est ce qui est le plus souvent impossible pour nombre de celles qu'il nous importe de connaître. Il doit donc y avoir une étude géométrique distincte ayant pour objet de déterminer les lignes droites les unes par les autres, d'après les relations propres aux figures qu'elles sont susceptibles de former. Ce problème fondamental est susceptible de deux solutions générales de nature tout à fait distincte, l'une graphique, l'autre algébrique.

La première consiste à rapporter à volonté, c'est-à-dire à construire, soit avec les mêmes dimensions soit avec d'autres plus commodes, les figures contenant, avec les lignes connues, les lignes inconnues et cherchées, de manière que ces dernières puissent y être directement mesurées. Ainsi nous verrons en astronomie qu'Aristarque de Samos estimait la distance relative du soleil et de la terre à la lune en prenant des mesures sur un triangle construit de façon à être semblable au triangle rectangle formé par les trois astres à l'instant où la lune se trouve en quadrature. Cette exacte reproduction d'une figure à la même échelle ou à une échelle dilTérente, ne présente pas de grande difficulté théorique lorsque toutes les parties de la figure proposée sont comprises dans le même plan. Mais si elles sont situées dans des plans différents, comme il arrive le plus souvent, par exemple pour toutes les questions de géométrie à trois dimensions, la solution graphique donne lieu à une difficulté générale qui lui est propre : celle de substituer aux diverses constructions en relief, presque toujours impossibles à exécuter, de? constructions planes donnant les mômes résultats.

106 MOKtkMB phwm.

Tel est Tobjet 6» lagé<nnétrfe ddccriptif^, ^oe* V^ une vue de génie, Monge a créée et coiurfltiiée en un ccu^s de doctrine din^ tinct et homogène,

DaM la solution algébrique, toujours bien plus longue, pénible et compliquée à ton» égards» mâia iofieeptible d'une exactitude dont la solution graphique ne peut môme approcher, c'est par de pures opérations de caloul que les grandeurs inconnues et eherobées doivent se déduire de celles que Ton peut directement mesurer* Toutes les figures reotilignes étant décomposables en triangles, il suffit» pour déterminer leu uns par les autres les dirers éléments de celles-là, de le savoir faire pour ceux-ci i de Ut Tobjet et par suite la définition de la trigonométrie*

Tels sont, en aperçu, les deux procédés généraux par les* quels on parvient k connaître la grandeur de lignes droites que Ton ne peut directement mesurer. En revenant maintenant aux autres formes, il faut ramener toutes les mesures qui leur sont relatives à celles des lignes droites \ et le prin* cipe fondamental de leur étude est de considérer! non pas seulement celles que peuvent offrir les corps de la nature » mais toutes celles que Ton peut concevoir. C'est seulement rétude des formes hypothétiques les plus simples, qui a mis en état de surmonter les difficultés que présentait la connaissance des formes effectivement réalisées; et ce n'est qu'en étudiant toutes les formes imaginables que l'on peut être sûr d'y trouver dans le nombre celles qui existent

MaiS| dans h composition effective de la géométrie, une foule de recherches consistant dans Tétude des diverses propriétés, c*est-à-4ire des différents modes de génération ou de définition de chaque forme, paraissent n'avoir nullement pour objet la mesure de l'étendue. Deux considérations fondamentales prouvent la relation intime, d'ailleurs directe ou indirecte • d'une telle étude avec les questions de mesure.

La première est que le succès de Ift recherche des rectifica^

LA PHlIiOdOf BU HATOIELLE. i07

tkMMdes QUidrfttoMi «l tei <iaMttroii« qui oooililae Vé^t ftUftl de 1» sécmiélrie^ aerat .eeftits^mesit à peu prô» imposslbto fli une lîgoa n'était ecanui q«e per aoe «eole de ses propriétés» Et Too peoisuèine dire que le principeke difficulté ôm questioi» deeegenre eobeiite à employeri dans cbaque cas» la propriété qui «'adapte le mieux àla nature du proMème prcH posé* En second lieu» ce n'est qu'à la condition de connaître le plus grand nombre possible de propriétés d'une ligne que l'on pettt léffitioicinent esp^^er la recoonattre quand elle sera effectivement réalisée» Si du temps de Kepler on n'avait connu de l'ellipse que sa propriété d'être la section oblique d'un cène circulaire par un plan ^jamais il n'aurait pu la reconnaStre pour l'orbite des planètes. Et si on n'avait jamais connu de la sphère d'autre propriété que son caractère primitif d'avoir tous ses points également distants d'un point intérieur^ c^ninwt aurait-on jamais pu découvrir que la surface de la terre était i^bérique 7

La géométrie I devant donc embrasser toutes les formes imaginables et découvrir toutes les propriétés de chaque lorine* est suaceptilte d'être traitée suivant deux plans eseentl^lement distincts* L'un, qui a été edui des anciens, eonfllste à grouper ensMuble toutes les questions qui concernent une mèttie forme $ l'autre^ qui est celui des modernes depuis DescMTtes^ cons»«^ k réunir^ dans un même point de. vue, toute» les recherches semblabies^ à qu^ques formes diverses qu'îles se rapportent d'ailleurst La géométrie des anciens était donc ipéeiakf tandis que celle des modernes est, au

eontrairef générales

lloD4»ale»«nt les problèmes qui constituent l'objet définitif delà géométrie, c'est^-dire les rectifications, les quadratures et les cubatures, sont communs à toutes les formes , mais il en est de même pour les recherches essentielles relatives aux diverses propriétés des lignes et des surfaces, telles qoe les i^iestions des tangentes et des plans tangents, la

110 DEUXIÈM& PARTIE.

suite, toute la science mathématique, à examiner de la même manière la mécanique rationnelle.

S 4. — Mécanique.

Les phénomènes du mouvement qu'étudie la mécanique sont moins généraux et moins simples que ceux de retendue. Tous les corps ne sont pas toujours en mouvement, tandis qu'ils ne cessent jamais d'offrir les trois attributs géométriques : grandeur, forme et situation. Et si Fimmobilité, quand elle existe, n'a jamais lieu que parce que les mouvements que tendent à prendre les corps sont détruits ou empêchés, il n'en est pas moins vrai que les corps peuvent n'être alors étudiés que quant aux phénomènes d'étendue, sans aucun égard aux mouvements détruits. Au lieu que, la pression ou force que produit un corps maintenu en repos, aussi bien que le mouvement qu'il prend effectivement, dépendant généralement de sa forme, l'étude de la force ou du mouvement suppose l'étude de la forme. La mé« canique vient donc après la géométrie dans Téchelle de la simplicité décroissante.

Le point de départ de l'étude du mouvement en lui-même, indépendamment des corps et des circonstances qui nous le présentent, est un artifice logique aussi nécessaire que l'institution de l'espace en géométrie, mais d'une bien plus haute difficulté. Cet artifice consiste à concevoir tous les corps de la nature comme tner<e5, c'est-àrdire comme absolument incapables de prendre ou de modifier par eux-mêmes aucun mouvement Et alors, quand on en veut considérer les déplacements effectifs, on remplace, par des mouvements exté* rieurs qui leur sont communiqués, tous ceux qu'ils tendent à prendre spontanément Si l'on ne faisait point ainsi d'abord complètement abstraction de toute modification qu'on corps peut apporter «us mouTements qui lui sont c<M)amuni«

IiA PHaOSOPB]£ ICATCRELLE. 111

qués, il itérait impossible <f établir, en mécaoique, la moindre propriété générale, et de distinguer et comparer entre elles les différentes sortes de mouvements.

Nous avons vu« en géométrie» que le raisonnement devait y ^voir pour base et pour point de départ quelques faits généraux indémontrables et directement émanés de Tobservation : ils y sont tell^nent simples et faciles à découvrir qu'on les dit.éyid^its d'eux-mêmes. Cette même nécessité d'une base expérimentée doit se faire sentir bien plus fortement encore en méc£Lnique qu'en géométrie» puisque la science devient plus compliquée et moins abstraite; et en même temps elle doit s'y trouver bien plus difficile à établir. En effet, au lieu de quelques axiomes comme en géométrie, elle comprend trois ^ands faits généraux ou lois qui , observés dans des circonstances et des cas de plus en plus nombreux, ont pu à la fin être, par induction^ entièrement généralisés.

La première de ces lois du mouvement, désignée générale-* ment, mais mal, sous le nom de loi d'inertie, a été découverte par Kepler. Elle consiste proprement en ce que tout corps soumis à l'action d*une jTorce unique qui agit sur lui instantanément, se meut constamment en ligne droite et avec une vitesse invariable. Au lieu de se borner à regarder cette loi comme un fait observé, on a prétendu la démontrer en disant que le corps devait suivre la ligne droite parce Qu'il n'y a pas de raison pour qu'il s'écarte d'un côté plutôt que de l'autre de sa direction primitive. Mais dire qu'il n'y a pas déraison veut simplement dire que l'on n'en voit pas; et, justeoïent, le fait lui-même (le corps ne changeant pas sa direction et sa vitesse primitives) peut seul prouver qu'effeetivenent il n'y a pas de raison pour qu'elles changent La véritable démonstration de cette loi est rincontestable. et facâe observation que, dans tous les phénomènes de mouvement (pue nous offre la nature, toute modification en direction 0t en vitesse à un mouvement initial est toujours due i

la combinaison de ce mouvement avec quelque influence active ou passive.

La deuxième loi du mouvement, découverte par Galilée, est celle de l'indépendance ou de la coexistence des mouvements. Elle consiste en ce qu'un corps se trouve toujours à chaque instant, en vertu de différents mouvements qui lui sont communiqués à la fois, au même point de l'espace où il se trouverait si chacun de ces mouvements lui avait été communiqué séparément et successivement De cette loi résulte immédiatement que tout mouvement, exactement commun à tous les corps d'un système, n'altère en rien les mouvements particuliers des différents corps les uns à Tégard des outres, mouvements qui doivent s'exécuter et produire les déplacements relatifs, comme si l'ensemble du système était Immobile. , Quant à la véritable démonstration de cette loi, elle résulte de sa vérification constamment observable dans tous les phé^ nomènes de l'univers, dont l'économie serait bouleversée de fond en comble s*il en était autrement. Quelle existence, en effet, comparable à ce qui s'y passe, serait alors possible sur un vaisseau, par exemple , et sur la terre elle-même , qui parcourt en une seconde 30,000 mètres environ de son orbite?

La troisième et dernière loi du mouvement, due à Newton, consiste en ce que, toutes lels fois qu'un corps est mû par un autre, il exerce sur lui une réaction constamment égale à l'action, si l'une et Fautre sont convenablement mesurées. Cette égalité se manifeste dans tous les phénomènes de communication du mouvement, soit que les corps agissent les uns sur les autres par impulsion, pression, traction ou gra* vitation réciproque. Mais cette loi fait alors naître une notion nouvelle, celle de la niasse ou quantité de matière d'un corps, qu'elle donne aussi le moyen de mesurer. En effet, dans l'égalité entre l'action et la réaction, c'est le produit de la ma5!se par la vitesse échangéi qui est égal de part et d'autr^^ ; de telle sorte que , dans le mouvement communiqué,

LA PHILOSOPBIB NÀTORELLE. 113

les circonstances étant les mômes, à différents corps par nn antre, la vitesse que prendra chacun d'eux sera toujours en raison inverse de sa masse.

Telles sont les trbis lois physiques du mouvement, bases nécessaires mais suffisantes de son étude mathématique, c'est-à-dire purement rationnelle : il s'agit actuellement d'en préciser Tobjet et d'indiquer les conceptions fondamen« taies d'où résulte la possibilité d'une telle étude.

Toute ligne pouvant être représentée par une ou deux équations, il est clair qu'un mouvement quelconque doit pouvoir, par suite, être représenté par un choix convenable d'équations, puisqu'il est complètement défini quand, outre la nature de la ligne parcourue, on connaît encore le temps employé à en décrire les différentes parties. Dans le cas du mouvement rectiligne, sa représentation par une équation entre l'espace et le temps se conçoit immédiatement ; et, réciproquement, il en est de même de la représentation par un mouvement rectiligne de toute équation entre deux variables, en prenant l'une d'elles pour le temps, et l'autre pour l'espace parcouru. Or, si nous supposons deux ou trois mouvements rectilignes coexistants, représentés chacun par une équation, il est aisé de voir, d'après la loi de Galilée, qu'en général il en résultera un mouvement unique curviligne (dans deux cas particuliers très-importants, ainsi que nous allons voir ci-après, le mouvement composé reste rectiligne), et que les équations de la courbe décrite s'obtiendront en éliminant le temps de celle des mouvements rectilignes. Par suite, inversement, nous pouvons donc concevoir tout mouvement curviligne comme résultant de deux ou trois mouvements rectilignes, suivant qu'il a lieu ou non dans un même plan. Le problème général de la mécanique est alors, ou de trouver le mouvement curviligne résultant de mouvements rectilignes connus et donnés : par exemple , celui des projectiles en conséquence de l'impulsion initiale et de l'action

iili DEUXIÈME PARTIE.

de la pesanteur; ou bien, le mouvement curviligne étant connu, de trouver le mouvement rectiligne susceptible de le ^produire : tel est le cas pour le mouvement des planètes qui, déterminé empiriquement par Kepler, a été démontré, par Newton, logiquement résulter d'une impulsion initiale et d'une force variant en raison inverse du carré dé la distance au soleil.

Ainsi, la connaissance de mouvements rectîlîgnes est toujours, soit le point de départ, soit le but, de toute question de mécanique. Nous avons donc d*abord à examiner en 'quoi consiste proprement cette connaissance; c'est-à-dire Je sens et la nature des différentes grandeurs qu'il y a lieu (Je considérer dans de tels mouvements, et comment il est possible de passer des unes aux autres.

Les deux premières grandeur» qui se présentent d'abord dans tout mouvement, sont l'espace et le temps, et il est clair qu'elles dépendent, qu'elles sont fonctions Tune de l'autre. Pour que le mouvement d'un corps soit connu, il faut évidemment que l'on sache quelles fonctions elles sont l'une de l'autre, c'est-à-dire que l'on connaisse l'équation qui lie l'espace et le temps, de telle sorte que l'on puisse constamment passer de Tune à l'autre de ces quantités.

D'après la première des lois ci-dessus données, tout raou^ vement une fois communiqué à un corps se continue en ligne droite et uniformément. Gonséquemment, les espaces doivent croître proportionnellement au temps, et l'équation d'un pareil mouvement est e^atxe désignant l'espace parcouru, t le temps employé à le parcourir, a une constante. Cette équation montre que a représentera l'espace parcouru quand 7 sera égal à 1, c'est-à-dire l'espace parcouru dans l'unité de temps : et telle est justement la définition de la vitesse dans tout mouvement uniforme. La comparaison de deux mouvements de cette sorte se réduira à celle de cette seule quantité constante qui entre dans leur équation.

LA VBILOSOPHIE NATURELLE. 115

cette vitesse constante qui résulte d'un mouTementnnlqae une fois communiqué à un corps diaprés la première loi du mouvement, donne Tidée, la notion, d^ine force dMmpulsîon. Une force se définit une cause de mourement; mais, comme Ton ne peut dire qu*une cause est double, triple, etc. , d\ine autre, il faut toujours admettre ^ue les forces se mesurent par leurs effets. Ainsi , quand on dit qu*un corps est sollicité par une force dMmpulsion double, triple d'une autre, enfin égale à un nombre, cela veut dire simplement que ce nombre représente la vitesse que le corps doit prendre par suite du mouvement qui lui est communiqué.

Le mouvement uniforme, qui est le plus simple de tous et qui, en réalité, ne se rencontre jamais dans la nature, au moins comme résultat de forces d'impulsion, sert & en concevoir de plus compliqués et de plus réels, où la vitesse, au lieu de rester constante, varie d*une manière continue, de telle sorte que, comme Tespace, elle doit être fonction du temps. Tels sont les mouvements dits variés. Mais alors dans de tels mouvements, pour définir et se représenter la vitesse à un instant quelconque, il faut supposer qu'à partir de cet instant toute modification cesse, et que le mouvement devient uniforme. La vitesse du mouvement à Tinstant considéré est alors l'espace qui serait parcouru pendant l'unité de temps dans ce mouvement hypothétique. En la concevant comme fonction du temps, la modification la plus simple qu^elle puisse éprouver est d'augmenter constamment d'une quantité égale pendant le même temps, ou, autrement dit, de croître proportionnellement au temps; le mouvement est alors dit uniformément varié. Dans un tel mouvement, si, d*un moment à l'autre , Tintervalle de temps est supposé infiniment petit, raugmentatioû de vitesse doit être aussi, évidemment, infiniment petite.

De même que le mouvement uniforme donne l'idée de forces» d'impulsion, de même lé mouvement varié donne celle d

116 DEDXIÈJtfE PARTIE.

forces continues, dites forces accélératrices ou retardatrices, que l'on peut concevoir comme communiquant, en des intervalles de temps Infiniment petits, des impulsions infiniment petites. De telles forces produisent toujours dans le corps qu^elles sollicitent, pendant son mouvement même, une augmentation finie de vitesse en un temps fini. Or, il est clair que cette augmentation, pour un même temps, peut être constante ou variable : si elle est constante, c'est que la force continue Test aussi ; si elle varie, c'est que cette force est elle-même variable. Dans le cas où elle est constante, qui est celui du mouvement dit uniformément varié, Taugmentation .de la vitesse rapportée à Funité de temps sera évidemment sa mesure, en même temps qu'en réalité sa définition; et la comparaison de deux mouvements uniformément variés se réduira à celle de cette seule grandeur qui définit complètement chacun d'eux.

Diaprés la définition même d'un tel mouvement, il est évident, comme nous l'avons dit, que la vitesse y croît proportionnellement au temps. On peut donc ainsi la connaître à chaque instant sans qu'en réalité elle soit jamais effectivement réalisée, puisqu'il faudrait pour cela qu*à l'instant même où elle est acquise son augmentation cessât, que la force continue n'agît plus et que le mouvement devînt uniforme.

Mais, outre la vitesse qui est donnée immédiatement par la définition même du mouvement uniformément varié, 11 reste encore à connaître l'espace en fonction du temps. Or, il est facile d'y arriver d'après la loi du mouvement due à Galilée; et une construction géométrique très-simple prouve que, les vitesses étant proportionnelles aux temps, les espaces parcourus doivent croître comme les carrés des temps employés à les parcourir, ce qui donne, entre l'espace et le temps , une équation de la forme « «a/*. Le mouvement uniforme et varié est alors complètement connu ; l'observation et Tex-

LA PHILOSOPHIE NATURELLE. il7

pérlence moDtrent qu'abstraction faite de la râstetaace du milieu, c'est celui des corps pesants à la surface de la terre. 11 en résulte donc que Faction de la gravité qui le produit est une force constante et continue.

Ainsi, leur définition physique ayant permis de trouver réquation qui dans chacun d*eux lie Tespace et le temps, Yoilà deux mouvements complètement connus : les mouvements rectilignes uniformes et uniformément variés. Par suite Test aussi celui qui résulterait de la coexistence de ces deux-là, la direction étant la même, puisque, d'après la loi de la composition des mouvements, l'espace parcouru doit y être à chaque instant la somme des espaces que chacun deux aurait fait parcourir, étant communiqué séparément au corps; et la vitesse, la somme de la vitesse d'impulsion que suppose le mouvement uniforme et de la vitesse acquise en vertu du mouvement uniformément varié.

Ce mouvement, composé d'un mouvement uniforme et d'un mouvement uniformément varié, est le plus simple de tous les mouvements possibles composés et variés; et il sert, par suite, de terme de comparaison auquel on rapporte tous les autres pour y concevoir les différentes grandeurs qu'ils présentent à considérer. En un tel mouvement, Taugmentation de la vitesse dans l'unité de temps, ou, en général, dans le même temps, est donc constante. Hln un mouvement rectlligne quelconque, elle sera, au contraire, constamment variable, et dépendra du temps : elle en sera donc fonction.

Le mouvement uniformément varié donne l'idée, la notion , d'une force constante, et le mouvement varié, non uniformément, celle d une force variable. Mais alors, pour se représenter ce que signifie à un instant déterminé la grandeur de cette force qui varie toujours, il faut supposer qu'à partir de cet instant elle devienne constante ; et cette grandeur est , dans le mouvement hypothétique et uniformément varié qui alors aurait lieu, l'augmentation de vitesse acquise pendar

Tanlté de temps. Ainsi, quand on suppose tin eorps attiré vers un point par une force variant en raison inverse du carré de la distance à ce points cela veut dire que, si Taction que lé point exerce sur le corps dans les différentes positions de celui-ci devenait constante, ce corps prendrait, à partir de chacune d'elles, des mouvements uniformément variés, où Taccroissement de vitesse pendant l'unité de temps varierait de Tune à Tautre en raison inverse de fa distance qui existait entre le point et le corps à Tlnstant où Faction du jpoint serait devenue constante. Un second artifice du mêiiie genre indique, pour un mourement rectiligne et varié d'une manière quelconque , comme nous l'avons vu pour un mouvement uniformément varié, ce qu'est la vitesse à un instant déterminé. On conçoit qu'à cet instant le mouvement devienne uniforme ; et la vitesse en question du mouvement rectiligne quelconque sera celle de ce mouvement uAiforroe supposé.

Ainsi nous voyons que, dans un mouvement rectiligne quelconque, il y a à considérer, outre Tespace et le temps, la vitesse et la force ; et que, comme l'espace, ces dernières quantités sont des fonctions du temps, qui toutes doivent être connues pour que le mouvemment le soit complètement Et comme, si Ton a la relation entre l'espace et le temps, le mouvement est complètement défini , il faut donc que les relations qui lient la vitesse, la force et le temps, en soient des conséquences et s'en puissent déduire ; et, réciproquement, celles-ci doivent entraîner la relation entre l'espace et le temps. Le problème préliminaire mais fondamental de toute la théorie du mouvement est alors d'indiquer le moyen de passer des unes aux autres.

Or, à ce sujet, il est démontré que, d'après leâ* définitions, ci-dessus données, de la vitesse et de la force, l'espace étant une certaine fonction du temps, la vitesse en est la fonction dérivée première, ou coefficient différentiel ; et que la force

LA PftiLOSOPHIC NATURELLE. 119

est donnée à chaque instant par la dérivée première de la vitesse, ou la dérivée seconde de la fonction que l'espace est du temps.

Il est aisé de voir maintenant quelles sont les différentes questions de mécanique relatives au mouvement rectiligne, et comment toutes se réduisent à de purs problèmes d'analyse. En effet, les circonstances de Taccomplissement d'un mouvement faisant connattre soit Tespace , la vitesse ou la force en fonction du temps, soit même une équation entre toutes ces quantités, ou quelques-unes d'entre elles, en déduire chacune d'elles n'est plus» d'après les relations ci-dessus indiquées, qu'un problème de calcul différentiel, ou, le plus souveiit, de calcul intégral, mais qui, par suite de l'extrême imperfection de ce dernier, ne sera d'ailleurs complètement résoluble que rarement.

J'ai dit qu'en général les mouvements rectilignes composés conformément à la loi de Galilée, aboutissaient à un seul mouvement curviligne. En effet si les mouvements coexistants sont uniformes ou uniformément variés, ils donnent, étant composés, des mouvements de même nature qu'euxmêmes, c'est-à-dire rectilignes , et uniformes ou uniformément variés. Et les vitesses et les forces de ces mouvements étant celles qui résultent de la règle du parallélogramme, cette règle se trouve ainsi rigoureusement démontrée. Dans le mouvement curviligne, la vitesse et la force sont celles qui résultent des vitesses et des forces des mouvements rectilignes , éléments du mouvement curviligne : la vitesse est constamment dirigée suivant la tangente à la trajectoire, mais la direction de la force peut être quelconque relativement à la courbe ; et cette vitesse et cette force reviennent évidemment à deux mouvements rectilignes, l'un uniforme, l'autre varié, par lesquels le mouvement curviligne peut être à chaque instant regardé comme produit.

i20 DEUXIÈME PARTIE.

Nous avons va que Tobjet de la mécanique était la composition et la décomposition des mouvements : c*est-à-dlre, étant connus des mouvements élémentaires, nécessairement rectilignes, de trouver le mouvement composé qui résulte de leur coexistence; ou bien, le mouvement composé étant connu, de trouver les mouvements élémentaires susceptibles de le produire. Mais il est clair que, les mouvements simples devant être, bien plus fréquemment que les mouvements composés, connus par robservation , le. problème fondamental de la mécanique est, en réalité, la composition des mouvements bien plutôt que leur décomposition. Ce problème comprend deux cas distincts d'où résulte la division principale de la science : celui où les mouvements élémentaires se détruisent mutuellement; puis le cas où, se composant sans se compenser, ils produisent un mouvement effectif. De là la statique et la dynamique ; la première devant être évidemment plus simple que la seconde.

Aussi, au lieu d'être d*abord regardée comme un cas particulier de la dynamique et comme en dérivant, a-t-elle été conçue la première, et directement créée par la découverte des conditions d'équilibre du levier due à Archimède. Mais, ce point établi, elle est restée stationnaire, et n'a ensuite avancé qu'après la création do la dynaipique : en s'appuyant alors sur les conceptions propres à celle-ci. Leur application à l'étude de Féquilibre devint facile dès que l'on eut compris que les forces n'étaient en réalité que des mouvements empêchés; et cette manière de concevoir la statique, comme cas particulier de la dynamique, est la plus simple et la plus claire en même temps que la plus féconde.

lia question qu'elle doit résoudre est donc de déterminer dans quel cas des mouvements coexistants doivent aboutir à un mouvement nul; ou, autrement dit, à quelles conditions, d'après les circonstances dans lesquelles ils ont lieu , doivent satisfaire des mouvements pour se détruire mutuel-

lement. Or la première de toutes c*est qu'ils soient de même nature : des mouvements uniformes peuvent se détruire entre eux ; des mouvements variés, de même; mais des mouvements uniformes et des mouvements variés ne peuvent Jamais se détruire. Ainsi les mouvements capables de se compenser sont précisément ceux qui produiraient un mouvement rectiligne s*lls ne se détruisaient pas, et ils se composent entre eux par la règle du parallélogramme. On voit donc comment la statique dépend du cas exceptionnel et le plus simple de la composition des mouvements.

En statique comme en dynamique, on suppose d*abord les forces ou mouvements sollicitant un point mathématique , c'est-à-dire une quantité de matière, une masse, existante sans dimensions ; on passe ensuite à des cas se rapprochant plus de la réalité, en cherchant, d'après un tel point de départ, les conditions d'équilibre, ou les différents mouvements, de systèmes de points dont les liaisons sont conçues de manière à ce qu'ils approchent le plus possible des corps de la nature. Ainsi , pour arriver aux corps solides , on étudie, après ceux d'un point, l'équilibre et le mouvement d*un système dont les points soient tellement liés que sa forme doive rester constamment invariable. Ge n'est pas sans doute exactement, mais c'est à peu près, le cas des corps solides. Après ce système, on en considère d'autres de formes moins fixes, diversement flexibles et élastiques, et Ton arrive ainsi presque graduellement à Tétude qui , d'après Tinfinité des forces et des mouvements alors à considérer, est la plus difficile et la plus compliquée de toutes : c'est celle d'un système susceptible de prendre toutes les formes, et composé d'une infinité de molécules indépendantes, mais devant toujours former une masse continue, d'ailleurs incompressible ou compressible. Telle est la définition , en mécanique rationnelle, des fluides liquides ou gazeux.

D'après ce que j'ai dit précédemment sur la représentation

des mouvements rectilfgnes et curvilignes par des équations; sur le sens des grandeurs, vitesse et force, qui, outre l'espace et le temps, sont à considérer dans tout mouvement; enfin sur la manière dont elles se déduisent les unes des autres dans les mouvements rectilignes , et se composent entre elles, il est certes aisé de comprendre comment toute question de composition et de décomposition de mouvement se réduit à de purs problèmes d'analyse. Ainsi, étant données trois forces par les trois fonctions du temps qui à chaque instant en déterminent la valeur, la double intégration de chacune d'elles fera connaître complètement les trois mouvements rectilignes d'où résulte le mouvement curviligne cherché, ta détermination de sa trajectoire, et, à chaque instant, de sa vitesse et de sa force, ne dépend plus alors que de calculs algébriques. Les mêmes formules qui donnent la solution générale de la composition des mouvements donnent évidemment aussi celle de leur décomposition , qui seulement présente à effectuer les calculs inverses. Mais, à vrai dire, à un très-petit nombre d'exceptions près, pour tous les cas qui se présentent effectivement, ces calculs sont ignorés et inexécutables : aussi la constitution de la mécanique rationnelle n*est-elle réellement satisfaisante que quant aux théories générales; c'est d'ailleurs le plus important.

En dynamique, on passe du cas d'un point à celui de plusieurs, plus ou moins liés entre eux, en un mot, d'un système , au moyen du principe de d'Alembert. Les équations d'équilibre auxquelles doivent nécessairement satisfaire les mouvements qui sont la différence entre les mouvements communiqués et les mouvements effectifs ( puisqu'ils sont à chaque instant détruits), deviennent alors les équations du mouvement Les résultats de la statique , qui ont leur point de départ dans les plus simples notions de la dynamique, servent donc à en faciliter et à en permettre même, les recherches les plus difficiles et les plus compliquées, toute

question de mouvement étant ainsi ramenée à une question d'équilibre.

Après l*exaote définition de Voljjet et de la nature des calculs différentiel et intégral, algébrique et arithmétique, définition qui nous les a montrés, dans cet ordre, successivement nécessaires à la solution des hautes questions mathématiques, nous avons vu les différents cas de la mesure de rétendue, ou les différentes manières de les traiter, se répartir, suivant leur difficulté ou leur perfection logique, dans la géométrie élémentaire ou spéciale , dans la géométrie descriptive, la trigonométrie, la géométrie analytique ou générale. Arrivant ensuite à Téf ude des phénomènes du mouvement, nous avons vu la mécanique rationnelle avoir essentiellement pour but la composition des mouvements simples, et; à Toccasion, la décomposition des mouvements composés , puis comment Tune et Tautre sont ramenées à de pures questions d'analyse. Les deux cas, où, en conséquence de la coexistence des mouvetnents, le corps reste en repos, ou bien se meut, donne la division bien tranchée de la science en statique et en dynamique.

Tel est Tensemble ainsi que Tenchaînement des différentes parties qui composent la mathématique, science la plus simple, la plus abstraite, mafs aussi la plus avancée, la plus constituée de toutes, et qui justifie ainsi son nom de science par excellence. De Timmense quantité de ses résultats acquis par de purs procédés logiques et ne s'appuyant que sur un très-petit nombre deprîncipes etde matériaux extérieurs, vient la dîfllculté supérieure de son étude, de son intelligence et de.sa possession complète. Mais cette science sera éternellement la seule et mâle école où s'apprendront Tart di^icile du taisonnement et de la déduction prolongée, les conditions, les propriétés, et, malgré ses inconvénients et ses dangers, la puissance de Tabstraction; enfin la netteté et la précision dans les idées et dans les conceptions.

12Â I^UXIÈME PARTnS.