DE LA MESURE

Onse rappelle que tout enexerçantmon élève à l'intonation de la gamme d'itf, je l'habituais à mettre une certaine cadence dans ses phrases, c'est-à-dire, que je lui faisais sentir les effets de la mesure , bu des diverses proportions de durée des sons , avant que de lui en montrer les signes écrits: fidelle à ce principe, que les idées doivent précéder les signes dans l'esprit de l'étudiant; mais il sentait ces effets sans en remarquer suffisamment la cause : bientôt je la lui fis découvrir, en lui enseignant à multiplier et à diviser une durée quelconque prise pour unité, et qu'on appelle temps de la mesure. Voici de quelle ma-

Je lui mis une baguette a la mainavec laquelle il frappait une suite de durées égales ou de temps; en frappant deux coups pour un, il exprimait les moitiés du temps. 11 frappait donc alternativement un temps entier, puis deux moitiés. Cet exercice lui fut d'autant plus facile qu'il imitait fidellement l'effet de la grosse caisse, que tous les enfans ont remarqué de bonne heure. Presqu'aussitôt je lui fis accompagner ces coups de baguette d'un son de voix arbitraire qu'il pouvait varier à son gré, ourépétersouventleinêmc. ,

Les syncopes , ou les prolongations du son d'un temps à l'autre, furent exprimées sans peine, en faisant une légère aspiration à l'entrée de chaque temps. Ce fut la voix seule qui indiqua d'abord cette circonstance du chant, car la baguette ne faisait jamais que frapper un coup ou deux ; cependant par la suite la baguette aussi désignait la même chose, en ne frappant que le temps ou la moitié de temps qu'articulait la voix, et en. figurant une légère pression sur la moitié aspirée ou de prolongation.

Les silences entrèrent ensuite dans ces combinaisons, de la même façon que les syncopes, soïl pour un temps entier, soit pour une moitié de temps, et soit dans la première moitié du temps, soit dans la seconde. Dès que l'élève eût suffisamment remarqué ces circonstances, je lui enseignai à les écrire par les principes que j'exposerai tout - à - l'heure. Tout cela n'exigea pas plus de deux semaines d'exercice au milieu de nos autres opérations.

J'ai laisse l'élève à ce point jusqu'au quatre ou cinquième mois, c'est-à-dire, sans le faire passer aux sous-divisions du temps plus petites ; d'abord, parce qu'avec ces seules données, il est une classe immense d'airs connus qu'on peut lui faire chanter; ensuite, parce que pour lui

faire chanter des sons plus brefs, it fallait qu'il eût acquis de la volubilité à l'intonation. Ce ne fut donc qu'alors que je lui enseignai à diviser le temps par quarte ; or, il fallut lui faire comparer cette sous-division à toutes les combinaisons de celles qu'il connaissait. Pour cela , je lui ils premièrement frapper les quarts à la suite des moitiés, ce qu'il fit de la même manièreque pour frapper les moitiés à la suite des temps entiers, parce que dans cette opération il pouvait considérer momentanément la demie comme étant l'unité à diviser en deux parties égales. Il fit ensuite succéder les quarts aux temps entiers, et réciproquement il apprit à revenir des quarts aux unités ou aux demies. Je lui fis ensuite diviser le temps en une moitié et deux quarts, soit la moitié devant les deux quarts , soit les deux quarts devant la moitié. Je n'abordai les syncopes et les silences, entre les quarts, que quand il fut suffisamment exercé aux combinaisons que je viens de dire, et qu'il sut passer des unes aux autres à commandement ; quelquefois aussi je frappais moi-même les durées, et l'élève les désignait à partir de l'unité convenue. Enfin, les syncopes et silences furent soumis aux mêmes combinaisons; puis, après un temps convenable, j'appliquai l'écriture à ces

nouvelles idées, comme je l'avais fait la première' fois, et par les mêmes principes»

Le lecteur comprend comment j'ai pu passer à Lisons-division par-huitièmes, en supposant l'unité de temps assez lente pour la comporter. Voilà pour ce qui regarde la division binaire du temps; quant à la division ternaire, si elle est uniforme dans la suite du chant, c'est-à-dire, si le temps n'est pas alternativement divisé par tiers etpar demies, elle n'offre ancune difficulté, parce que le tiers du temps, si bref qu'il soit, devient alors l'unité de durée à laquelle tous les sons se comparent , et qui n'est plus soumise qu'à la sous-division par deux. H est même remarquable que , quand on chante un seul son dans le temps, on y sous-entend trois parties, et qu'on les exprime même intérieurement par trois coups de gosier, très-légers à la vérité, mais néanmoins d'autant plus nécessaires au chanteur, que la durée du temps est plus lente. Or, cette attention est inutile quand il ne s'agit de diviser le temps que par moitié : ce qui semble indiquer que la division binaire est plus naturelle, plus facile que la division ternaire, outre qu'où peut dire que celle-ci ne se redouble pas comme celle-là; c'est-à-dire, qu'on n'exprime guère les tiers de tiers ou neuvièmes parties du

temps, au Heu qu'on exprime les demi-tiers, les quarts de tiers , etc. ; en sorte qu'on peut dire que la division par deux est réellement la plus usitée en musique.

Mais quand la division fondamentale, est binaire dans la suite du chant, et qu'accidentellement un temps se présente à diviser en trois parties, ce qu'on appelle un triolet 3 alors ce changement de rhythme offre une vraie difficulté qu'il faut apprendre à vaincre par l'exercice- J'exercerai donc mon élève à frapper des tiers à la suite des temps, puis à la suite des demies et à la suite des quarts, et à revenir de l'une de ces divisions à l'autre, après l'avoir quittée. Cette pratique est nécessairement plua longue que les deux premières dont j'ai parlé , soit parce qu'elle offre un plus grand nombre de combinaisons, soit parce qu'elle est moins naturelle et moins facile. Du reste, on la terminera par l'insertion des syncopes et des silences entre les tiers du temps, et on j appliquera l'écriture.

Désormais l'élève sait multiplier et diviser l'unité de durée ou le temps de toutes les manières possibles, car il est aisé de voir qu'il en a épuisé toutes les combinaisons. Cependant je n'ai pas dû attendre qu'il en fût à ce point pour

lui faire distinguer, dans le chant, deux espèces de mesure, savoir : mesure à trois et mesure à deux temps. II m'a été facile de lui faire sentir la différence d'effet qu'elles produisent en écri- Tant un même air connu sous ces deux mesures : il a dès-lors attribué cette différence à ce que dans l'une de ces mesures un temps fort revient périodiquement frapper l'oreille de deux en deux coups, et que, dans l'autre, il ne revient que de "trois en trois coups. Cependant cette différence lui parut d'abord si grande, l'air en étant totalement défiguré, qu'il lui cherchait d'autres causes, celle-là lui paraissant trop simple pour un tel effet; mais ce fut vainement , car il n'en trouvait ni dans l'intonation ni dans la durée des sons. Il fut donc en état de distinguer laquelle régnait de ces deux mesures dans tel cliant que je lui faisais entendre; mais en même-temps il fit de lui-même la remarque que, si le chant est très-lent, les temps forts sont si éloignés l'un de l'autre, que l'oreille a perdu le souvenir du premier quand revient le second, et qu'alors la différence de rhjthme étant à-peu-pres nulle sous ce rapport, il doit être impossible de reconnaître, à cette marque, l'espèce de la mesure. Cette réflexion était juste; cependant je dus l'avertir que, même

dans ce cas, un musicien exercé reconnaîtrait . encore si la mesure est à trois ou à deux temps, mais qu'il le ferait par de certaines règles de composition et de goût auxquelles chacune est soumise; par ce qu'on appelle la cadence des phrases, qui est comme le nombre dans le discours; par les retours, quelquefois périodiques, d'un même dessin ; surtout par la correspondance des phrases musicales avec les phrases poétiques, quandl'air contient des paroles (i): au surplus, ceci ne faisant pas directement partie de ce cours, je dus m'y borner à quelques exemples.

Je lui fis aisément distinguer dans chaque temps les parties fortes et faibles, selon le même principe. Ceci le conduisit naturellement à une double manière d'exprimer les sixièmes, c'està-dire , six sons pour un temps; car ces sixièmes peuvent être des demi-tiers, et s'exprimer en

(i) On n'a même souvent que ce dernier recours pour découvrir la mesure, ou seulement les temps égaux de ces airs que chantent par cceur des personnes qui, ne sachant pas de musique, y négligent des fractions du temps sur les silences et les syncopes. On sent que ce n'est pas sous la dictée de telles personnes qu'on peut se vantée d'écrire un air quant 1 la mesure.

trois groupes rte deux sons : ou bien ils peuvent être des liers de moitié', et s'exprimer en deux groupes de trois sons ou triolets. Il comprit bientôt que les douzièmes pouvaient s'exprimer en trois. façons , étant de trois espèces, comme on le verra plus loin.

Je viens aux signes de durée. Je considère que toute la musique ne roule que sur deux parties fondamentales, l'intonation et la mesure : ce qu'on appelle broderies et goût de chant, trils, cadences, etc., n'est évidemment qu'un accessoire dépendant de l'une ou de l'autre. Or, il faut écrire le chant sous ces deux rapports ; niais j'observe que l'élève, au point où je l'ai conduit, sait déjà l'écrire sous le premier rapport, et qu'il a divers moyens pour cela : i.° les mots ut rè

mij etc ; 3.° les points noirs écrits sur les

barreaux de l'échelle et remplaçant les coups de baguette; 3.° les chiffres i 2 3 4 5 6 7; 4-° les lettresa&c d ef g t en posant, quand il le faut, de petits points par-dessus ou par-dessous, pour distinguer entr'eux les sons aigus et graves qui portent le même nom dans les diverses octaves (1). Je tiens à. ce qu'il emploie indifféremment tous ces moyens , afin d'étendre la

(1) Voici, par exemple, trois octaves de sons en allant

sphère de aes idées, car on ne connaît bien ce qui est, on n'en apprécie au juste la valeur, qu'en le comparant à ce qui pourrait être sans cela.

du grave & l'aigu , avec la correspondance des mots aux chiffres et aux lettres :

m rimifasolh ii\vt ri mi fi ld la rijrt ré mi fi sd la lî > 1 1 ( i 8 j | i i J j ! S j [ i i 1 j S f j

. i , / 'g a b\ B d . f g . > i> à ; / g Vï ■

Rousseau n'employait pas le point d'une manière £ie, comme je le fais ici ; il ne l'employait que pour annoncer le changement d'octave, quand le chant passait d'une octave à l'autre -, de sorte que ce point venant de paraître sur une note pour avertir de la prendre dans l'octave supérieure , toutes les noies qui suivaient cellelà étaient censées dans la mùme octave qu'elle ( quoiqu'elles ne portassent aucun point), jusqu'à ce qu'un point contraire au premier les en eût fait descendre , ou jusqu'à ce qu'un autre point, placé dans le même sens, les eût élevées encore M'octave suivante. H résultait de ce système, qu'en prenant une note au milieu du chant , on ne pouvait pas dire de suite & quelle octave elle appartenait, sans recourir a tous les points antérieurement placés, dont il fallait faire des sommes et des différences. Aussi, sentant cet inconvénient, l'auteur avait cherche a l'atténuer , en plaçant une lettre en téte de chaque ligne de musique, laquelle indiquait à quelle

Mon élève n'a donc à apprendre l'écriture musicale que sous le second rapport, qui est celui de Ja durée. Entrons ici dans l'analyse approfondie de la pensée mélodique, pour en

octave appartenait la dernière note de la ligne précédente. Mais ceci ne faisait que changer la difficulté sans la détruire, puisqu'il fallait au moins fairele calcul pour la ligne ou l'on se trouvait arrivé, aussitôt que Von s'était égaré dans la lecture. Il paraît que J. J. avait cru diminuer de cette manière la quantité de points a placer par-dessus ou par-dessous les notes; mais il ne àt pas attention que le changement d'octave peut avoir lieu, dans le chant, aussi souvent que la permanence d'une même octave , et que ce qui lui semblait diminuer I« nombre de points dans une occasion, devait l'augmenter dans une autre. Ainsi, par exemple, ce passage

| Î3 ^ îj | ï& 16 ff | ■

rftant écrit a la manière de Rousseau, offrirait deux fois plus de points qu'on n'y en voit par la mienne ; car il ■e présenterait ainsi 1

|i, , i, , ijl ,'5 , .'5 , i5| .

11 suit de là qu'il fallait d'abord pourvoir à la clarté de l'expression, sans s'embarrasser de la quantité de points à placer, qui d'ailleurs n'a aucune espèce d'inconvénient.

déduire une notation claire de cette pensée, qui soit puisée directement dans sa nature ; car, de lui présenter d^abord la musique ordinaire sans modification et avec tous les défauts qui lui sont propres, de lui définir les rondes, les blanches, les noires, les croches, les pauses, demi-pauses, soupirs, demi-soupirs, avec toutes les figures bizarres qu'on leur donne, ce serait pour n'être pas entendu, ainsi qu'il arrive à ceux qui s'y prennent de cette sorte. Cependant mon but est de le faire pénétrer dans ces sentiers de ténèbres, mais ce sera en l'entourant d'assez de lumières pour qu'il voie bien clair à s'y conduire tout seul. Que j'aimerais mieux, après luî avoir enseigné une notation naturelle et simple, toute conforme à la netteté de ses idées, ne pas y faire de ces mutilations qui la re'duiront à n'être que l'écriture généralement reçue!.,.. Mais, puisqu'on le veut, je le ferai, par déférence pour l'usage , et me consolerai de cette atteinte portée à la raison , par l'espoir que la génération qui vient en fera justice.

De tout l'échafaudage des signes vulgaires, je ne me sers, pour entrer en matière, que de ceux qui pourraient suffire seuls à faire une bonne notation, si, je le suppose, on voulait se donner le plaisir d'en avoir une telle. Ces signes

sont ; la ronde eri guise de zéro , pour Indiquer tous les silences; le gros point noir à queue, ou sans queue, appelé noirej pour indiquer tous les sons ; enfin , le menu point ordinaire , pour indiquer un prolongement de sou ou de silence, et toutes les syncopes possibles. Avec ces trois signes t je vais écrire toute coupe de mesure , quelque difficile qu'on la suppose.

En effet j que l'on se représente rangés comme Bur une longue ligne les sons et les silences consécutifs d'une mélodie ) et que l'on considère qu'ils sont distribués dans l'esprit du muaicïdn par groupes qui remplissent des durées égales, appelées temps de la mesure. Quant aux mesures, elles s ont aussi d'égales du réesentr'elles, étant formées par la somme de deux temps ou de trois- et l'on y est conduit, comme je l'ai dit plus-haut) par la nécessité de reconnaître des temps forts et faibles, qui reviennent alternativement et régulièrement d'un bout à l'autre de la mélodie.

Comme une bonne écriture doit peindre aux yeux la même distribution qui s'est faite dans l'esprit j je tire de ceci le principe incontestable que les temps de la mesure doivent être nettement distingués à la vue ; en conséquence, je les écrirai bien séparés les uns des autres, et,

B'ils contiennent plusieurs sons, )e les recouvrirai chacun d'un trait horizontal.

En outre, je considère que le temps de la mesure est l'unité invariable à laquelle nous rapportons la. durée de tous les sons. Four cela nous le divisons et subdivisons; mais il est remarquable que ce ne soit jamais que par deux et par trois,, c'est-à-dire , que dans un temps qui soit composé d'un groupe de sons et de silences quelconques, nous distinguons deux ou bien trois groupes plus petits et d'égales durées j dans chacun de ceux-ci , nous en distinguons encore deux ou bien trois autres, et toujours de même selon cette progression qui conduit à la fin sur deux ou trois aons individuels, sans subdivision ultérieure. On sait qu'ordinairement cette subdivision ne va pas très-loin; mais quand cela serait, le second principe que j'en tire est général, et le voici:

Que les deux ou trois divisions principales du temps s'annoncent clairement à la vue, et que dans chacune on aperçoive aussi distinctement les deux ou trois divisions secondaires, s'il y en existe,

Pour remplir ce but, je recouvre d'nn second trait, situé sous Je grand trait qui embrasse tout le temps, chacune des deux ou trois divisions

principales de ce temps; mais je n'aî besoin de li? faire que quand quelqu'une de ces divisions est elle-même subdivisée-; et, dans ce cas, je recouvre dans celle-ci, d'un troisième trait inférieur au second, chacune des deux ou trois divisions secondaires qu elle renferme, maissoua la même restriction; et, dans chaque division secondaire, je recouvre d'un quatrième trait, plus inférieur encore, les deux ou trois subdivisions qu'elle peut contenir; et toujours de même.

Il est clair que voilà remplacées avantageusement toutes les espèces de croches en usage. En veut-on des exemples ? Si le temps renferme deux ou trois notes égales, il n'est besoin que de les voir réunies dans ce temps à côté l'une de l'autre, couvertes d'un seul trait, pour juger que chacune dure la moitié ou le tiers du temps; et ce sont là les vrais noms qu'elles devraient porter , et non ceux de croches, de doubles ou de triples croches, qui ne signifient rien.

Mais de trois sons qui soient dans le même temps, le premier dure -t- il autant que les deux autres ensemble? je couvre ceux-ci d'un second trait sous le grand trait. Veut-on encore <jue les deux sons déjà recouverts durent inégalement, et que le second ne soit que le tiers

du premier? alors il faut prolonger le premier de la demi-durée actuelle du second , pour cela mettre un point devant celui-ci, et recouvrir ce point et le son qui le suit d'un troisième trait comme de triples croches. Si l'on eût voulu prolonger le premier son des deux tiers du second, au lieu d'une moitié, on aurait mis deux points au lieu d'un deyant celui-ci sous le dernier trait.

Par où l'on voit que les points de prolongation et les zéros de silence sont soumis aux mêmes principes, mais que le point n'a pas ici la signification restreinte qu'on lui donne dans la notation usitée.

Que l'on ne craigne pas une surcharge de traita dans la notation que je propdse; car, outre que la clarté avec laquelle ils se montrent n'en peut jamais faire un inconvénient, j'avertis qu'il n'y en aura pas plus de deux l'un sur l'autre dans les cas ordinaires , ni plus de trois dans les coupes de mesure les plus recherchées, comme seraient l'expression des £ et tz parties du temps- En un mot, il ne saurait y en avoir plus que dans l'autre notation ; mais presque toujours il y en aura moins , et il dépendra môme de l'écrivain de faire que cela arrive.

La raison de ceci , est que je ne note pas une

mesure à trois -ou û ijuatre temps différemment (Unis un cas que dans un autre, sous prétexta que le mouvement en soit plus ou moins rapide; je n'écris pas un menuet par trois noires et une valse par trois croches, mais je les écris chacun par trots temps; je n'écris pas une marche lente par deux blanches, et un pas redoublé par deux noires, mais j'écris l'une et l'autre par deux temps. Non plus je n'attribue pas aux notes une durée absolue à raison de leur figure, pas plus qu'un degré absolu d'intonation ; mais je leur attribue une durée relative à celle du temps de la mesure, qui est mon unité fondamentale; et celle-ci est toujours annoncée en tête de la mélodie , à la clef, comme le ton , par un signe clair et simple : or, ce signe n'est pas un mot italien , tel que largo j adagio, andarUe, allegro, presto, qui ne porte avec soi qu'une idée vague de mouvement, sur laquelle les musiciens disputent tous les jours dans les concerts; c'est le degré du point de suspension d'un chronomètre, c'est-à-dire., la longueur mesurée d'une pendule simple qui est sous nos yeux , non pas pour faire battre la mesure aux élèves, mais pour leur faire prendre le juste mouvement de chaque morceau , leur apprendre à se le rappeler d'euxmêmes à la vue du nombre qui en est l'indice

véritable, et à juger s'ils le conservent sans altération.

Un infaillible moyen de n'omettre à l'étude aucune coupe du temps , c'est d'en calculer le nombre à l'avance, et de les classer dans un tableau général sur lequel on les désignera à la baguette, les faisant succéder l'une à l'autre et revenir sous toutes sortes de combinaisons. Il faut convenir que l'esprit est satisfait de pouvoir mesurer d'un premier coup-d'œil le champ qu'il aura à parcourir, et de prendre, en portant, l'assurance qu'il ne va pas errer sur un océan sans rives, où l'accompagnerait l'inquiétude de voir s'effacer derrière lui les routes qu'il aurait suivies. Mais on verra que l'écriture vulgaire ne reposait pas sur des principes assez généraux, pour qu'on ait pu entreprendre jusqu'à ce jour cette énumération analytique ; et néanmoins, tant qu'on ne l'a pas faite , on n'est jamais sûr, dans le sens étroit de ce mot, d'avoir passé par toutes les coupes praticables du temps , même quand on a lu, en plusieurs années, plusieurs volumes de solfèges. Or , voyons s'il est possible d'en manquer une seule par le calcul que j'en vais faire.

D'abord je classerai ces coupes par le nombre de traits qu'elles peuvent offrir dans l'écriture,

nombre qui est en même- temps celui des divisions et sous- divisions qu'on aura faites dans l'unité de temps. Ainsi, par exemple, l'expression des i et des f n'offrira qu'un seul trait couvrant deux ou trois sons, parce que 2 et 3 eont des nombres premiers indécomposables en /acteurs plus simples; mais l'expression des-, ~ et 5 , offrira deux traits l'un sur l'autre , parce qu'on n'arrive à ces fractions que par deux divisions faites l'une dans l'autre , savoir : par ; de 7, ou - de j, ou ~ de j : c'est-à-dire, que les dénominateurs 4> 6 et g sont décomposables chacun en deux facteurs , ou par 3 fois 3 , ou. par a fois 3 , ou par 3 fois 3. Mais , plus loin , l'expression des 7, 77, ^ et 77, présentera trois traits, parce qu'il y a trois facteurs dans chaque dénominateur, savoir : a f. 3 f. 3, ou a f. 3 f. 3, ou a f. 3 f. 3, ou 3 f. 3 f. 3 : de sorte qu'en général, si l'on veut connaître de combien de traits sera surmontée l'expression d'une fraction donnée du temps , il n'y a qu'à voir de combien de facteurs simples ou premiers se compose le dénominateur quelconque de cette fraction: se rappelant d'ailleurs, que pour être une coupe praticable en 'musique, ces facteurs ne doivent être que des 3 et des 3 , ou que la fraction proposée ne doit pouvoir s'engendrer que par 1%

division continuelle du temps en deux ou trois parties; car l'oreille, telle que le peuple, ne connaît que les fractions simples 7 et j (1). Cela posé , je considère qu'il n'y a que deux

(:) Le lecteur sera peut-être bien aise de voir, dans un teiil tableau, quelles espèces de fractions peuvent Ètte représentées par un nombre donné de traits ; et , réciproquement, combien de traits exige une fraction proposée de celles qui sont praticables, ou qui sont dans l'analogie de eellea qu'on pratique. C'est pourquoi je le place ici : '

343 486 , etc.

Je borne ce tableau à ces six colonnes qui sont bien plus que suffisantes. Le numéro de la colonne indique le nombre de traits ; et les nombres qui sont dans cette colonne désignent les dénominateurs des fractions auxquelles ces traits conviennent. Ainsi, dans la quatrième colonne, y ayant les dénominateurs 16, i4> 36, 54 1 8'f cela signifie qu'il faut quatre traits pour représenter les

divisions primitives du temps , savoir : la division binaire j ou en deux moitiés, et la division ternaire j ou en trois tiers. Je numérote ces deux ou trois parties j et je les couvre d'un trait, comme ceci :

Ce sont les deux seules coupes qu'un seul trait puisse offrir. Les chiffres d'ordre qu'on y voit tiennent la place, soit des sons, soît des. silences, soit des points de prolongation ou de, syncope ; et il en sera de même dans ce qui va «lira.

iïi~ïï> st'lt""^ parties du temps. Réciproquement, la fraction ^, appartenant à la cinquième colonne, il •'en suit qu'il faut cinq traits pour l'exprimer ; ainsi de* autres.

On ne voit pai dans ce tableau les fractions du temps etc. , parce qu'elles sont impraticables , que l'oreille ne sait point diviser le temps de cette ma. niàre. Si l'on trouve dans les œuvres de quelque» comyoïiteurs cinq notes pour un temps, ce qu'ils appellent des cinq ou cinquièmes , c'est abusivement , car ils savaient bien , en dérivant de tels passages , qu'on ne le* eiicutcrait pas en cinq notes dgales , ou oinq cinquiÈ» mes , mais qu'on ferait ft la place deur quarts et trois «xièmes , tels qu'on le» voit éortts à la page suivante, Glas» C. .

Je prBinîa maintenant le premier de ces deux temps ainsi divise*, et j'en soumets les parties, au moyen d'un second trait, à une nouvelle division qui peut être binaire, ou ternaire^ ou titixtë) et qui peut avoir lieu soit sur les deux: moitiés à la fois ou sur l'une d'elles seulement. Cela fait en tout sept combinaisons que voici:

A. 3 sous-divisions binaires, qui sont des î. » 34, .Tï, . 34

E. 3 sous- divisions ternaires, qui sont desi (tiers de moitié).

U3 456, TaJ 4, t pi C. 2 aûus- divisions mixtes, qui sont des Jet des i combinés.

tï ïïë, H? S4 (1).

Quoique le chiffre 3 paraisse deux fois dans cette dernière coupe , on ne peut pourtant pas se méprendre à sa signification : en effet, paraissant dans la première moitié du temps, au rang des sixièmes, il indique le troisième sixième

(1) C'est ainsi qu'il faut entendre les passages improprement appelés cinquièmes, qu'on rencontre quelquefois mal écrit) de cette manière =|ss.

du temps , qui est dans ci raissaut dans la seconde moitié du temps, au rang des quarts, il y indique le troisième quart du temps, lequel est bien dans celte seconde

le même hua uuia piavus a m lois, ou a ueuj.

de ces places, ou seulement à une; en outre, je peux lui faire exprimer la moitié ou le tiers de la place où je le pose. Cela fait en tout vingt-six combinaisons que voici classées et

D. 7 sous-divisions b

ngs i rgs, st. 551 ! sn, rsT. rri 1

E. , sou.-diri.ion, ton»™, qui Bt de, î.

SïW,TTS,<,^i>iliterf^.'S»*."«>iîil

à double trait sans subdivision ultérieure. Le triple trait , inséré sous le second , nous ouvrirait une série de combinaisons beaucoup plus étendue. Sans entrer ici dans cette «numération trop longue , je me bornerai à mettre le lecteur sur la voie de la faire lui-même , en lui marquant les limites de ce travail , et les points de repos qui le lui faciliteront.

L'insertion d'un troisième trait sous le second peut avoir lieu dans la division binaire aux classes A, B, C, ou dans la division ternaire aux classes D, E, F, ci-dessus dénombrées. En outre , il peut opérer, aux diverses places où on le pose, une sous-division, soit binaire , soit ternaire, soit mixte. Ainsi,

Inséré dans la classe A, il offrirait si sous-divisions binaires, qui seraient des f. 31 sous- divisions ternaires, qui seraient des

54 sous- divisions mixtes, qui seraient des j et

des t; combinés..

Inséré dans la classe B , il offrirait 77 sous-divisions binaires, qui seraient des £

(î de f de è). 57 sous-divisions ternaires, qui seraient des —

6a6 sous- divisions mixtes, qui seraient des tî

et ^ combines.

Inséré dans la classe C, il offrirait 6a sous-divisions binaires, qui seraient des j on

des ^7 (7 de } de \).

6a sous-divisions ternaires, qui seraient des ^

(ide^)etdes^(ide^) (1).

3Go sous-dtvisions mixtes, quiseraientdes^de

deux espèces, jet ,',- combines.

Par où l'on voit que le troisième trait inséré dans la division binaire seulement y engendre un nombre total de i36o coupes du temps. Mais si l'on voulait exclure de ces coupes celles qui passent les^, alors elles se réduiraient à 3i5, comme il est aisé de le voir.

Si l'on porte le troisième trait aux trois classes D , E , F de la division ternaire , on aura ,

En l'insérant dans la classe D -■ 117 sous-divisions binaires, qui seront des ï

def.)

117 sous-divisions ternaires, qui seront des (fdc^dei).

6 qui 11e passent pas les et parmi les 36o , il y en a j4 1"'* sont ^ ana I e m « me ca) -

'jSS sous-divisions

nixtes, qui seront des -±-"et ,-7 combines. . .. s ... '* - EnTinscrant dans la classé E :

721 sous-divisions binaires, gui seront des i fi do j. ) . * »

721 sous-divisions ternaires, qui seront des i a °' 5oa ««"«-divisions mixtes, q ui seront dcs ( "V et ^ combines.

En l'insérant dans la classe F :

<i) i,33 3S ous-divi S ions binaires, quiseront d e3

, «■(ra*î.):et£(iae£j.:

^sous-divisions ternaires, q „i seront des

TîCrde T dei)et^ combiné.

35,026 sous-divisions mixtes, qui seront des — 1 77 et ~ combines.

Ain», le troisième Irait e„ e ,„dre d™ U di . T...o„ tern.ire „„ total de 5„ >6a G coup,»

du temps, entre lesquelles il s 'e„ lr0 „ T6 qui ne pussent pas et si l'o, riuni t

ensemble ,„„ te , le. eoupe. » simple, double ou tapie tnut, qui ne passent pus les A „„ e „ obtient 5 4 „, don, s ,.„, , simp ; j trait do uble, et 5o4 a triple fait. .

M P«rmi «, ,33, „u.-d W , io „ «„„„, ,, 71 qui ne passent paj ] es i, J

tors Joue que je disais ci-dessus qu'on n'est jamais sûr d'avoir lu toutes les divisions praticables du temps, on voit que j'adoucissais l'expression, et que j'aurais dû dire au contraire qu'on est sûr de ne les avoir jamais toutes lues. Sur quoi l'on fera cette réflexion décourageante, qu'il est pourtant nécessaire d'avoir promené sa pensée et sa voix, et plus d'une fois encore, sur ces milliers de coupes, sans quoi l'on y serait

arrêté faute de pratique Mais, non, cela

n'est pas indispensable, et je vais démontrer qu'il est dos considérations à faire, qui on peuvent dispenser et qui rejetèrent toute la pratique sur les trente-six premières coupes seulement qui ne passent pas le double trait. Je vois que le lecteur me saura gré de cette énorme réduction , après le souci qu'a dû lui causer le dénombrement à million; ijn'il lient do lire.

Considérons d'abord qu'il y a une autre manière d'engendrer les coupes à triple trait, au moyen des coupes antérieures à double et k simple trait , auxquelles on adjoindrait une coupe (qui n'en est pas une ) formée d'un temps entier sans division, et qui s'écrit sans trait, comme i. Ce n'est, comme on voit, que l'expression du temps originaire sur lequel ont été .pratiquées les divisions et subdivisions conti-

nuelles p„ a et par 3. Comme le movcn d on[ je veux parler est général, je vais l'appliquer d'aboril à la génération dos coupes a double trait.

Or, quelle cjnc soit l'une de ces coupes que l'on examine, on la trouve nécessairement formée de deux on de trois groupes à simple trait (on dont l'un au moins est à simple trait), rassemblés sous un trait supérieur; car, d'après les principes qui ont été exposés précédemment, * " oot deux ou trois groupes , on sons

individuels, que l'on aperçoit d'abord sous le grand trait. Quand ce sont des sons individuels il n'y a pas de traits secondaires, et la division n'est alors que primitive et à simple trait; mais quand ce sont des groupes de sons, ces groupe, «ont annoncés à l'oeil par de, traits secondaires qm en lient les diver, sons, comme à une même souebe d'où ils furent extraits.

Il faut conclure de là qu'on formerait facilement toutes les coupes du second ordre , en prenant deux par doux, ou trois par trois, de toutes le. manière, possibles les trois coupe, •impies ta3 (q„e j. désignerai pour nu

moment para, b, c), et en recouvrant d'un grand trait ces divers assemblages, sans en exclure la répétition nécessaire de la même lettre.

^yigitizc-j c,' Ci ilvjIl

On formera donc toutes les combinaisons lunaires en dérivant chaque lettre à son tour à 1b suite de chacune des trois lettres a, b, c, ce qui donnera d'abord ces neuf combinaisons.

aa , ha j ca ab , bb , cb

ac bc j CC

Comme toutes ces combinaisons, excepte îav première, contiennent déjà un simple trait, il est clair qu'en Jes recouvrant chacune d'un trait supérieur , on au*ra fait des combinaisons à double trait, et qu'elles seront au nombre de 8 ( nombre qui résulte de 3 f. 3, diminué de i f. i ). Ce qui est conforme à ce que nous savions d'avance.

Pour former les combinaisons ternaires , il ne faut qu'écrire a la suite des neuf précédentes, chacune à son tour des trois lettres a, b, c, ce qui donnera évidemment vingt-sept combinaisons qui toutes, à l'exception de la première , se trouveront être à double trait, dès qu'on les recouvrira chacune d'un trait nouveau, parce qu'elles en contiennent déjà un simple. Cela fera donc seulement vingt-six combinaisons à double trait dans la division ternaire (ce nombre résulte de 3 f. 3 f. 3 , diminué de i f. i f. i \

Ce qui est encore conforme à ce que nous con*. naissions. Voici ces vingt-sept combinaisons :

aaUj boa j caa\aab , bab t cab\aac , bac, cac aba , bba , cbalabb , bbb , cbb\abc , bbc , cbc aca, bca , cca\acb , bcb , ccb\acc , bec, ecc

il n'y aurait plus qu'à rétablir, au lieu des lettres a, b, c, les coupes i , i a , i aii , dont elles tiennent lieu, pour voir dans ces tableaux les mêmes coupes à double trait qui ont déjà été détaillées.

Qu'il faille maintenant former les coupes du troisième ordre , il est clair qu'elles résultent de toutes celles desprdres antérieurs, qui sont au nombre de trenle-sept, combinées deux par deux, ou trois par trois, selon les mômes principes : car, en effet, quelle que soit une coupe imaginée du troisième ordre, elle présente nécessairement, sous le grajul trait, deux ou bien trois groupes , dont l'un au moins est à double trait, tandis que l'autre ou les deux autres sont ou peuvent être à simple trait et même sans trait. On pourrait donc, s'y prenant comme ci-dessus, désigner par trente-sept lettres ces coupes déjà obtenues, et former premièrement les combinaisons binaires, en écrivant ebaque lettre à son tour à .la suite de' ces trente-sept