I — COS2W
sin cô — sin2aj, : •
En donnant à w, les valeurs de zéro à -■> on n’obtiendra que la moitié de la partie inférieure qui commence au périhélie. Posons de même
s i n m = — sin2 Gh — •>
et faisons varier w2 de — ^ à zéro, nous aurons représenté l’autre moitié de la partie inférieure de l’orbite.
La partie supérieure de l’orbite ne présentera pas plus de difficultés. Si l’on veut placer un point de division à l’aphélie, on fera les mêmes
substitutions, et l’on feravarier oo, de ^ à n pour la première moitié, et de n à ~ pour la seconde.
S’il est encore nécessaire de partager les portions inférieures de l’orbite, on posera, comme il a été dit,
COS M| = l COS U,
sinco, = h sin z, où
et l’application répétée de telles substitutions permettra de diviser l’orbite en autant de parties que l’on voudra.
19. Dans la Section précédente on a exposé, d’après les idées de Hansen et de M. Gylden, le moyen de représenter par des séries trèsconvergentes procédant suivant les sinus et cosinus des multiples d’un certain angle les quantités r, rcos/, rsin /, ndt. 11 est aisé de tirer de ces développements celui de A2 au moyen des considérations suivantes.
D. BAILLAUD.
Envisageant chacune des planètes et des comètes du système solaire comme décrivant une ellipse suivant les lois de Kepler, on aperçoit de suite que la connaissance de leurs positions initiales et du mouvement de l’une d’elles conduit à la connaissance du mouvement de toutes les autres.
Désignons par co l’anomalie partielle pour la portion de l’orbite de la comète que nous voulons étudier, par M l’anomalie moyenne de la comète, par M' celle de la planète, par n' son moyen mouvement et posons
c' désignant une constante dépendant de la position initiale de la planète et changeant de valeur à chaque révolution de la comète.
Si l’on écrit
Al — c —t- — ni.
on voit qu’un calcul bien simple donnera le développement de M' en une série procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de co. D’autre part, les formules de mouvement elliptique permettent d’en déduire les développements de
r', r' cos/', r'sinf.
Quelques multiplications permettront enfin d’en déduire le développement de A2, développement qui se présentera sous la forme suivante :
A2 P o H— Pi si n co — i— P2 c o s 2 co —i— P3 s i n 3 co —h . * . ,
P0, P,, P2, ... étant des séries procédant suivant les sinus et cosinus de c' et de ses multiples.
Nous supposerons que les points de divisions de l’orbite aient été tellement choisis, que les coefficients des polynômes P,, P2, ... soient très-petits par rapport à ceux de P0 .11 faut pour cela que la variation de A2 dépende surtout de la variation de c' et très-peu de celle de co. L’exemple qui sera développé plus loin montrera clairement la portée de cette condition.
20. On a vu que le calcul des perturbations que la planète produit dans le mouvement elliptique de la comète dépend surtout de la for-
mation de la quantité Le développement en série de cette quantité
est la partie vraiment difficile du calcul. A2 est représenté par une série procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de c' et des multiples de w. Cette série a un assez grand nombre de termes, et les premiers sont souvent du même ordre de grandeur. L’introduction des anomalies partielles a permis d’augmenter la convergence relativement à la variable «. Nous allons exposer actuellement le procédé ingénieux au moyen duquel M. Gylden augmente la convergence par rapport à c' . Soit R l’ensemble de tous les termes qui suivent P0;
d’où
a-’ = p7 — 4RP/ + ^R2P7....
Les puissances entières successives de R s’obtiennent aisément par la multiplication. La véritable difficulté réside dans la formation des puissances de P0.
Soit
P, = A + A, sine' -h A2sin2e' + . . . + B, cosc' -4- B2 cos2c' + . . . .
Les coefficients A2, B2 seront ordinairement très-petits par rapport à A, A,, B,. Si l’on écrit
P0 = A -+- A, sine' + B, cosc' -t- II,
on aura
P0 — : (A -+- A, sine' -t- B, cosc')
A -1- A, sine' -+- B, cosc'/
Toute la difficulté du développement des puissances de P0 réside dans celui des puissances du premier facteur. Posons
A, = — Msino, B.^Mcosç, — = y..
Le premier facteur de P0 devient
A [1 -+- cos (c' 4- 9)].
B. BAILLAUD.
Si la dislance des deux astres peut devenir très-grande dans la partie considérée de l’orbite, le coefficient A sera grand, ce qui facilitera la formation des puissances négatives de P0. Si cetle distance peut devenir petite, [j. sera presque égal à l’unité, et le développement des puissances négatives de
A [i -+- y. cos [c' -+- <p)]
conduira à une série très-peu convergente.
