Soient

a le demi-grand axe; e l’excentricité de l’orbite de la comète; u son anomalie excentrique; t le temps.

On a les relations bien connues

/ /• = a(i — e cos «)»

6 r cos/= a(cos« — e),

1 | /■ sin/^- a y i — t^sin//,

f ndt = - du ,

t i-t-ecos/

f n dt — df.

ci 2 y' i — a"

6. Soient rt et r2 les rayons vecteurs de deux points de l’orbite situés de part et d’autre du grand axe. 11 est aisé de représenter, à l’exclusion de tous les autres, les points de l’ellipse compris entre eux dans la portion qui contient le périhélie. Il suffit de former une fonction périodique d’une variable auxiliaire qui ait pour maxima r, et r2 et pour minimum a( i — e). Posons

/’= A + B sin# -+- C sin2#.

Cette fonction aura un minimum a[i — e) si l’on peut l’écrire

(3) r — a[ i — e) -f- (M sin# H- N)2,

la valeur absolue de M n’étant pas inférieure à celle de N.

r sera maximum quand cos x sera nul, c’est-à-dire quand x aura l’une des valeurs — 90° et -+- 90°. Ces valeurs maxima seront r2 et r, si

“M — N = \jr2 — a ( 1 — e),

M -f- N = \Ji\ — ci[i — e) .

Les deux radicaux ayant le même signe, puisque M2 est plus grand que N2, on peut les prendre positifs.

La comparaison de la relation (3) avec la première des relations (1), mise sous la forme

r = a i — e M- 2 ae sin2 - 5

donne

( 4 ) sin2 - = - — : sin.r -+- j •

2 \V2 ae \liaej

Le calcul de M et N sera facilité si l’on pose

ce qui donne

tang(45° — 9)

y/2 ae

= e cos<p, — — = esinç, y 2 ae

— 2 a ( 1 — e 4 ae

Si l’on prend s positivement, cos<p sera positif, et, par suite, 9 sera compris entre — 90° et -+- 90°; comme tang(45° — 9) est positive, 9 est compris entre — 45° et -f- 45°.

lî. B AI LL AUD.

Les relations précédentes prennent des formes utiles quand on y introduit les anomalies excentriques a,, u2, qui correspondent aux points /•,, r.2. On a

yr2 — a[i — e ) = 2.11e sin — 5

\Jr , — ali — e) = iaes\n — ■>

puisque et l~ sont moindres que 180 degrés.

On en conclut

u , . Il,

e cos© = il sin h sin — ] >

s sin 9=7 sin .sin —

et, par suite,

sin2© = — sin2 — 2 £2 \ 2

sin2— =

4 atz1 '

sin —

iang(45° — 9) = ,

sin —

H sin2 — -4- sin2

11 est aisé d’exprimer r, rcosf, rsinf, ndt en fonction de x en partant de la relation (4). Nous remarquerons d’abord qu’en extrayant les racines carrées des deux membres de cette relation on doit écrire

sin - —dz e(cos9 sin^-i- sin<p),

en adoptant le signe supérieur quand u est moindre que ut et le signe inférieur quand u est plus grand que u2, car la quantité entre parenthèses s’annule au périhélie, et en s’annulant change de signe. Elle est d’ailleurs positive pour x — 90°, car

e (cos 9 -h sin 9) = sin —

D’après cela, les formules (i) donnent immédiatement

r = a[ i — e -h eeJsin’cp) -+-2ae£2sin2tp sin.r — aee1 cos2© C0S2Æ', r cos f — a( i — e — £2sin2cp) — 2«E2sin2ç sin^e -f- r<£1oos2ç co.S2.r,

rsin f = 2 ne \J i — e‘[ eoscp sin x -+- sin 9) \j i — £2sin2cp — £2sin 2 9 sin x — e2cos29 sin ‘x,

2 £ COS © COS X d.T

ndt = -

\/ 1 — î2sin2cp — £2 sin 2 cp sin x — £2cos2cp sin2jr

En tenant compte de l’observation relative à la formule (6), on reconnaît aisément que le radical qui entre dans les deux dernières formules est positif.

7. L’expression de r en fonction de l’anomalie excentrique étant analogue a celle de ^ en fonction de l’anomalie vraie, on entrevoit aisément la possibilité de représenter l’arc d’ellipse qui joint les points rt et r2 en passant par l’aphélie. Il faudra poser

- = A'+ B' sin.r -t- C' sin2.r ;

r aura pour maximum a(t -+- e ), si cette valeur de - peut s’écrire

-t- ( M' sin.r -+- N')2,

en supposant que la valeur absolue de M' ne soit pas moindre que celle de N', et pour minima r, et r2 , si

les radicaux étant encore pris positivement.

En identifiant la valeur précédente de - avec celle que donne la pre-

mière des formules (a), on trouve

(4 bis)

B. BAILL.VUD .

On facilitera ici le calcul de M' et de N' en posant M'

= £'côsç', N

- — e si n o ,

ce qui donne

lang(45" — 9’)= \/ ~ ~

£ li-e)

4 eri r.

les radicaux étant pris positivement, de sorte que ç>' est compris entre — 45 et -f- 45°.

Par l’introduction des anomalies vraies /, et f2 des points r , et r2, les formules précédentes se simplifient. On a

a(n-é>)~~ V fl(i e») cos— ’

les signes des seconds membres étant déterminés par la considération f f

de ceux de cos — et de cos — • Par suite,

, , i / f fi\

e coscp = - ( cos ~ — cos )•

£ sinœ — cos - — h cos —

et encore

sm 2 ?' — f cos2 ^ — cos2 rr ) = rzz,rî~ «(> —

2 ) l\ez'‘‘rir-1

cos —

tang(45°— ?') =

cos —

[5 bis) £,2= ^ |^cos2 ^ + cos2

Pour déterminer ^ cosy, sin/et ndt en fonction de x, on remarque

que la relation (4 bis) donne

cos ^ =± e' ( cos cp' sin.r — sincp') ;

mais on doit choisir le signe supérieur, car si la parenthèse change de signe quand on passe à l’aphélie, il en est de même du premier membre, et, pour x = 90°, la parenthèse est positive.

On a donc

cos - — £'(cos<p' sin.r — sin<p')>

et l’on en conclut

a( j — e2) - = 1 — e -4- ez'2-V- c£'2sin2cp' — 2/?£,2sin2ç/sin.r — CE^eos’ç' C0S2.r,

a-\J 1 — e2 y/ 1 — s'2sin2cp' -f- £,2sin2<p'sin.r — E^cos'cp' sin2.*/

le radical qui entre dans les deux dernières formules étant positif.

8. Les formules précédentes se simplifient beaucoup quand l’un des points de division est situé au périhélie ou k l’aphélie, et les formules ainsi obtenues permettent de représenter l’ellipse partagée en quatre portions. Par une transformation facile, on peut faire en sorte que ces quatre parties soient obtenues en faisant varier la variable de zéro à 36o degrés. Rangeons ces parties dans l’ordre suivant lequel on les rencontre en partant du périhélie et tournant dans le sens du mouvement de la comète. Les formules relatives à la première et à la quatrième se déduiront de celles du n° 6, dans lesquelles x varie de — 90° à 4- 90°, ou si l’on veut de 4- 270° k 4- 90°, puisqu’il n’entre pas dans ces formules de sous-multiple de x; pour la deuxième et la troisième partie, on appliquera les formules du n° 7, où x varie de + 90° k 4- 270°. On fera les substitutions suivantes :

sin f = ndt —

Première et deuxième région : x = 2 y — 90°, Troisième et quatrième région : x = 2 y -f- 90%