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équation d'une surface héliçoîde k plan directeur.
18. Étude d'une surface nùmma autour d'un de ses points. — Prenons pour origine des coordonnées un point d'une surface minima, Faxe des Ç étant la normale à la surface, et les axes 0^, Oï? tangents aux lignes de courbure passant par le point considéré. On aura alors, en général,
mais, en certains points, les rayons de courbure principaux seront infinis, et le développement de Ç commencera aux termes de degré n>2. D'après ce qui a été dit au § 2, quand le point |x décrit une courbe partant de l'origine, le point a décrit un arc appartenant à une courbe qui possède à l'origine un point multiple d'ordre n — i. A chacune de ces branches correspond une valeur de Ç qui varie d'une manière continue. Il en est de même pour Z et Z\ Nous poserons
Z .— a/A** -h bij} -h. . ., Z' == ay« H- 6y ?■+-...,
les exposants positifs a, |3, ... étant entiers ou fractionnaires et rangés par ordre de grandeur croissante.
La formule
donne immédiatement
On ne peut avoir a = i , car (7 contiendrait le terme — a'logjUL'=a'(«a? --y),
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et, en augmenlant l'argument x de 271, c augmenterait de ^a^ni^ ce qui est contraire à la continuité de la surface. De plus, si fi = o, on a Ç= o; par conséquent, a ne peut être nul, car on devrait avoir a -ha' =0, -et par suite a — o, a'=o. On a donc
A étant une constante et ol ayant pour limite zéro. Supposons a = 2; alors
0" — |ui'(A 4- a).
On voit aisément que la constante A doit être réelle; il résulte de l'équation précédente que les tangentes aux courbes décrites par les points jJL et (7 sont, à Torigine, également inclinées sur les lignes de courbure. Dans ce cas, le développement de Ç commence au second degré (§ 2).
D'une manière générale, on a
Or, si l'argument de (7 a a l'origine une limite donnée, celui de /x' tend vers une valeur unique (§ 2); donc est un nombre entier. Posons
= /i — i, c'est-à-dire a = j alors
<7 — y/"-VA-r-a),
et, par suile, la courbe (a) a à l'origine un point multiple d'ordre n—\. Le développement de Ç commence alors aux termes de degré n. Si l'on pose a'=u!"~\ (j=\[i\, on a
et
a"*~' — a, ( cos h I sm )
. / nffir . . ih'i: \ , . .
A=: cos hism I A -h a .
Si donc rargument de [i' est égal à d, à rorigine, celui de c sera
OÙ i( = o, 1, a, . . ., (/i — 2).
On a ensuite
la fonction y étant nulle à l'origine.
