SURFACES MINIMA CONTENANT DES DROITES

21. Considérons d'abord le cas où, par un point M pris isur une surface minima, passe une droite ÂB contenue dans la surface, et une seule.

Si Ton pose

et que l'on prenne le point M pour origine, la droite AB pour axe des >3, il faudra que pour a?=:o on ait Ç = o, quelle que soit la valeur dey. Or la substitution 07 = réduit le second menr^bre de l'équation précédente à 9(7); on a donc <p[y) = o quel que soitj^; par suite,

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEMANN, ETC. 3l

on a donc

et Ton voit bien qu'il n'y a aucune nouvelle condition à imposer a la fonction Z; donc tous les raisonnements du paragraphe précédent subsistent, et l'on a, d'une manière générale,

(4o) logg-(^-i)logX-^/.c (X = o).

22. Sufface minima contenant deux droites non situées dans un même plan. — Prenons l'une de ces droites pour axe des if? , l'axe des Ç étant la perpendiculaire commune aux deux droites. Désignons par  leur plus courte distance et par an leur angle, de sorte que les équations de ces droites soient respectivement

Nous exprimerons, comme précédemment, que la droite Oio est sur la surface, en posant

Posons

l'équation précédente devient

Pour X = cŒy on doit avoir Ç = A ; donc

A 4- maTT =.-[<p2(j-l- aizi) — 92 (j — omi)\.

Si l'on fait

A 4- mar = H,

on aura

92(/-t-a7r/) =:92(j — a7r/) — aH/,

d'où l'on lire

92(7-1- ^oLTzi) = 92(7) — î>-H/.

32 NIEWENGLOWSKI.

Posons maintenant

on aura, en remplaçant^ parj-h-QaTu,

9a(7^- aaTTi) = 7-*- ©3(7— 2a7ri) — 2H/,

et, pour remplir la condition trouvée» il suffît de faire

donc il faut et il suffit que 73(7) soit une fonction périodique ayant pour période 2ocni.

En remplaçant m par — ^— - et 92 (jH-*^), ?2(j--'^) par leurs valeurs» on obtient

93 étant une fonction périodique dont la période est 2ani. Or on connaît la formule générale d'une pareille fonction» et Ton a

et, par suite»

93(7-+-''*) =N f/«c* f cos h /sin — }

-f-OB

ny