OD

^1 —■- [ nx f^3c\

93(7— '^) — ^w««* (cos isiu — j

et Ton a enfin

^ A V ^ nx

Il restera k déterminer les constantes de manière que Taxe des Ç soit bien la perpendiculaire commune aux deux droites.

Si la droite située dans le plan ^Oin n'est pas confondue avec Taxe Ori^ mais fait avec cet axe un angle égal à /Stt, il suffira de remplacer, dans la formule précédente, a? par a?-+-|S7T, de sorte que

Z= — (^-f-(37r) — > «„c sin — ^ î-—^

23. Expression de Ç en fonction de |j. et \j!. — Nous avons4rouvé (en supposant jS = o)

cela revient à écrire Nous avons donc

n=r-f*ae

L'expression de Ç n'est continue pour jx = /x'=o que si le signfe 2 ne comprend que des valeurs positives de n; nous donnerons donc à n toutes les valeurs entières depuis /i = o jusqu'à n infini.

Ainsi, nous écrivons

Z= loga-f-i \ M/iU*,

Z'=-^<Ogf.'-H/^««u-.

On a ensuite

/ rfu y^. rfz ^ A V ^,^ J

nï=0

Le terme constant du second membre est ; on a, par conséquent.

34 NIEWENGLOWSKT.

Remarque. — Si, dans les formules précédentes, on suppose a = i, on aura exprimé que la surface renferme deux droites parallèles à distance A.

24. Supposons maintenant que les deux droites se coupent à Torigine et fassent entre elles un angle égal à cœ; en prenant pour axe desf la perpendiculaire menée à leur plan par leur point d'intersection, les calculs précédents subsistent ; il suffit seulement d'y faire A = o, etJ'on a

On a ensuite

rflog/x

) = - \ «1 fA* -h -2 i/o fJt* + • . . /

OU simplement

"^^ r=fX»«(H + €),

Û^IOgfJl

H étant une constante et £ une quantité qui s'annule avec jx. Plus généralement, il peut arriver que le développement de Z com-

mence au terme contenant fx*. Alors

25. Remarque.— Si l'on place dans un système de coordonnées l'axe des Çi sur une droite du contour, l'axe des Ça d'un second système sur la droite suivante, etc., sur la première droite 'logiuii, sur la seconde log/jij seront imaginaires en général, car log]x=:y-i-tj?; il en résulte que les

quantités i-r- — ^— et t' . ' seront réelles, puisque rflogfjL| = irfa?o/,

EXPOSITipN DE LA MÉTHODE DE RIEMANN, ETC. 35

étant invariable, et, par conséquent, on a

dZt dis

^log^i dxi

Or, si l'on fait un changement de coordonnées, on a vu que l'expression i-r-i — - — est invariable : donc elle restera réelle; mais la différen-

dlOglMi

tielle du.

pourra être réelle ou imaginaire sur les droites du contour; quant au carré de rfU, il est réel sur tout le contour.

26. Une surface minima est déterminée quand on a exprimé U en fonction de fx, car alors on aura X, Y, Z par des quadratures, et X', Y^ Z's'en déduisent immédiatement en changeant / en —t. Riemann emploie, pour trouver U en fonction de /x, une nouvelle variable indépendante /, de sorte que Ton puisse poser U=/(^), et, ensuite, il cherche à exprimer /x en fonction de /. La variable t est assujettie à la condition que son argument reste compris entre o et n.

Nous supposons que le contour donné se compose de lignes droites; ces droites sont représentées sur la sphère par des arcs de grand cercle; on admet en outre qu'on passe d'un arc à un autre directement, c'est-à-dire par un de leurs points d'intersection; alors on a en général un polygone sphérique fermé. On s'arrange de manière que / prenne des valeurs réelles pour tous les points du contour donné, et, de plus, que t soit infini en un point déterminé de ce contour, pour lequel U a une valeur finie. On peut évidemment poser, a cet effet,

/ = -7 h/.c pour U = a.

On peut déterminer les constantes de manière que, pour les points du contour, l'argument de t soit o ou tt, et que pour tous les points pris à l'intérieur cet argument soit compris entre o et n.

Quand un point se déplace sur le contour, / prend donc des valeurs réelles, et, si t^ est une valeur de t correspondant à un sommet du poly-

36 NIEWENGLOWSKI.

gooe» on passe d'une droite du contour à une autre; si les deux côtés du polygone qui se coupent au sommet considéré correspondent à deux droites non situées dans un même plan» la valeur i^ correspondra à un secteur infini de la surface minima.

27. Nous avons trouvé que, si la surface contient deux droites non situées dans un même plan, en prenant pour axe des ^ la perpendiculaire commune k ces deux droites, on a

dj] I A ^ __^

rflog/m "~ V 2aff ^ fx — o.

Nous regardons maintenant U.et p- comme des fonctions de la variable ^ qui reste réelle quand on se déplace sur le contour et qui prend la valeur 2 = e quand on passe de Tune des droites à l'autre. La perpendiculaire commune aux deux droites perce la sphère en un point fx^, et> si Ton prend ce point pour pôle, on a une nouvelle variable jx^ déterminée par la formule de transformation

Or^ nous supposons que les deux droites soient des droites consécutiçes du contour; nous entendons par là que, quand t passe par la valeur e, le point fx passe de Tare de grand cercle qui représente la première droite à l'arc de grand cercle qui représente la seconde par un de leurs points communs, celui qui correspond à /jl^, de sorte que pour ^ = c on ait|x = fXo. Les droites faisant un angle «tt, on a

puisque l'argument de t varie de;ren passant par la valeur t=^e. Or, pour /x, = o,

Vï^'

mais

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEBfÂNN, ETC. 3'J

puis

rflogfa — fXo)

r>\r r»i^^ pOUr / = e,

Lorsque fJL = (Ay,

Jlog(^-e)

IJ-n 1^0

le dénominateur i + fiof^'o ^^^ positif; ensuite

fcT)-^(^-^)-«(«-^')(^-^)^^

rflog( donc, pour /==e,

rfiog(i4-fx^;)

rflog(^ — e) "^

et par suite

rflog/ut«

rflog(/-c)

= a pour / = e;

donc enfin on a, à cause de Tidentité,

rfU rfU </logj7.i dlog(^~-e) ~ c/Iogfjii c/Iog(/ — e)'

(46) rf|og(,^.) -^Vl^-Vl^ pour/ = e.

28. Considérons nnaintenant un point par lequel passent deux droites faisant un angle égal à an. En raisonnant comme plus haut, on a, en prenant pour pôle de la variable jxi le point de la sphère situé sur le rayon parallèle à la normale au sommet de Tangle considéré,

dloQlJ.

Or, quand / passe par la valeur t = c, on a^ puisque l'argument de (X varie de aHy

38 ÎSIEWENGLOWSK!.

par conséquent, on a encore, comme plus haut. Mais •

par suite,

donc enfin

(47) '^^"^ ~ ( I )log(i — c) -hfoncl. conl. (pour t = c).

29. Considérons maintenant un point de la surface par lequel ne passe aucune droite, ou tout au plus une seule droite; nous avons trouvé que^ si les axes sont convenablement choisis, on a

log ^-T = ( I ) logX 4- fond. conl. (X -- o).

Or, d'après ce que Ton a vu plus haut, si au point considéré jjl=|Xo, comme ce point correspond a un point multiple d'ordre /i — i sur le plan des Uf, puisque

on aura, en reprenant les raisonnements du paragraphe précédent,

e/logjuti

donc

|x-|Xo==(/-a)«-«(K-^Yj);

'^^ = [i-^af '(H'-f-e'),

et, par suite,

(48) '^S"T "^V *) '^^^' ~"^^ "+- fond. conl.

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEMÂNN, ETC. Sq

Cette formule s'applique aussi bien au cas où le point correspondant à/=:a est sur une droite contenue tout entière dans la surface.

30. Gela posé, désignons par ^74, aj, ... les valeurs de t qui correspondent aux points multiples relatifs à la variable /x situés à Tintérieur du contour, par 6^, 63, ... celles qui correspondent aux points multiples non anguleux du contour, par C|, C2, ... celles qui sont relatives aux points anguleux du contour, et enfin par ^1, ^2, ... les valeurs de t qui correspondent aux secteurs infinis. D'après ce qui précède, pour les points multiples, on suppose /i^3; nous prendrons 71 = 3. Pour les points anguleux, le cas le plus simple est celui de

m = i. Tout le long du contour, ( ^ J sera réelle en même temps que L

Nous introduirons en même temps que les constantes a^ , a^, ... leurs conjuguées a,, Vg, ..., de sorte que, pour des valeurs imaginaires

conjuguées de t, --r- prendra des valeurs conjuguées. 11 résulte de là

que le changemeut de variable peut être représenté par l'équation

d[^ __ / IL(t — a]Yl(t — a')ll{t — b] H

(49) dt~\/ , n(/-c) n(/-e)'

le signe II indiquant un produit. Les constantes a, a\ 6, e, ... sont en outre assujetties à des équations de condition exprimant que, pour t = e^ on a

/Âa U =: 4/ — log(/ — e] -\- fond. conl.

Remarquons maintenant que, si pour t = a, par exemple, on a n > 3, par exemple n = 4» au lieu du facteur [t — a^y on devrait avoir [t—- a^Y =zt—a^; il suffit pour cela de supposer ai = a2. Si /i = 5,

l'hypothèse ai = a2=a^ donnerait le facteur (^ — a,)^, etc. Si /w>i,

rfU pour m=OL par exemple, -ir doit se réduire à une constante pour

t = Cf. Il suffit de supposer que c, devienne égal à b^. Si /w = 3, on doit avoir

//fT

log -:ï- z=:-log(/ — c) -f- fond. conl.

at 2

4o NIEWENGLOWSKI.

On pourra supposer 6, = èa = c,=: De cette façon, on ne diminue

pas la généralité en supposant /i=3, m = i.

31. Examinons ce que devient ~r- pour t infini. Posons pour cela /= ^5

9(0 = n(/-a)n(/-a')n(/ — ft), x(0-=n(/-c)n(/-^)^

Si fJL et V sont les degrés de ces deux polynômes* on a

d^où

£9 6|, Y} s'annulant avec f. Il vient ainsi

Si Ton veut que t'=o soit un point ordinaire de la fonction U, il faudra supposer p. = v — 4- Dans cette hypothèse, la fonction U restera finie et continue en tous les points du plan des ^ sauf aux points a, a\ b^ c, e, ..., qui seront ses seuls points de ramification.

32. Détermination de jjl. — Il est en général très difficile d*obtenir directement Texpression de /x en fonction de t. Riemann emploie l'artifice suivant.

Dans les formules (35), (36), (37), /x entre directement et par l'expression :r; Il suffit évidemment de trouver l'expression de -n

en fonction de /, puisque Ton connaît déjà -^r- Pour cela, soit V une

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEMANN, ETC. ^l

fonction indéterminée de /; on a identiquement

dV rfU ^V dV

d[o^lJL~~ dV^da '~' d\

en posant

Or, de la relation

k2 = lJ.k^

on tire

dki

dk\ i du. /"î dki 1 ^■dV'^'"dV k, .IV "^^,'

j. dki , dk,

"' dv *■» dv '•

et par suite

En prenant de nouveau les dérivées par rapport à Y, il vient

. d^ka j d^ks

^'-dw^-'^'im-''

I d^ks I d^k^

Désignons par k Tune ou l'autre des quantités *,, k^; on a, d'une manière générale.

,dk^ ,dk / dk

d^k d\ ^ d\ dt d I Ht

c'est-à-dire

d\^ "" rfV "" dt d\ ~ dt \ dV

\dT

^ ^ - ^A' d^ d^k dt rf/2 Yt dt^

d\'^ /dV\^

Supposons que l'on réussisse à calculer j -j^ en fonction de /; soit, par exemple,