La formule

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE lUEMANN, ETC. 4^

peut être transformée au moyeu des variables ^i, k^. On a, en effet,

, , , , . , , . hsdhi— A -2 dk'\ dV rflog^ — dlogA-2-rflogA-i— ^,-^ ""ÂTâ;'

clone

et par suile

(5.) rfz-^-z7MA-,(^)

On a ensuite

''"VrfV.

donc

(53) rfx = -i(A--A?)(^yrfV.

Enfin

/rfY:3zlrfZU-|-^;)^

donc

(54) /rfY:^-i(y;^ + ÂT)(^)'rfv.

On voit donc que Ton pourra calculer |; ri^ Ç en fonction de / quand on aura trouvé k^ et ^a*

34. Choix de la fonction V. — On fera en sorte que les discontinnités de F(/) ou j -7-7 se trouvent parmi les points a, b, c. Posons

Cherchons la valeur de -r -^ dans le voisinage du point c.

. -j- est un infiniment grand d'ordre -5 puisque ;((/) renferme / — c en facteur. Ensuite, si Ton développe jjl suivant les puissances de t — c^

44 NIEWENGLOWSKJ .

on aura, en nommant fie ia valeur de jx pour / = c,

6 s'annulant avei /— c. Or, quand /passe de la valeur c — A àc-hA, l'argument de t -c varie de n. Si 77: désigne Tangle des tangentes au point anguleux t = c, l'argument de /x doit varier de 771; donc l = y. Comme on a par suite

on voit que -~ est pour / = c un infiniment grand d'ordre i —7. Donc

-T- est d'ordre 7— -» et par suite A= K/j^ ^^t d'ordre -7—7* Ensuite

dk dt dW~ d^ dt

est d'ordre -7-f- > = -7-+- 7» et

f/'^/f dt \dW) d\^~ d\ dt

d9 1 I I II 3

ordre -7+7-1-1 = -7-}--..

Donc enfin j ^^^ est d'ordre "V^-t — (-7— j)' c'est-à-dire i. Ainsi, pour/ = (?,j ^v^^^'' ^^^^^^ ^" premier ordre. Nous allons calculer le coefficient de

En ne conservant que la partie principale dans chaque expression, quand / — c est infiniment petit, on a

d'où

et, par suite,

donc

et, par conséquent^

dV puis

rf^fr \dt /ç/ .\ -H^xM

Donc enfin

Ainsi , le coefBcient de : est

Considérons maintenant un point t = a ou <=.&.

Pour/ = a, -rr est un infiniment petit du premier ordre; mais on a

fx — fXai=(/~ a)2(A-+-e);

donc -p est aussi du premier ordre; par suite, ^ est fini, et Ton en dé-

duitque,pour/=a, j -ru^ est fini. Il en est encore de même pour un point pour lequel / est fini et différent de a, b ou c.

46 ' MEWENGLOWSKI.

Cherchons maintenant ce que devient la fonction j ^^^fl^^^^ t=cc .

On a d'abord

rfU

— 4 /^l!zb:: — L±

Il faut se rappeler que t devient infini pour une valeur finie de U, U = p. Or, le point correspondant à U = |3 est un point ordinaire; par conséquent on a, dans ce cas (§ 19 et § 20),

donc n^ est une constante finie et différente de zéro. Un changement

de variables n'altère pas ce résultat. On voit donc que -4^ est aussi un

infiniment petit du second ordre. En ne prenant que les termes principaux, quand t devient infini, on a

du ^ d\ ;-*

dt dt

donc

On voitque,si v=4,Ai etp -yçj sont des constantes finies pour/=oo . Supposons v>4- On a alors

de même

d'où

Il résulte de ces calculs que -r --^ est une fonction méromorphe sur

toute la sphère; c'est donc une fraction rationnelle, et elle a la forme

I rf-^A- ' V ^ 4/ ^ ^ ^ 3 I

A étant une constante.

Si V est plus grand que 6, on aura en dénominateur t"^ et il faudra que/=o soit racine d'ordre v — 6 de ;((/) = o si Ton veut que t = o ne soit pas une nouvelle discontinuité, ce qui introduit v — 6 équations de condition.