kikiU des deux premiers coefficients de V{t). — Posons

d\ = --J= dt-»d\,,

où

dV, 1

a = <-*+•'« ei

dl J/'- / j f-av+ïn»

On a identiquement

\dy) -d\\\d\,) *J-rfv, Vrfv.y WvJ rfv

d\ et, en diCTérentiant une seconde fois,

/Ad\) ~* f/VîV/vJ "^UVi/ 'd\^'

5o NIEWENGLOWSKI.

car les deux termes

dy,\d\J d\ d\,\d\J "^ d\

se détruisent, puisque

r/a« da «

En multipliant les deux membres de Tidentité précédente par on obtient

\d\) d\'\dy) ~ \dV,) d\\\d\,) "^ dV*' d'où

[dVi) d\l\d\J ~^ k d\^ ^'d\^'

Or le premier membre est une fonction analogue à t -.r^i mais relative à la fonction V, ; cherchons sa valeur pour / = oo . On a

rfv<

-^ /2-v+v-m — ; (2— m .Jz ^-^ / /— 2

dt ' dt

d'où

En prenant m = 4» on aura une constante» et, par suite, le premier membre de l'égalité écrite plus haut sera constant pour / = qo. Le second membre peut s'écrire

/-2V-H8 X i zi L. /-2v-f-8 rir — a' -— —

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEMANN, ETC. 5l

Or, pour /=:oo, les termes compris sous le signe 1 sont finis; ^2v-K8 p^^j contient deux termes à exposants entiers par rapport à t, puisque

ce qui donne

On a ensuite

dt*"* dt*~*

dV ~~ dt

\/7iJ) = {^-l)t' ^vTIô.

et enfin

= (^-^)[^^'-^V(0 + ^(^-v)/-^vy-(,)J

ce que Ton peut écrire ainsi :

'-^'--,{'-iy-'>-'Mi

Or/(/) est de degré av — 4; posons

on aura

5 2 NIEWENGLO WSKI .

de sorte que

où

(x~-l{a-\~a')-^lb-{'lC'-{-2le;

on voit que les coefficients A et B sont réels. En s'appuyant sur ce qui a été dit à la fin du § 32, on vérifie que tous les coefficients de P(/) doivent être réels.

37. Modification à apporter dans le cas où quelque constante a, a\ é, . . . est infinie, — Supposons par exemple qu'une des quantités e soit infinie, et soit

on veut exprimer, par exemple, que, pour / = qo ,

dlogt ■"* V

aaTT

On posera ^=7,; on transformera ainsi le second membre, qui deviendra, en observant que /^{t) est du degré v, cp du degré v — 4»

Ensuite

donc

^log^ " dt'

et Ton fera /'= o. Pour que le second membre puisse être fini, il sera

nécessaire, dans ce cas, que v/xi(0 contienne t en facteur •

On opérerait d'une manière analogue si quelque autre constante était infinie.