II. — Surface minima contenant trois droites non parallèles

39. Soient Â, B, G les plus courtes distances respectives de ces droites, et «tt, jStt, y7r les angles qu'elles font entre elles deux à deux.

I^ous choisirons pour les valeurs de t correspondant aux secteurs infinis o, oo , i, et nous poserons

dt t[t — i)

Le polynôme t{t — i) sera regardé comme un polynôme du troisième degré ayant une racine infinie; on a donc v = 6^ et, par suite, (f[t) doit être du degré v — 4 = 2.

EXPOSITION DE LA BIÉTHODE DE RIEMANN, ETC. !ï>

Les coefficients de f{t) doivent être déterminés de telle sorte que :

D . du /Ai

Pour/ = o.. .. -j-. — , = \/ — ï

aiog/ V 17:

t y it:

» t =:CC

d\og rfU

é/logtr — ij

r — Il V 271

Posons

on aura

9(/) — L/2-f.M/-hN;

dV __ /V/L/2+M/-+-N

dio^t * /(/ — i)

Pour / =0, cette expression se réduit à y^N. Donc on doit avoir

Pour t = î,

dl]

on posera

Enfin, pour / —

QO ,

rfU -

r^log/-^'^'

donc

de sorte que

(55) • ç(/)^^(,-.,) + ?^ /(/,) 4. ÇZ/.

11 s'affit maintenant de trouver une fonction V telle que r -

n'admette pas de discontinuité autrement que pour /:= o, 00 , 1. On

56 NIEWENGLOWSKI.

peut prendre la fonction V déterminée par l'équation

rfV

Calculons les valeurs de ^, pour t = o,<xi , i. On a

fdW

Pour ^ = oet/=i,la quantité y -rr est finie et différente de o ; il n'y

a à considérer que y -j-' Or le point t=o est un point anguleux du

contour; les tangentes y font un angle égal a an\ donc, dans le voisinage de ce point, on a

jut — Lto=/*(A-+-e),

£ s'annulant avec t. La dérivée -^ contient /*~* en facteur, et, par suite, i/-^ t '^^ est fini pour / = o, ce qui revient à dire que le produit

i/y- 1^ * est fini et différent de zéro pour f = o; donc

/ * '/fi est fini el différent de zéro pour / = o; de même,

(i — /) * '/fj est fini et différent de zéro pour / = i.

Considérons maintenant le point / = x). Il faut remarquer que, pour / = Qo , \/ -jj est infini d'ordre -• Le raisonnement est le même

que le précédent, et, en tenant compte du facteur l/^» on voit que

t * '/ti est fini et différent de zéro pour / — 00 . On voit en outre queA^a étant égal à jx^f, comme jul est un infiniment

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEMATiN, ETC. 5'J

petit (l*ordre a pour r = o,

/ * «/fa est fini et différent de zéro pour ^ — o,

et» de même,

-i ï (i — /) • */c2 est Uni et différent de zéro pour ^:rî:u,

Cela posé» ^i et ^a sont deux intégrales particulières de l'équation différentielle linéaire du second ordre (5i) que nous savons former. L'intégrale générale est de la forme c, ki + c^^^ ; mais kt et ^2 ont trois points singuliers / = o» c» » i; il en est de même de l'intégrale générale» et, d'après ce qui précède» en se conformant aux notations employées dans le Mémoire de Riemann sur les fonctions P (*), on voit que l'intégrale générale k de l'équation du second ordre peut être représentée par la formule

la 3 û I y

La somme

tandis que» dans une fonction P» cette somme d'exposants est égale à -hi. En outre> les différences ocy |3» 7 sont toutes inférieures a i et» par suite» ne peuvent être des nombres entiers; il en est de même pour les fonctions P.

^1 correspond aux exposants de la ligne supérieure» ^2 ^ ceux de Tautre ligne.

(*) Beitràge zur Tlieorie dcr durch die Gaitss*c/ie Reihe F(a, p, 7, x) darstellbaren Functionen,

58 NIEWENGLOWSKI.

On peut mettre k sous la forme suivante :

(57) fr=/^ '\i-tf 'Q

Considérons la fonction P correspondante, savoir

On peut exprimer Q en fonction de cr et de ;7^- Pour cela, on pose

a, 6, c étant des coefficients indéterminés.

On sait que

'*■* dv ~ *■* rfV " ' ' c'est-à-dire

Pour abréger l'écriture, nous poserons

dv du , .

de sorte que

Nous désignerons encore par G^ et a^ les valeurs de 0- qui correspondent aux valeurs particulières ^,, k^ de l'intégrale générale. Cela posé, la fonction

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEMANN, ETC. 5g

satisfait à l'équatioa Or,

dz ___,dz d^z d^ dz

rflog/"" rf/' (dlogO'" dt^'^ di'

en substituant dans Téquation précédente, elle devient Pour appliquer ce résultat à la fonction

il suflBt de remplacer a 4- a' par a, aa' par o, jS + /3' par i —a — 7 et PP' par ''~^~^^ "^ \ alors / est en facteur, et, après Tavoir supprimé, on trouve

On voit ainsi que ^(^ — ^) ^ s'exprime linéairement en fonction de

d(T 1 -j7 et de c.

Pour simplifier les calculs, faisons de sorte que

En prenant la dérivée par rapport à t, en ayant soin de remplacer /(i - /) ^j|- par son expression en c et ^r» et en faisant le même cal-

6o NIEWENGLOWSKI.

cul pourÂTî, on pourra former (^^, *2) = ?(0; ^^ trouve ainsi

F(/) = /(i-/)|-fec4-^[P^~(i->a-yHJ -+■ [a -h bt)^ -h [a -h bt) c[(x(t — t) — yt]y

OU bien, par une Iransformalion facile,

F(/) = a(a-l-ca)(i — /)-+- [a -h b][a'^b — cy]t

Or on sait [voirie Mémoire sur les fonctions P) que l'expression

est une constante différente de zéro; on peut évidemment s'arranger de manière qu'elle soit égale à i; alors on aura

En identifiant 9 (/) et F(^), on a, pour déterminer a, 6, c, les condi-

tions suivantes :

/ . Aa

rt(« -f-ca) = — y

(^•4- 6)(a-t-6 — cy)i= -^»

Le premier membre de chacune de ces équations est un produit de deux facteurs, les différences de ces facteurs étant respectivement ca, 07, c^ ; prenons leurs demi-sommes pour inconnues auxiliaires et posons

a-\-b — y^r=L'^ry

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEHANN, ETC. 6l

d'où

Les équations de condition précédentes prennent alors une forme très symétrique:

Si Ton prend - pour inconnue auxiliaire 5, on peut écrire

d'où

et 5 satisfait à Téquation

40. On peut exprimer plus simplement l'intégrale générale i à l'aide delà fonction

La formate

62 NIEWENGLOWSKI.

donne, en supposant les constantes convenablement choisies,

OD eo tire

Le coefficient de X peut se mettre sous la forme

ca r, c(a-4-y — 1)~| ^

de sorte que Ton a

k = (^^{p^qt)l-,^ct{i-t)^']^.

Les valeurs des constantes qui entrent dans l'expression de X doivent être choisies de telle sorte que l'on ait

Or.

par suite, on doit avoir c'est-à-dire

//; \ ^ dXj ^ /ft|

(011 A| -Tl ^2-71 ='•

^ ' rflog/ dlogt

41. Application. — Supposons les droites données parallèles aux axes de coordonnées; elles font alors entre elles des angles égaux k

90®, et, par suite, a = ^ = y == - •

Cherchons, dans cette hypothèse, la valeur de X|.

On a, dans ce cas»

>=' r fi' =(^N.

c'est-à-dire

La fonction

satisfait à l'équation différentielle suivante :

Cherchons une solution particulière qui» pour / = qo, soit infinie d'ordre 4 et resle finie pour r = o, f = i, qui sont des points de ramification. La fonction

(7< = HV/«-r-(/ — l)S

OÙ H est une constante, satisfait à ces conditions, car on a

^ = ^(,.,pH+i(,.-,)-H,

de sorte qu'elle vérifie l'équation différentielle. On a donc

i, = (lz:i)V'^-('-.)=H=H(i=i)V,;

on en tire

==(^yî'-'('-r'-H'.è(^y

64 NIEWENGLOWSKI.

On voit ensuite que la fonction

satisfait aussi à l'équation différentielle en a; or, en posant

on peut déterminer K et H de manière à satisfaire à l'équation En effet, on trouve

di \ ^ / 4(7| ^ ^ (Ti dt\ i J

Donc on a identiquement

^V'dl^i'^^dî^t)-^

Si donc on fait = 1 ou H = \/2, K = — y/z, on peut poser

On en déduit

Cela fait, on a trouvé (33)

donc

et ensuite

dV v^9(<) dV .

Calcul de Z. — On a

par suite

On trouve sans difficulté

Mais, à cause de la relation - =p \-q-\-r, on peut mettre l'expression précédente sous la forme

-t- r (a» -+- 3g + r) (;» - î + r) log i^ yTr=.

lY.

66 NÎEWENGLOWSKl .

Calcul de X. — On trouve et, en substituant dans l'expression de rfX,

dt c» fit

En intégraDt, on obtient

i^^-{p-q-i-r)^ft-{~p-i-q + r)^J

(64) . >rt

Calcul de Y. — On a

d'où, substituant et intégrant,

i iY .■= {p ~ q -y. ,.)J ^\Zri 4 [p+q- ,.)ï J- (65) . V'»-'

f +^(-/' + ?4-r)(3;» + ^ + r)Iogi:^-^!^4^

i -\Ji- t

III. — Surface minima passant par trois droites dont deux se coupent, la troisième étant parallèle au plan des deux premières.

42. Prenons le plan des droites concourantes pour plan des ^^y Taxe des Ç élant dirigé suivant le rayon passant par le point |x = go . Les trois droites sont représentées par des arcs de grand cercle dont les plans se coupent suivant Taxe des Ç. Désignons par ocn Tangle des deux grands cercles qui représentent les droites concourantes et par — jStt, 771 les angles que fait le troisième avec les deux premiers, de telle sorte que |3 -+ 7 — a. Il s'agit de choisir une variable indépendante / qui prenne des valeurs réelles quand on se déplace sur le contour. Si Ton désigne par b et c deux nombres réels, b étant par exemple plus petit que c, on peut s'arranger de manière qu'à toutes les valeurs réelles de / inférieures à b correspondent des points de la première droite, que pour t = b ou passe sur la troisième, c'est-à-dire celle qui est parallèle au plan des deux autres, et que de t = b k t = c on se déplace sur cette droite, enfin que de / = cà / = -i-oo on se trouve sur la deuxième. Il suffit de poser

/x sera infini pour t infini. Soient / — 6 = pe^^ i ^ c= p'e^'; on aura

de sorte qu'à toutes les valeurs de t inférieures à b correspondent des points /x situés sur la droite >?==§ tanga?:. Soient maintenant t — b = p^ t — c = p'é^^; on aura

et le point |x décrira la droite Y3=|tang7;r; enfin, si /— è=/j, /— c=p', le point [i décrira la droite 17 = 0; il suffit donc d'ajouter aux conditions précédemment imposées aux axes de coordonnées que l'axe des ^ correspond à l'une des droites et que l'autre fait avec 0^ un angle égal à an.

On a ensuite

68 NIEWENGLOWSKI.

on voit que -^ s'annule pour la valeur de t donnée par Téquation

cQ-hby

Or cette valeur de t est conaprise entre b et c, et par conséquent correspond k un point de la troisième droite. Le point ^ = a est, pour la variable jx, un point de rebroussement. Il résulte de là (30) que

dt [t^b][t — c)

Or, pour ^ := 6 et ^ :- c, ^^^^^^^^^ et d[o^[t-c) ^^^^'^^* prendre res-

pectivement les valeurs l/-; — -^ \/~' ^ étant la plus courte distance de la troisième droite à chacune des deux premières. Par suite, on doit avoir

Cs/b — a __ / —A (3 C s/c — a __ / A y ù — c V ^'^ ^ — b \ 2.1:

ce qui donne

^/6 Or

a V 27: Je -a\ ^-^

donc ces deux équations s'accordent à donner

et, en prenant c — 6 = -^ ?

On a ainsi

rfU ,~ (t-aY

Jlogfz (^-f-y)(/~fl) dl ~ {/-6](/-/7)'

par suite

d[] \a . dt

Par conséquent, on trouve immédiatement