PRINCIPES GÉNÉRAUX
1. Considérons sur une surface donnée un point M ayant pour coordonnées rectangulaires ^, ij, Ç. Par l'origine des axes de coordonnées menons une parallèle à l'une des deux directions, bien déterminée,
4 NIEWENGLOWSKÎ.
de la normale en M à la surface, et soit m le point où cette parallèle rencontre la sphère qui a pour centre l'origine et dont le rayon est égal à l'unité de longueur. La position du point m est déterminée par sa longitude 9 et sa colatitude Q. Les cosinus directeurs de la normale
sont
cosa = sin9cos9, cosj3 = sindsinf» cosy = cos0,
et, par suite, l'équation différentielle de la surface est (i) sindcosf e/^ 4-sin0sin<prf7î -i-cosOrfÇ^iio.
Si l'on pose, comme le fait M. 0. Bonnet (*), (^) ^r= langes, x = <fy
on trouve facilement
sinô = 7-t cos6 — iiangir,
cosiy ° •^
(3) ' puis
cos^ ^ smj: i smrr
COSa= -y COSp= r-ï cosy=r r^»
cosij ^ cosiy ' cosiy
de sorte que l'équation diflérentiellc de la surface devient
cosxdï^-i-sinxd'n + isiniydl^ = o,
et l'équation du plan tangent à la surface au point M est
Çcosx -h n sinx ■+■ Çisîniy = — z,
z étant une fonction des deux variables indépendantes x et y. Ainsi, toute surface sera caractérisée parla forme de la fonction z.
Les coordonnées |, ^, Ç du point de contact de la surface avec le plan tangent correspondant à des valeurs données de a?, jr, z sont déter-
(«) Voir les Mémoires de M. 0. Bonnet Sur la tftéorie générale des surfaces (Journal de Liouville, t. V, i85o, i^ série; Journal de l'École Polytechnique, XLIV* Cahier).
minées par les équations suivantes :
^cosx -h'n sinor-- — 2 — i tang/j.^j
COSIJ
petq représentant ^ et j- suivant Tusage.
Soient P et P' les points où Taxe OÇ et son prolongement OÇ' percent la sphère de rayon unité; soit encore /x la projection stéréographique du point niy le point de vue étant placé en P'. On a
angle ^0|ùt = :r, angle OP'fJt = ^0 ei 0/x=: lang^Ô =:er.
Si l'on regarde le point [i comme représentant une quantité complexe que Ton désigne par la même lettre |x, on aura
(5) fjLzzzer^'-^.
Nous désignerons en outre par /x' la quantité conjuguée
(5') ix'=er
2. Supposons que Ton rapporte une surface au plan tangent en un point» Taxe des Ç étant la normale et ceux des ^ etri les tangentes aux lignes de courbure. L'équation de la surface sera
p, q^r^ . .. désignant les dérivées partielles de Ç.
A partir de l'origine des coordonnées, traçons sur la surface une courbe quelconque. Soit a l'angle que sa projection sur le plan OÇvj fait avec OÇ. Le point jjl décrit une courbe correspondante passant par l'origine; l'angle j3 que fait à l'origine la tangente à cette courbe avec Taie OÇ est donné par la formule
lang(3= lim tangj:.
b NIEWENGLOWSKI..
Mais tanga:— ^; donc on a, en général,
dq dq dm
,. q ,. d^ dm dl
lim- = lim -j -, — T^>
p dp dp dm
c'est-à-dire
dl " dm dl
langj3=: -langa.
En tout point d'une surface développable on aura donc /S == o ou |3 = 9o% c'est-à-dire que la courbe décrite par le point p. est tangente en ce point à l'une des lignes de courbure ; en tout point d'une surface à courbure moyenne nulle on a
tangp -h iang« = o.
Supposons que le développement de Ç commence aux termes de degré /t en Ç et en k?» et chercbons quelle est, dans ce cas, la limite du
rapport -•
Désignons par q^'^'^ et p^^^ les valeurs que prennent, à l'origine, les dérivées d'ordre A de jd et y par rapport à Ç, regardé comme étant la variable indépendante. On a symboliquement
un terme de la forme Af^l) (-/) (j^l devant être remplacé. par
En effet, les termes contenant -^^ ^> ••• sont multipliés par les
dérivées partielles de Ç d'ordre inférieur à /i, qui sont toutes nulles à l'origine; donc, à une valeur donnée de tanga correspond, dans le cas considéré, une seule valeur de tang^, mais à une valeur de tangP
EXPOSITION DE LA BIÉTHODE DE RIEMANN, ETC. r
correspondent /i — i valeurs de tanga, fournies par l'équation
Il résulte de ce qui précède que, si en un point M d'une surface^ en choisissant les axes convenablement, on a
alors, en prenant fi pour variable indépendante, la projection d'un point de la surface sur le plan tangent en M définit une variable imaginaire pour laquelle le point M est un point multiple d'ordre n^i.
3. Formules de transformation des coordonnées x ^ y y [l, — Soient M un point pris sur la surface d'une sphère de rayon f , â? et sa longitude et sa colatitude, le pian §0Ç étant le plan du méridien origine des longitudes, comptées positivement dans le sens direct. Rapportons maintenant le point M a un autre pôle P,, en conservant le même méridien origine ainsi que le sens des longitudes positives, de sorte que la nouvelle longitude soit ÇP,M = iP, et la nouvelle colatitude PiOM — ^i. Soit encore ôo la colatitude de P, .
En posant, pour abréger,
lang^ô — m, lang^o = wîo,
on trouve facilement
Supposons maintenant que l'on fasse tourner 0?^ autour de OP d'un angle égal à Xq et que le méridien origine des x^ tourne d'un angle égal a a autour de la nouvelle position de 0P|, les rotations ayant lieu dans le sens direct; on aura, en vertu des raisonnements précédents,
d'où
/ne''^//ioe~'-^«
8 NIEWENGLOWSKI.
OU bien
OÙ
Si l'on prend a — — k — iCo, on aura
C=~i, et par suite
Cas particuliers . — Prenons fXo=i> a7p=o, a = — tt; on aura
