I -hft
Taxe polaire est alors Taxe 0^.
Pour Ua = î, Xo=-9 a = »
l'axe polaire étant Taxe Oin.
4. L'axe OÇ ayant pris la position OP^ nous supposerons qu'on ait fait tourner en même temps le triëdre des axes : i^d'un angle o^o^autour de OÇ; 2° d'un angle Oq autour de la seconde position de OiOf et enfin 3^ d'un angle a autour de la seconde position de OÇ. On trouve alors, en désignant par li, vj,, Ç^ les nouvelles coordonnées d'un point M(|,Y3,Ç),
Ç = Ç^cosôo— Çicosasinôo-f- /îïSinasin^o»
Ç = Ç, sin0ocosxo-i- ^i(cosacos0ocosa:o— sina sin^ro)
— 7îi{sinacos0ocos:co-^ cos« sin^o)»
Y) = Çi sindo sinaro4^^i(cosacos0o sin:ro+ sinacosâTo)
— y)i(sinacosdo sinâro-- cosaCOSJToj*
Nous poserons
En remplaçant les cosinus et les sinus par des exponentielles, on tire des formules précédentes
lu) K = ticos6o î-cosasinôo ismasin^o,
cos^oo-fi^'-^-^Çi sin0o-+-^cTie'='(i-i- cosôo) -f-^T,e-'«(i— cosOo), coseo<r'e'-^« =Ç, sinÔo4-^^,e'«(i— cosSo) 4- îO->-'«(i-f- cose©).
Remarquant que tang*-*-Ôo=fXoF'o» ®* résolvant par rapport k c, et a\ , on a
(T,(i -f- /xo/jio) e*^*"*"*'-^ = — ^/uoÇ -h (7 — iilv\
d'où, reportant ces valeurs dans la formule (ii), on obtient
Ç, ( 1 -+- |:xo ft'o) = Ç ( I — |:xo f^o) -+- /:xo <T + fXo 0-'.
On a ainsi obtenu des formules qui permettent de passer des variables /x, Ç, cr, <?' aux variables nouvelles fX(, Ç|, o-|, <7'i et réciproquement.*
Lorsque a + â?o= — tt, on a le Tableau suivant de formules :
/^•= rV — ^»
(12) I Çi(i4-f/ofAo) =Ç(" — FoPo) -f-/:xo<7-i-/xo(y',
(7,(l-f-(XofXo) =2fioÇ— ff +PÎ^'»
a,(i -+- fxefx'o) = 2^oÇ — a' -4- ^0*0".
Si entre la deuxième et la troisième formule on élimine g\ on trouve
(i3) |:jto(Ç-f-Çi) =(r4-(yi;
on trouve de même la relation conjuguée
(i3)' ^;(Ç-hÇ,) = (7'+a,.
Ces préliminaires posés, nous allons passer à l'exposition de la mé-
lO NIEWENGLOWSKI.
tliode de Riemann pour déterminer la surface ininima de contour donné.
5. Si l'on calcule l'aire déterminée par un contour tracé sur une surface, on obtient l'expression de cette aire par une intégrale double. Si l'on suppose que le contour reste fixe et que la surface se déforme infiniment peu, en écrivant que la variation de l'intégrale est nulle, on obtient des surfaces satisfaisant à cette condition que, en chacun de leurs points, les rayons de courbure principaux sont égaux et de signes contraires. Pour savoir s'il y a réellement un minimum, il resterait à étudier la variation seconde. Ainsi posé, le problème est d'une très grande difficulté, etnous| n'essayerons pas de l'aborder. Nous appellerons ^u(/ace minima toute surface à courbure moyenne nulle.
Riemann donne la condition suivante pour que la première variation (^ soit nulle :
(i4) nv(sin9cos<p) 4- -7- (sinôsinç) = o.
Cette équation exprime que
— sindsinf(/^ 4- sinôcoscprfyj
est une difierentielle exacte, de sorte que l'on a (i5) — sinôsinçûf^H-sinflcoscprfy) = rfC.
La condition dS = o peut être mise sous la forme c'est-k-dire
, . d.cosa ^.cosS <^.rosy
et si F(£, Y7, ^) = o est l'équation de la surface, en posant
"=vU)^(a^)^U)
on peut encore écrire la condition dS = o de cette manière:
. dF . ॠ, dF à-n-^ d.n-^ d.n-^
6. Au lieu de rapporter la démonstralion de Riemann, je vais prou, ver que la condition précédente est identique a celle qu'a donnée M. 0. Bonnet dans son Mémoire cité plus haut. En posant, avec M. 0. Bonnet,
Ir + qi tang^y -{-z = u, ^-i-g/langi7 = (v, la condition $S = o est la suivante :
{io) u-hw = o.
Or, comme on a 9=0?, 8in0= — .-îla condition (lA) revient à celle-ci :
,/ cos^ \ ,/ sin^ \ \cosiy/ \cosiy/
Le premier membre développé devient
, , svcix dx isin/rcosa: dy cosa: dx isiniVsino: rfr
^ ' cos^y a^ cos^ix ^Ç cos^y dn cos'^iy dn
Mais, d'après les formules (4) et (19),
cosxd^ -h sinxd-n — — i langiy (f rfar 4- wdy), slnxdl — cosxdn = udx •+■ vdy.
£n résolvant par rapport à dx et dy^ on aura les valeurs des dérivées partielles ^) -t-5 h^? ^î et, en les substituant dans Texpression (21), on trouve très simplement pour résultat
C0siy(«iv — v'^)
12 NIEWENGLOWSKI.
donc on a
. cosa; . sin^p o :— o r- . .
, . cosir cosir ailaneir w + cv
^ dÇ &n d$ cosiy(«iv — v*)
La condition U'\-w = o entraine la condition (i6) et réciproquement, car on n'a pas cos(x=:o ni uw — v^ = Of puisque cette dernière condition n'est jamais reniplie pour une surface. On ne peut pas non plus supposer co^iy{uw — ç^^) = oo pour tous les points de la surface.
7. M. 0. Bonnet a fait voir que le Ç de toute surface minima satisfait à l'équation différentielle
On peut tirer très simplement cette conséquence de la condition (i5). En effet,
sind sinf (/^ — sin0 cosf^y? = </C; donc
^{sina;df — cosarrfrî) =rfC,
cosi/^ ^ '
c'est-à-dire que
udx->r vdy cos ijr
doit être une différentielle exacte. On doit donc vérifier l'identité
d-^ rf-"
COSJ^ cos ijr
dx dx
Mais u-h w = o; donc cette équation équivaut à celle-ci :
cosir . cosir
dx djr
Or,
rfÇ V dl^ w
dx cos// djr cosiy'
EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEHÀNN» ETC. l3
donc on a bien
d^K dK
dx^ "^ dy^ ~ ""'
De cette équation il résulte que
ou encore
Ensuite
rfC= :- [vdr— wdx] z=z --P-dY— ^dx
cosi/^ ^ ' dx '^ dy
et par suite
dCi = df-df,
OU
(^5) Ci=f[x + 1» -^f,[x^ir).
8. Usage des variables a, ^l' et de leurs conjuguées. — Nous allons transformer Téquation différentielle de la surface et la condition de minimum, savoir
(i) sin9cos?rfÇ-4-sln0 sincprfvî -h coserfÇ = o,
(i5) sine sinçrf^ — sinOcosçrfy) 4-{/C = o,
en y introduisant les variables c, (y', jjl, fx'.
On peut mettre la première de ces deux équations successivement sous les formes suivantes :
da-hdtr' . d<j — d(T' . i — tang^^Ô
OU bien
rf(T{cos9 — isln<j>)-f- (/<j'(cos(p + isin(p)H f^^ rfÇ = 0;
l4 NIEWENGLOWSKI.
0U9 à cause de la relation /x/x'= tang^^d,
îâîigp ■*■ îângp "^ ung^e ^ " ^'
c'est-k-dire
{16) (1 — ^jtx'jrfÇ -^ ^'d<T -h fxrfcr'=o.
Eq transformaDt de même la conditioD de minimum, on obtient
. dd-hdd' d(T-'d(T' dC sm© COS9 : h -7—^ = o,
OU
— (/afcoso — isin©) 4- rfa'fcos© h- isino) h t—z-^ t-^ = o,
c'est-à-dire
tang^9 tang^d ung^dcosH^
OU enfin
(27) iJLdc'— fjL'd(T-h {i-^ii{ji')dCi = o.
Si maintenant Ton pose
Ç + Ci = aZ, Ç-Ci = îZ',
K= Z+Z', Ci= Z-Z',
dÇ = rfZ + dZ', dCi = dZ-dZ',
on tire des équations (a6) et (27), par voie d'addition et de soustraction,
(19) d(T-ndZ + ^dZ' = o,
(29)' d<ï'+-dZ- ii.'dZ' = o.
9. Les formules précédentes vont nous conduire à une conséquence importante.
EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE RIEMANN, ETC. l5
Prenons Z el Z' consme variables indépendantes;, on a
(3o) d(x= u.dl-^\dl'y
(3o) rf(y'=-lrfZ-hfx'(/Z',
d'où
dî "" fx' rfZ ■" ^ •
On lire d'abord de ces équations
rfo; rf^ rfZ fl^ rfjUL dZ dyi " ^|ut
formule qui nous sera utile plus tard.
Ensuite,
du. I d^*
dZ^""i7âdZ'
^ 5z'"~ rfz '
Le déterminant -^^^ - i n'est pas nul, car on aurait tang*|0 = i, et d serait une constante; donc
da du!
donc [i est une fonction de Z et/x' une fonction de Z'; réciproquement, Z est une fonction de |x et Z' une fonction de fx'. Ce résultat est conforme à celui que nous avions déjà donné.
Par conséquent, on a
(3i) cr= JprfZ-J^',
Si Ton connaît les relations qui lient fx et Z d'une part, jx' et Z' de
NIEWENGLOWSRI.
l'autre, on aura cr et a' en fonction de Ç et Ci. En éliminant Ci, on obtiendra l'équation de la surface. D'ailleurs, quand on aura formé la première équation^ on aura la seconde en changeant i en — i.
On peut remarquer que si Ton se donne arbitrairement une fonction de Z^etune fonction de Z', et qu'on effectue les intégrations indiquées, on obtiendra une surface minima. En effet, on déduit des équations (3 1) et (3i)' les équations différentielles (3o) et (3o)', qui sont équivalentes à (29) et (29)'» et, en remontant, on arrive aux deux équations (i5) et (i), dont l'une est l'équation différentielle de la surface et l'autre la condition de minimum. Pour que la surface soit réelle, il suffit que les fonctions p. et [j/ soient imaginaires conjuguées.
10. Nous pouvons, à l'aide des formules précédentes, trouver une
infinité de surfaces minima. Voici deux exemples simples.
!*• Posons
/x = cotZ, fjL' = colZ';
on a
-I =/cotZrfZ — /tangZ'rfZ',
ou
(T = logsinZ + logcosZ'— logH,
H étant une constante arbitraire ; ou bien
sinZ cosZ'= Ee<^;
on aura aussi
sinZ'cosZ = H'e<^.
Par suite,
sinÇ 4- sinCi = aHe'',
sinÇ — sinCi = aH'e^,
et, par conséquent,
sinÇ = eÇ(He^^'-f-H'6-i'), ce que Ton peut écrire ainsi :
sinÇ = Pe5sin(yî + a)
0U9 par un déplacement d'axes,
sinÇ = Pe^sin7}; •
enfin, en remplaçant Ç par Ç — logP,
P sinÇ "" sin/î
Celte surface a été trouvée pour la première fois par Scherk {Journal deCrelle, t. 13).
Le plan | = o coupe la surface suivant une infinité de droites données par les équations
OU
Ç + 7} ^^ ('iA'-h 1)7:.
Ces droites forment un réseau de carrés dont les diagonales sont égales à 27r. Si un point de la surface a pour coordonnées |, )], Ç» le point (?,>î4-2A;r, Ç-h2/7r) appartiendra aussi à la même surface, de sorte que cette dernière est composée d'une infinité de nappes identiques se projetant sur un réseau de carrés. On voit encore que le point [§, v3 + (— ij^ç, Ç-l-(— i)";:] est aussi sur la surface. Enfin, si un point de la surface a pour coordonnées Ç==a, y3 = 6> Ç = ^» le point (| = — a, ?3=c, Ç = b) appartiendra encore a la même surface. Si l'on considère le carré ayant pour sommets les milieux des côtés d'un carré du réseau, aucun point de la surface n'est projeté àrintérieurde ce carré.
2® Exemple. — Si l'on pose
on trouve, en suivant la même marche,
c'est-à-dire un plan.
11. Nous avons posé Ç = Z-hZ', Z et Z' étant imaginaires conjugués, et nous avons vu que Z est une fonction de |x et Z' une fonction de fx'; cela revient à dire- que l'on a
et par suite
Il est facile de voir que 5 et vj sont des fonctions de même forme. N. 3
1 8 NIEWENGLOWSKl .
En effet, en faisant tourner les axes de coordonnées de manière que OÇ prenne la position de 0?, nous avons vu que fx, est une fonction de juL et ix\ une fonction de fx'; or, en appliquant à ^ les raisonnements
relatifs à Ç, on voit que
?= 9(^,)-f-9i(^',), c'est-à-dire
OU bien encore
et il en est de même de ri. En outre,
dA étant une différentielle analogue h dC.
Nous verrons pi us loin que, ayant pris pour la valeur de ^ des fonctions arbitraires de x-^-iy et de x — iy^ on en déduit Cet yj par des quadratures. Mais si le contour n*est pas déterminé d'avance, et que l'on se propose seulement de trouver des formules donnant une infinité de surfaces minima et pouvant d'ailleurs les donner toutes, les formules (3i) et (3i)', n'exigeant que deux quadratures, seront en général les plus commodes à employer.
12. Changement de variables. — Nous avons trouvé la formule de transformation
Ml — — ; r •
On en déduit
.^s. dij., i + f/oUft
De la formule (i3) en se rappelant que
/^o(Ç 4- Ci) = (7-4- (T|,
il- ^
on tire, par différentiation,
\dii dfXi d^j ^ dfi ^* dfjLt dyL
d'où
(33) rf/Ai <^g« , rfg (/^o— l^-)('-^f^f^o) .
rf/x dfjLi dix p(« -+-i^of*o)
Ed multipliant membre à membre les équations (32) et (33), il vient
/djj^ydÇ^^lx^ dK \ du I dfii /ut djut
ce qui donne
OU bien
par conséquent, l'expression
(diog;*)
<^l0g]Ul
reste invariable quand on fait tourner les axes et même quand on les déplace d'une manière quelconque.
On est ainsi conduit à une nouvelle variable auxiliaire U ainsi définie,
qui est indépendante de la direction des axes. On considérera en même temps la variable conjuguée
"■=/V^JW'"»8f'-
On doit remarquer que la formule peut s'écrire
20 NIEWENGiiOWSKI.
